Fichier PDF Haha (algebre.pdf)

Haha (algebre.pdf)

Nom du fichier: algebre.pdf
Ce document au format PDF 1.3 a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 17/03/2010 à 12:42, à partir de l'adresse IPv4 90.37.***.***.
Taille du document: 923 Ko (158 pages).

Aperçu du fichier

Cours - Pierre Lavaurs - DEUG MIAS - Unit´ d’enseignement 11 - Universit´ Lyon I - Ann´e 2001-2002 e e e 1 Chapitre 1 - Concepts et notations de la th´orie des ensembles e Le cours va commencer de fa¸on bien abstraite, par une ´num´ration peut-ˆtre un peu indigeste de c e e e non-d´ﬁnitions (il faut bien des mots non d´ﬁnis pour entamer les premi`res d´ﬁnitions...), de notations, de e e e e d´ﬁnitions. Qu’on se le dise, tout est essentiel pour la suite ! e 1 - Ensembles Non-d´ﬁnition 1-1-1 : Le mot ensemble ne sera pas d´ﬁni. Intuitivement, un ensemble est un paquet de e e choses (qui sont elles-mˆmes des ensembles, mais glissons l` dessus), non rang´es, sans r´p´tition possible. e a e e e Cette explication intuitive est particuli`rement d´ﬁciente : la th´orie des ensembles s’est d´ﬁnitivement e e e e constitu´e au d´but du (XX`me) si`cle lorsqu’on a pris conscience que certains paquets ne pouvaient e e e e d´cemment ˆtre appel´s “ensembles”. Mais il me faut savoir me taire pour pouvoir avancer. e e e Non-d´ﬁnition 1-1-2 : Le verbe appartenir ne sera pas d´ﬁni. Intuitivement, on dit que a appartient ` e e a un ensemble A lorsqu’il fait partie des choses dont l’ensemble A est un paquet. D´ﬁnition 1-1-1 : Pour tous a et A, on dit que a est ´l´ment de A lorsque a appartient ` A. e ee a Notation 1-1-1 : On note a ∈ A pour “a appartient ` A”, et a ∈ A pour“a n’appartient pas ` A”. a a Non-d´ﬁnition 1-1-3 : L’expression est ´gal ` ne sera pas d´ﬁnie. Intuitivement... vous savez bien ce que e e a e c ¸a veut dire ! Notation 1-1-2 : On note a = b pour “a est ´gal ` b”. e a D´ﬁnition 1-1-2 : On dit que deux objets a et b sont distincts ou diﬀ´rents lorsqu’ils ne sont pas ´gaux. e e e Notation 1-1-3 : On note a = b pour “a est distinct de b”. Non-d´ﬁnition 1-1-4 : L’ensemble vide ne sera pas d´ﬁni. Intuitivement, c’est un ensemble qui n’a aucun e e ´l´ment, par exemple l’ensemble des solutions r´elles de l’´quation x2 = −1. ee e e Notation 1-1-4 : ∅ d´signe l’ensemble vide. e Au-del` de ces non-d´ﬁnitions, j’utiliserai un certain nombre de propri´t´s intuitives de ces diverses a e ee notions sans me risquer ` les ´noncer. Par exemple si je sais que trois r´els x, y et z v´riﬁent x = y et y = z, a e e e j’en d´duirai que x = z sans m’expliquer davantage. Et d’autres manipulations, parfois un peu plus subtiles e mais qui ne devraient pas poser de probl`me. e Notation 1-1-5 : Pour un certain nombre d’objets a1 , a2 , . . . , an , on notera {a1 , a2 , . . . , an } l’ensemble dont les ´l´ments sont exactement a1 , a2 , . . . , an . ee Ca a l’air simple, mais il y a d´j` des pi`ges possibles parmi ces notions non d´ﬁnies, il faut donc se ¸ ea e e concentrer un peu. Question : les notations {1, 3} et {3, 1} d´signent-elles le mˆme ensemble d’entiers ? R´ponse : oui, bien e e e sˆr, le premier ensemble poss`de 1 et 3 pour ´l´ments, le second poss`de 3 et 1. L’intuition qu’on peut avoir u e ee e du mot “et” nous fait aﬃrmer comme ´vident que ce sont les mˆmes. e e Question : la notation {2, 2, 2} est-elle licite, et si oui que d´signe-t-elle exactement ? R´ponse : ben, e e oui, on ne voit pas ce qui l’interdirait ; c’est l’ensemble dont les ´l´ments sont 2, 2 et 2. Vu ce qu’on comprend ee du mot “et” c’est une fa¸on compliqu´e de parler de l’ensemble {2}, ensemble ` un seul ´l´ment : l’entier 2. c e a ee La remarque paraˆ stupide, mais il arrive eﬀectivement qu’on note des ensembles de cette fa¸on apıt c paremment tordue : par exemple, l’´nonc´ suivant est vrai : e e Pour tous r´els a (non nul), b et c tels que b2 − 4ac ≥ 0, l’ensemble des solutions r´elles de l’´quation e e e (d’inconnue x) : ax2 + bx + c = 0 √ b2 − 4ac −b − b2 − 4ac , }. 2a 2a Or lorsqu’on ´crit une v´rit´ si notoire, dans le cas particulier o` b2 − 4ac = 0 on a r´p´t´ deux fois le mˆme e e e u e ee e ´l´ment ! ee Question : Combien d’´l´ments poss`de l’ensemble {{{3, 6}}} ? R´ponse : un seul bien sˆr ! C’est par ee e e u d´ﬁnition l’ensemble poss´dant l’unique ´l´ment {{3, 6}}. e e ee { −b + √ Concepts et notations de la th´orie des ensembles e est l’ensemble :