Oral proba (ORAL_2009_Probabilites.pdf)

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3 Ā“ PROBABILITES Exercice 3.1. On consid`re deux variables alĀ“atoires indĀ“pendantes rĀ“elles X et Y , dĀ“ļ¬nies e e e e e sur le mĖ†me espace probabilisĀ“ (ā„¦, T , P ), suivant toutes les deux la loi e e exponentielle de param`tre 1. e 1. a) Soit t āˆˆ Rāˆ— . DĀ“terminer une densitĀ“ de la variable W = Y āˆ’ tX. e e + b) DĀ“terminer, sā€™il existe, le moment dā€™ordre n (avec n e 2. En dĀ“duire une densitĀ“ de la variable Z = Y . e e X 3. DĀ“terminer la loi de la variable U = e Solution : 1. a) Les variables alĀ“atoires Y et āˆ’tX sont indĀ“pendantes et ont des densitĀ“s : e e e on peut donc calculer une densitĀ“ de Y āˆ’ tX par produit de convolution. e On sait par le cours que si fX est une densitĀ“ de X, une densitĀ“ de faX+b e e est donnĀ“e, pour a = 0 et tout b, par : e faX+b (x) = 1 fX x āˆ’ b a |a| Ainsi, ici : X . X +Y 1) de W . 80 fāˆ’tX (x) = De plus : fāˆ’tX (u)fY (x āˆ’ u) = 0 ā‡ā‡’ e x/t ESCP-Europe 2009 - Oral 0 t si x > 0 si x 0 u 0 xāˆ’u ā‡ā‡’ u x x et : 0 u

     



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