Arithmétique (Arithmétique(3ème) (1).pdf)
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Mme Frikha Arithmétique 3ème math Exercice 1 : 1) Démontrez que, pour tout entier naturel n: 23n-1 est un multiple de 7. Déduisez-en que 23n+1-2 est un multiple de 7 et que 23n+2-4 est un multiple de 7. 2) Déterminez les restes de la division par 7 des puissances de 2. 3) Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier: Ap = 2p + 22p + 23p. a) Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7? b) Démontrez que si p = 3n + 1 , alors Ap est divisible par 7. c) Etudiez le cas où p = 3n + 2. Exercice 2 : 1) Montrez que pour tout entier n > 1 , 3.52n-1 + 23n-2 est divisible par 17 en effectuant un raisonnement par récurrence 2) Montrez que pour tout entier n, 3n+3 - 44n+2 est divisible par 11. Exercice 3 : Soit E l’ensemble des couples (n, m) tels que n et m sont entiers naturels vérifiant : 11(n 11) = 24( m 5 ) 1. a) Déterminer l’ensemble E b) Montrer que (m,n) E ⇔ 11n 24 m = 1 2. Montrer par récurrence sur k que pour tous entiers naturels non nuls a et k on a :
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