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SESSION 2OO9

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Ce

sujet cotnporte 6 pages nuhrétotées de 1 à 6,

Du pdpier

millinétré

est

nts à la disposition de.s.andidats.

L utili,at;on d une cdl.ùlatrice esl a"t"ri,ëe

Le

ejet

est composé de QUATRE

erercices independants

lp "andiaat doi! îottq tau,l"t erpt.ice5.
Le candidat est

inité

à faire Jigùer sur la capie taute lrace de rccherche,
nonîuctueuse, qu'il aùa ùtrelappée. ll esl rcppelé que
t.1qualilé de Ia rédûction, [a clarté et Lapftcision des raironnements
enùeront pour une p,xtt
ahte ddns I appft.iatrcn des coptes.

nêne incanplète

o

9MAESOME]

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Exercice

I

(4 points)

(Commun à tous les caûdidats)

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de I'indice des prix de vente des appartements arciens à Paris au
quatdème trimestre des années 2000 à 2007.
AIlnEC

Rang de I'année

:

Indice : y,

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

0

I

2

3

4

5

6

7

100

108,5

120,7

r34,9

154,8

1'76,4

t93,5

2r3,6

Source : INSËE.
1. Calculer le poucentage d'augmentation de cet indice de l'aanée 2000 à

2. Coûstrùire le mege de points

'lzf,

(x,

;

y,

)

l'a$rée 2007.

dans le plan (P) muni d'un repère orthogoml défini de ta

manière suivanle :
sur l'axe des abscisses, on placera 0 à

o
.

1'o gine et on choisira 2 cm poul r€présenter rme iumée.
sur I'a\e des ordonnées, on placem 100 à l'origine et on choisira 1 cm pour représenter 10

uilltes,
3, Déteminer les coordonnées du poinl moyen G de ce nuaga Placer le point G dans le plan (P).
4.

L'allure de ca 4uage pemet de peNer qu'un ajustement affire

a,

es1 adapté.

À l'aide de la calcuialrice, Céterminer une équation de la droite ( d ) d'ajustement del, en n,
obtenue par la méthode des moindtes carrés. Les coefficients seront arrondis au certième.

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b.

Tracer la droite ( d ) dâns le plan (P).

5, En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivartes, estimer i'indice du
pdx de vente des apparteûents arciens à Paris au quaûième trimeste 2009. Justifier la réponse.

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9MAESOMEI

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Exercice 2 (5 points)
(Poul les candidats n'ayaht pas suili I'enseignement de spécialité)

Soit

ll

/

rme

; Ol et

On note

/'

fonctior défirie et dérivable sur l'intervalle

[-2;5],

décroissante sur chacun des intervalles

lZ; 5] et croissante sur i'intervalle [0 ; 2] .
sa foncton dérivée sur I'intervalle l-2 ; 5].

La courbe (f) représentative de la forction

/

est tracée en aûrexe 1 dans le

plar muni d'un repère

(-z; S),n (0; 4),C (t;4,5),D (2;5) etE (4;0).
En chacun des points B et D, la targente à la coûbe (f) est paxallèle à l'âxe des abscisses.
On note F le point de coordonnées (: ; 0) . fa arolte (CF) est la largerte à la courbe (f) aù point C.
orthogonal. Elle passe par les poids

l. À l'aide

A

des infoûnations précédelrtes et de l'annexe 1, préciser sans

a. les valeurs de

justifier

:

f(0),f'(1) etf'(2),

b. le signe de

/'(:r)

c. le signe de

/ (r)

suivant les valeurs du nombre réel x de f interyalle
suivant

1es

valeurs du nombre réei x de J'intervalle

[-2 ; 5],

[-2 ; 5] .

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2. On considère la fcnction g définie par g (r) = tr ("/ (r)) or) lrr désigne la fonction logarithme népérien.
â, l-\pliquer pourquoi la loncrion g esr dëlinie sur l inrervalle
b. Calculer

c(-2), c(0)

c, Préciser, en

[-2

; 41.

et s(2)

lejustiflant, le

sens d€

variation

d. Délerminer la limite de la fonctioa g lorsque

la fonction g sur

de

r

I'interalle [-2

; 4[

.

tend vers 4.

hterpréter ce résultat pour la représentatior graphique de la fonctiong.
e. Dresser le tableau de vâriâtion de la

fotction g

.

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Exercice 3 (5 points)
(Commun à tous les c.rndidats)

Une salle dejeu< comporte deux consoles idçntiques proposant le même jeu.
Unjour, l'une des deux est déréglée.
Les joueùs ûe peuvent pas savoir laquelle des deux est déréglée.

1,

CejourJà,
On note

r
r

un

joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et iljoue une partie sur cette console.

I

t

D l'événement < le joueur choisit la console déréglée ,r et
I'événement contraireC i'èvénement " lejoueur gagne la panie ' el ô l'évênemenr connaire.

Cette situation aléatoire est modélisée par l'arbre incomplet suivant, dans lequel figurenl certaines
probabilités :

o

0"7" ç

ao
0,2,'G

u(o

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Ainsi 0,7 est la probabilité que lejoueu gagne sachant qu'il a choisi la console déréglée.

a.
b.

c.

d,
e.

Reproduire cet arbre sul ja copie et le compléter.
Calculer la probabifité de l'événemeût ( le joueur choisit la console dérég1ée et il gagne >.
Calculer la probabilité de l'événement < le joueur choisit la console non déréglée et il gagne >.
Morlher que 1a probabilité que le joueur gagne est égale à 0,45.
Calcùler la probabilité que le joueùr ait choisi la console déréglée sachaûl qu'il a gagné.

2. Trois fois successivemed

et de façon indépendante, unjoueur choisit au hasard l'une des deux consoles

etjoue ùne partieCalcuier laprobabilité de l'événement ( lejoueu gagne exactement derx fois >. Le ré$rltat sem doûré
sous forme décimale anondie au miliième.

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9MAESOMÊ1

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EIlrsilgj

(6 points)
(Commuk à tous les cctkdidats)

Pârtie A - Étude d'une fonction
définie sur I'inrewatte [0,S; t] par f (r)=20(x-t)eo',.
la fonction dérivée de la fonction
sur I'intervalle [0, 5 ; 8] .

On considère la fonction
On note

/'

/

/

1. â. Démonter que, poru toul ûombrc réelr
b, Étudier le signe
la fonctioû /.

2,

de la fonction

jf'

sùr

de

f intervatle [0,5 ;8],

I'intervalle [0,5 ; 8] et er déduire le tableau dc vadatior de

Construire la coube représentative (C) de la forrctioû

(O ;

i,

y-

/,(r)=10(-x+3)e-o'".

/

dans le plan muni d'rm repère orthogonal

). On prendra pou. unités gaphiques 2 cm sur I'a-re des abscisses et

I

cm sux l,axe des

ordonnées.

3.

Justifier que la fonction F définie sur l'intervalle [0,5 ; 8] pax
prim ili\ e de la loncrion

4.

/

sur

- Àpplicatiou

"rt

rrrr"

f inrervalle [0.5 : 8].

Calculer la vâleLu exacte de l'inrégrale I définie par

Partie B

F(') = :1!{r1J

I

l'.

.I,,t

a*.

économique

Uûe entrcp.ise prodùit sur comrnande des bicyciettes poul des municipalités.

ChangedLa
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production
mensùelle
peut varier
de 50 à 800
bicyclettes.
Le bénéfice meosuel réalisé par cette production peut être modélisé par la fonction/de la pârtie A de la
façon suivante : si, un mois domé, on produit r ceûtâines de bicyèlettes, alorsXr) modélise le bénéfice,
exprimé en milliers d'euros, réalisé par l'entreprise ce même mois.
Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle.

l.

a, Vérifier

que si l'enheprise produit 220 bicyclettes un mois donné, alors elle Éalise ce

mois là un

bénéfice de 7989 euros.

b.

2.

Déterrniner le bénéfice réalisé par une production de 408 bicyclettes rn mois domé.

Pour cette questioh, toute lftice de recherche même non aboutie sera prise en compte.
Répondre aux questions suivantes en ûtiiisant les résultats de la partie A et le modè1e précédenl.
Justifi er chaque réponse.

a,

Combien, pour un mois dorué, I'entrepdse doit-elle produire au minimum de bicyclettes pow ne
pas travailler à perte ?

b.

Cornbien, pour un mois donné, I'entreprise doil-elle produire de bicyclettes pour réaliser un
bénéfice marimum ? Préciser aiors ce bénéfice à l'eulo près.

c.

Combien, pour un mois

doûÉ, l'enlrepfise doit-elle produire de bicycletles pour

réaliser un

bénéfice supérieur à 8000 euros ?

PaEe 516

9MAESOMEl

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Annexe

A

I

,1

E

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