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Raisonnement par l’absurde
Soit à prouver que la proposition P est vraie ; le raisonnement consiste à introduire la proposition non P que
l’on désignera par P 0 , puis à démontrer une implication tel que
P 0 ) Q0
où Q’est la négation d’une proposition Q dont on sait qu’elle est vraie
Comme
(P 0 ) Q0 )

, (nonQ0 ) nonP 0 )
, (Q ) P )

Q étant vraie, il en résulte que P est vraie
Remarque :
Remarquent que l’on présente souvent ce raisonnement en disant : supposons que P soit fausse, c’est-à-dire P’vraie,
l’implication P 0 ) Q0 résulterait que Q0 est vraie, or on sait que Q est vraie et le principe de le non contradiction
permet alors d’a¢ rmer que Q0 est fausse .
Or une proposition fausse ne peut pas être impliqué par une proposition vraie, donc P 0 est fausse c’est-à-dire P
est vraie (Principe de trière exclu).L’introduction de l’hypothèse « P est fausse » n’a, en fait, servi à rien, la
démonstration par l’absurde consistent à établir l’implication P 0 ) Q0 que ne dépend pas de la vérité ou la non
vérité de P .

Exercice1:
p
En raisonnant par l’absurde, montrer que 2 est irrationnel.
p Solution:
p
2 est rationnel ) 9 p; q 2 Z Z ; tels que (p; q) = 1 et 2 =

p
q

on a
p

2=

p
q

p2
q2
2
p = 2q 2
p2 est pair
p est pair
9p0 2 Z telque p = 2p0

) 2=
)
)
,
,

et
(p2 = 2q 2 ) et (p = 2p0 )

p pair et q pair contredit
p et q premier entre eux
p
Par conséquant 2 est irrationnel
0

) q 2 = 2p0
) q est pair



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