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ma solution pour le pour l'exercice (3)
proposé à l'oral des mines et ponts.

October 23, 2009

Problème:
Etant donné des matrices M1 , M2 , ..., Mn appartenant à Mn (R).
P
Montrer que: det( n1 Mtp Mp ) ≥ 0.

solution:
on considére l'ensemble des matrices symétriques
toute matrice

M

appartenant à

+

S (R),elle

S + (R),on

sait bien que

est diagonalisable dans une base or-

thonormale et de plus ses valeurs propres sont positifs,ce qui donne évidemment:

det(M) ≥ 0.

lemme:
Soit

Aet B

deux matrices de

S + (R),alors:

det(A + B) ≥ det(A) + det(B ).
Preuve:

A est inversible,alors d'aprés le théorème de réduction sumiltannée,il existe
D et une matrice inversible P telles que A =t P P et
t
B = P DP .
2
2 Qn
on obtient det(A + B) = (det(P )) det(D + I) = (det(P ))
1 (1 + ap ) ≥
Q
2
n
(det(P )) (1 + ( 1 ap )) = det(A) + det(B).
avec les ap sont les éléments diagonaux de D .
Si B est inversible,on fait le même raisonnement.
si

une matrice diagonale

Si toutes les deux matrices ne sont pas inversible,alors le résultat est immédiat,car la somme de deux matrices symétriques,l'est aussi,et par conséquence
le lemme est entiérement démontré.
Par récurrence,on a pour des matrices

Pp
i=1

A1 , A2 , ..., Ap appartenant à S + (R),det

(detAi )

revenons maintenant à notre problème originel,qui est en fait,qu'une application directe de ce petit lemme.

1

P

P
u=1


Ai ≥

clairment on a

Mtp Mp est

une matrice symétrique,donc en appliquant le

lemme,on aura:

det

p
X

!
t

Mi Mi



i=1
or

2

det(Mti Mi )=(detMi ) ≥ 0.d'où

p
X

det Mti Mi

i=1
le résultat.

2




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