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B. Oscillateur électrique 
Les  trois  circuits  électriques  élémentaires  (a),  (b),  (c)  utilisent  en  tout  ou  partie  un  générateur  de 
tension  E  constante,  une  bobine  d'inductance  L,  un  condensateur  de  capacité  C,  un  résistor  de 
résistance R. 





















(a)     
 
 
    (b)   
 
 
 
        
 
(c) 
1) Pour chacun des circuits, trouver l'unité de temps adaptée (qu’on notera, par exemple pour le circuit 
(a),  τ a ). 
2) Dans l'un des circuits, le courant électrique i présente des oscillations en fonction du temps. 
Lequel ? 
a) Pour ce circuit, établir deux équations différentielles du premier ordre couplées vérifiées par 
la charge d’une des deux armatures du condensateur  q (t )  et le courant  i(t ) . 
b) En déduire l'équation différentielle du second ordre vérifiée par  i(t ) , puis celle vérifiée par 
q (t ) . Les résoudre avec les conditions initiales  i(0) = 0  et  q (0) = q0 . 
c)  Les  oscillations  sont-elles  amorties?  Exprimer  la  pulsation  propre  en  fonction  de  l'unité  de 
temps adaptée. 
d) Tracer les courbes  i(t )  et  q (t ) . 
e) Analogie avec un oscillateur mécanique 
Les équations différentielles obtenues aux questions A.2.(e) et B.2.(b) sont formellement identiques. 
Trouver les analogues mécaniques des grandeurs électriques i, q, L, C, E. 
 
***** 
 

4.3 Le bouchon du pêcheur 
 

Un  bouchon  a  la  forme  d'un  cylindre  de  surface  de  base  S  et  de  hauteur  h.  Sa  masse  est  m. 
Quand on le plonge dans de l'eau immobile, on constate qu'il flotte verticalement. 
On note � la masse volumique de l'eau,  ρb  celle du bouchon et g le champ de pesanteur,  g = 10 m/s 2 . 
Dans tout ce problème, on néglige les frottements et la poussée d'Archimède de l'air. 

 

géométrie du bouchon     position à l'équilibre   

une position quand mouvement 
 

1. Équilibre. 

24 

a) Quelles sont les forces qui s'exercent sur le bouchon ? Les représenter sur un schéma. 
b)  Calculer  la  hauteur  heq de  la  partie  immergée  du  bouchon  à  l'équilibre.  On  l'exprimera  en 
fonction de m, S et �, puis en fonction de h, �b  et �. Le bouchon peut-il flotter quel que soit �b? 
c) Expliquer pourquoi l'équilibre est verticalement stable. 
2. Oscillations. 
Sur  le  bouchon  est  tracée  la  ligne  de  flottaison  :  c'est  le  cercle  horizontal  qui  indique  où  arrive  la 
surface de l'eau à l'équilibre (en pointillé sur la figure). On étudie le mouvement vertical du bouchon 
quand  il  n'est  pas  à  l'équilibre.  On  utilise  un  axe  Oz  vertical  ascendant,  O  est  situé  au  niveau  de  la 
surface de l'eau. La position du bouchon est repérée par l'altitude  z (t )  de la ligne de flottaison. Quand 
le bouchon est à l'équilibre, on a :  z = 0 . 
a) Exprimer les forces qui s'exercent sur le bouchon en fonction de m, g, S, � et z. 
b)  En  déduire  la  force  résultante  (vérifier  qu'elle  est  nulle  pour  z = 0 )  et  établir  l'équation 
différentielle que doit vérifier  z (t ) . 
c) La solution générale de cette équation est : 
 
z ( t ) = A cos(ω0 t ) + B sin(ω0t )  
où A, B,  ω0  sont des constantes. Déterminer ω0  puis l'exprimer en fonction de g et  heq  seuls. 
Vérifier l'homogénéité de l'expression obtenue. 
d) A.N. :  heq = 1 cm . Calculer la période et la fréquence des oscillations. 
e) À  t = 0 , on donne les conditions initiales :  z (0) = 0  et  z� (0) = v0 . Déterminer les constantes A 
et B. 
 
***** 

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