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Une nature de s´erie en ln de fraction
rationnelle.
Martiny C.
12/2009
Enonc´
e:

Nature de la s´erie de T.G. :
3

2

+1)
an = ln( (n
)
(n2 +1)3

Une r´
esolution :
Existence d’une partie enti`
ere de la fonction rationnelle :
Le
(n3 +1)2
d´enominateur et le num´erateur de un = (n2 +1)3 sont des polynomes de mˆeme
degr´e (6) donc la partie enti`ere est un polynome de degr´e 0 i.e. une constante
:
un = k + n avec n tendant vers 0
3

2

6

+1)
Or, par rapport des termes de plus haut degr´e, k = lim (n
= lim nn6 = 1
(n2 +1)3
donc :

un = 1 + n avec n tendant vers 0
Ce qui supprime toute possibilit´e d’une divergence grossi`ere puisque si un
tend vers 1, an tend vers 0 par continuit´e de ln en 1.
Premi`
ere ´
equivalence :
n→∞

}|

z

{

an = ln(1 + n ) ≈ n .

1

Pour n :
n = un − 1 =

(n3 +1)2 −(n2 +1)3
(n2 +1)3

En ne s’int´eressant qu’aux plus hauts degr´es :
Seconde ´
equivalence :
n ≈

−3n4
n6

= − n32

Conclusion :
La S.T.G. an est de mˆeme nature que la S.T.G. − n32
qui, par Riemann, est
convergente

2



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