011209 EX2 .pdf

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Un DES pour calculer une somme de s´erie.
Martiny C.
12/2009
Enonc´
e:

Nature et somme de la s´erie de T.G. :
an =

n2 +9n+5
(n+1)(2n+3)(2n+5)(n+4)

pour n ≥ 0

Une r´
esolution :
Nature :
an ≈

n2
4n4

=

1
4n2

pour n au voisinage de ∞,

donc, en vertu des r´esultats sur les s´eries de Riemann, notre s´erie est
convergente
DES : Le d´enominateur un polynome de degr´e 4 (pas de partie enti`ere
puisque le num´erateur de degr´e 2) factoris´e : donc cherchons A,B,C et D
tels que :
an =

A
n+1

+

B
2n+3

+

C
2n+5

+

D
n+4

Obtention de A : Multiplication par (n + 1) pour n = −1
1−9+5
(−2+3)(−2+5)(−1+4)

= A donc A = − 13

Obtention de B : Multiplication par (2n + 3) pour n = − 23
(− 23 )2 +9(− 23 )+5
((− 32 )+1)(2(− 23 )+5)((− 23 )+4)

1

= B donc B =

5
2

Obtention de C : Multiplication par (2n + 5) pour n = − 52
(− 52 )2 +9(− 52 )+5
((− 25 )+1)(2(− 25 )+3)((− 52 )+4)

= C donc C = − 25

Obtention de D : Multiplication par (n + 4) pour n = −4
16−9×4+5
(−8+3)(−8+5)(−4+1)

= D donc D =

1
3

Conclusion :
1
−
an = 13 ( n+4

1
)
n+1

1
+ 52 ( 2n+3
−

1
)
2n+5

Somme partielle :
PN

k=0

PN

ak = 13 (

1
k=0 k+4

−

PN

1
k=0 k+1 )

PN

+ 25 (

1
k=0 2k+3

−

PN

1
k=0 2k+5 )

Ce qui peut encore s’´ecrire :
PN

k=0

PN +4

1
k=4 k

ak = 13 (

−

PN +1

1
k=1 k )

PN +1

+ 52 (

1
k=1 2k+1

−

PN +2

1
k=2 2k+1 )

Continuons intelligemment :
PN

k=0

ak = 31 (( N 1+2 +

1
N +3

+

1
)
N +4

− (1 + 21 + 13 )) + 25 ( 13 −

Ultime conclusion :
n2 +9n+5
n≥0 (n+1)(2n+3)(2n+5)(n+4)

P

=

5
6

−

11
18

=

2
9

V´
erif num´
erique (sous MATLAB):
sum(f (0 : 1111)) = 0.221997302333518

2

1
)
2(N +2)+1



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