FaitEnsemble DES Somme1 .pdf


Nom original: FaitEnsemble-DES-Somme1.pdfMots-clés: DES somme s´erie.

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Un DES pour calculer une somme de s´erie.
Martiny C.
12/2009
Enonc´
e:

Nature et somme de la s´erie de T.G. :
an =

1
1−n2

pour n ≥ 2

Une r´
esolution :
Nature :
an ≈ − (n12 ) pour n au voisinage de ∞,
donc, en vertu des r´esultats sur les s´eries de Riemann, notre s´erie est
convergente
DES : Le d´enominateur un polynome de degr´e 2 (pas de partie enti`ere
cause du num´erateur de degr´e 0) factorisable :
an =

1
(1+n)(1−n)

pour n ≥ 2

Donc cherchons A et B tels que :
an =

A
1+n

+

B
1−n

Obtention de A :
• Multiplication par (1 + n) :
1
(1−n)

=A+

B×(1+n)
(1−n)

• pour n = −1 :
1
2

1

=A

Obtention de B :
• Multiplication par (1 − n) :
1
(1+n)

=B+

A×(1−n)
(1+n)

• pour n = 1 :
1
2

=B

Conclusion :
1
an = 12 ( n+1


1
)
n−1

Somme partielle :
PN

k=2

PN

ak = 21 (

1
k=2 k+1



PN

1
k=2 k−1 )

Ce qui peut encore s’´ecrire :
PN

k=2

PN −1

ak = 21 ((

1
k=3 k

+

1
N

+

1
)
N +1

PN −1

−(

1
k=3 k

Ultime conclusion :
1
k≥2 1−n2

P

2

= − 34

+ 1 + 21 ) =

1
N

+

1
N +1

−1−

1
2


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