EX3(XI)270110Inter .pdf


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Intersection d’espaces
Chris MARTINY
ESITC-Itc3
Notons, avant de d´ebuter cet exercice que, contrairement `
a l’union,
l’intersection de deux espaces vectoriels est un espace vectoriel. Il peut d’ailleurs
ˆetre consid´er´e comme un sous-espace vectoriel de l’un ou l’autre.
Enonc´
e
Donn´
ees On consid`ere R4 muni de sa base canonique. On consid`ere
aussi les vecteurs suivants :
• f1 = (1; −1; 0; 2)
• f2 = (2; 1; 3; 1)
• g1 = (1; 1; 1; 1)
• g2 = (3; −4; 4; 2)
On consid`ere enfin les espaces suivants :
• F = V ect({f1 ; f2 })
• G = V ect({g1 ; g2 })
But D´eterminer une base de F ∩ G

1

Analyse des dimensions
dim(F ∩ G) ≤ min(dim(F ); dim(G))
Ici on v´erifie tr`es facilement que f1 et f2 ne sont pas colin´eaires et que g1 et
g2 non plus. Donc :
dim(F ) = dim(G) = 2
Ainsi1 :
dim(F ∩ G) = 0 ou 1 ou 2
Une r´
esolution
Etude d’un ´
el´
ement commun Soit e un vecteur de F ∩ G :
• e est un vecteur de F donc e = αf1 + βf2
• e est un vecteur de G donc e = γg1 + δg2
En terme de coordonn´ees dans la base canonique :
α + 2β
−α + β

2α + β

=
=
=
=

γ + 3δ
γ − 4δ
γ + 4δ
γ + 2δ

(L1 )
(L2 )
(L3 )
(L4 )

En pratiquant (L1 ) + (L2 ) − (L3 ), on obtient γ = 5δ :
−α + β = δ (L02 )
β = 3δ (L03 )
2α + β = 7δ (L04 )
En substituant β :
−α = −2δ (L002 )
2α = 4δ
(L004 )
Bref, α = 2δ.
1

Traduction des cas extrˆemes :

1. dim(F ∩ G) = 0 traduirait le fait que le seul ´el´ement commun `a F et G serait le
vecteur nul.
2. dim(F ∩ G) = 2 traduirait le fait que F = G.

2


ecapitulation α = 2δ ; β = 3δ et γ = 5δ. Ainsi, e un vecteur de
F ∩ G ⇐⇒
e = δ(2f1 + 3f2 ) = δ(5g1 + g2 )
Conclusion Une base de F ∩ G est
{(8; 1; 9; 7)}
Une autre r´
esolution de type chanceux Au vu de l’analyse des dimensions, nous allons d´etruire les cas inad´equats, tout en supposant avoir eu la
chance de tomber sur le vecteur (8; 1; 9; 7).
Ce vecteur appartient `
a la fois `
a F et `
a G C’est ici la partie
chanceuse.
• (8; 1; 9; 7) ∈ F car (8; 1; 9; 7) = 2f1 + 3f2
• (8; 1; 9; 7) ∈ G car (8; 1; 9; 7) = 5g1 + g2
La dimension n’est donc pas nulle En effet,
(0; 0; 0; 0) 6= (8; 1; 9; 7) ∈ F ∩ G
La dimension n’est pas 2 En effet, (1; 1; 1; 1) ∈ G mais n’est pas
´el´ement de F car sinon ils existeraient λ et µ tels que :
(1; 1; 1; 1) = (λ + 2µ; µ − λ; 3µ; 2λ + µ)
Ceci pos´e, l’´egalit´e issue de la troisi`eme coordonn´ee donne µ = 31 et ensuite
les ´egalit´es issues des deux premi`eres donnent 0 = λ = 13 ce qui est absurde
La dimension est donc 1 Une base de F ∩ G est
{(8; 1; 9; 7)}

3


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