TD3 corr[1] .pdf


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UPS Toulouse - M1 d’Astrophysique

TD de Plan´
etophysique

TD 3 : corrig´
e
1) La pouss´ee d’Archim`ede est verticale, ascendante et son module est ´egal au poids du volume d’air
ambiant d´eplac´e par la bulle d’air F~Arch = ρext V ∗ g ~ez o`
u ρext est la densit´e de l’air ext´erieur.
2) La bulle d’air est soumise `
a son propre poids et `a la pouss´ee d’Archim`ede, elle subit donc la force
totale F~ = [ρext V ∗ g − ρ∗ V ∗ g] ~ez
Initialement, la bulle et l’air ambiant sont indiff´erenci´es et ont mˆeme masse volumique, apr`es
une petite variation h de la position de la bulle on a au premier ordre en h



dρext


ρext = ρ0 + h
ρ = ρ0 + h
dz
dz
Les masses volumiques sont diff´erentes dans l’´etat final car les deux syst`emes ne subissent pas les
mˆemes transformations (la bulle suit une adiabatique, l’air ambiant suit le profil de temp´erature
impos´e par des conditions ext´erieures).
Le volume de la bulle V ∗ s’exprime au premier ordre en h : V ∗ = m/ρ0 = m/ρext (h = 0) =
m/ρ∗ (h = 0). D’o`
u l’expression finale de la force r´esultante sous la forme F~ = −Kh ~ez avec



1 dρ
1
dρext
K = mg

ρ∗ dz
ρext
dz
3) Il faut relier les variations de ρ aux variations de T . De l’´equation du gaz parfait ´ecrite pour une
unit´e de masse P/ρ = RT /M on d´eduit que
dP

dT

=
P
ρ
T
Comme la bulle et l’air ambiant sont `a l’´equilibre m´ecanique, leurs pressions varient de mani`ere
identique et le terme en dP/P s’annule en prenant la diff´erence des gradients de ρ. La diff´erence
des gradients de masse volumique s’identifie `a la diff´erence des gradients de temp´erature (au
signe pr`es !) d’o`
u





1
dText
1 dT ∗
K = mg
− ∗
Text
dz
T
dz
Text est la temp´erature de l’air ambiant, not´ee plus simplement T dans l’´enonc´e. T ∗ est la
temp´erature de la bulle d’air suivant une adiabatique donc (cf. TD 1)

dT ∗
dT
g
γ − 1 Mg
=
=− =−
dz
dz adiab
cp
γ
R
Finalement

mg
K=
T



dT
dz



γ − 1 Mg
+
γ
R



4) Principe fondamental de la dynamique appliqu´e `a la bulle :
m~a = F~



m

d2 h
= −Kh
dt2

´
5) Evidemment,
l’´equation du mouvement pr´ec´edente d´ecrit des oscillations stables si K > 0. Dans
le cas contraire, les solutions exponentielles font diverger la bulle et l’atmosph`ere est instable !
Pour que l’atmosph`ere soit stable vis-`a-vis des mouvements de convection, il faut donc que

dT
dT
γ − 1 Mg

=−
dz
dz adiab
γ
R
1

TSVP

UPS Toulouse - M1 d’Astrophysique

TD de Plan´
etophysique

Une atmosph`ere isotherme est stable, la stratosph`ere dont la temp´erature croˆıt avec l’altitude
est ´egalement stable (c’est pourquoi tout les nuages plafonnent au niveau de la tropopause et
adoptent des formes d’enclumes). Par contre, la troposph`ere chauff´ee par le sol pr´esente un
gradient thermique super-adiabatique en valeur absolue et elle est instable.
Pour une atmosph`ere stable, la p´eriode des oscillations est
v
r
u
m
T
u

τ = 2π
= 2π t
Mg
dT
K
g dz + γ−1
γ R
6) Application num´erique :
– troposph`ere terrestre : τ = 345 s ' 6 min
– photosph`ere solaire : τ = 325 s ' 5 min

Contrˆ
ole continu : corrig´
e
Questions de cours
1) Atmosph`ere primaire : celle des plan`etes `a leur origine dont la composition (H+He) est proche
de la n´ebuleuse primordiale. Atmosph`eres ayant peu ´evolu´e par la suite ⇒ plan`etes g´eantes
Atmosph`ere secondaire : celle des plan`etes telluriques actuelles dont la composition (CO2 , N2 ,
H2 O,...) est issue du sous-sol ou de corps ´etrangers, l’atmosph`ere primaire s’´etant ´echapp´ee.
2) Exosph`ere : partie sup´erieure de l’atmosph`ere dans laquelle les collisions entre mol´ecules deviennent tellement rares qu’on ne peut plus parler de fluide atmosph´erique. Exobase : limite
inf´erieure de l’exosph`ere, correspond `a l’altitude pour laquelle le libre parcours moyen est ´egal `
a
la hauteur d’´echelle.
3) Magn´etosph`ere : Structure magn´etis´ee enveloppant les plan`etes dot´ees d’un champ magn´etique
permanent et interagissant avec le vent solaire. C’est ´egalement la sph`ere d’influence du champ
magn´etique plan´etaire.
Exercice
´
1) Equilibre
m´ecanique d’une particule de fluide : −dP/dz − ρg = 0.
´
Equation du gaz parfait (unit´e de volume) : P = nkT0 o`
u n est la densit´e mol´eculaire.
Masse volumique de l’oxyg`ene : ρ = nMO /N .
dn
MO g(z)
=−
n
dz
N kT0
Si g est uniforme ´egal `
a g = GM/(R + z0 )2 , l’int´egration est triviale et


n1
MO g
= exp −
(z1 − z0 )
n0
N kT0
AN : n1 /n0 = 7, 4.10−5
2) Si g = GM/(R + z)2 alors



n1
GM MO
1
1
= exp

n0
N kT0
R + z1 R + z 0
AN : n1 /n0 = 1, 5.10−4
L’estimation de la densit´e passe du simple au double, la variation de g est loin d’ˆetre n´egligeable
`a haute altitude. A noter qu’on s’attend bien `a une valeur sup´erieure pour le rapport de densit´e
en prenant en compte la diminution de g avec z car l’atmosph`ere a tendance `a s’´etendre par
diffusion thermique.
2

TSVP


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