Exo Maths Cachan 2010 .pdf


Nom original: Exo Maths Cachan 2010.pdf
Mots-clés: Maths, Cachan

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Etude des solutions de l’´
equation diff´
erentielle y 0 = f (y)
Soit k ∈ R.
Soit f une fonction k-lipschitzienne (ie ∀(x, y) ∈ R2 , |f (x) − f (y)| 6 k|x − y|).
On consid`ere l’´equation diff´erentielle : y 0 = f (y).
1) Montrer que toute fonction g T-p´eriodique et de classe C 1 r´epond a`
l’in´egalit´e :
(1)

RT RT
0

0

T 2
)
|g(s) − g(t)|2 dsdt 6 ( 2π

RT RT
0

0

|g 0 (s) − g 0 (t)|2 dsdt

2) Soit y une solution T-p´eriodique de l’´equation diff´erentielle y 0 = f (y).
Montrer que la p´eriode T est sup´erieure ou ´egale a` 2π
. Etudier le cas d’´egalit´e.
k

1


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