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Équation de Chapman-Kolmogorov
En théorie des probabilités, et plus spécifiquement dans la théorie des processus stochastiques
markoviens, l'équation de Chapman-Kolmogorov est une égalité qui met en relation les lois
jointes de différents points de la trajectoire d'un processus stochastique. Cette équation a été mise
en évidence indépendamment par la mathématicien britannique Sidney Chapman et le
mathématicien russe Andreï Kolmogorov.
Supposons que { fi } est une suite de variables aléatoires, c'est-à-dire un processus stochastique.
Soit

la densité de la loi jointe des variables f1 ... fn. Alors l'équation de Chapman–Kolmogorov s'écrit

qui n'est rien d'autre que le calcul de la dernière loi marginale.
Notons que nous n'avons pas besoin de supposer un quelconque ordre temporel des variables
aléatoires.

Application aux chaînes de Markov
Lorsque le processus stochastique considéré est markovien, l'équation de Chapman-Kolmogorov
devient une relation entre les lois de transition. Dans le cadre des chaînes de Markov, on suppose
que i1 < ... < in, et grâce à la propriété de Markov, on a

où les probabilités conditionnelles
sont les probabilités de transition entre les
temps i > j. Ainsi, l'équation de Chapman–Kolmogorov devient

Lorsque la loi de probabilité de l'espace d'états de la chaîne de Markov est discret et que la
chaîne est homogène, l'équation de de Chapman-Kolmogorov peut être exprimée en termes de
produit de matrices (éventuellement de dimension infinie), de la manière suivante :

où P(t) est la matrice de transition, i.e., si Xt est l'état du processus au temps t, alors pour tout
couple de points i et j de l'espace d'état, on a


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