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Cours de statistiques d’IUT
2. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés
a) La droite de régression
Soit D une droite d’ajustement. Soit Mi(xi ; yi ) un point du nuage. Pi est le point de même
abscisse xi que Mi situé sur la droite D d’équation y = ax + b. Q i est le point de même ordonnée yi
que Mi situé sur la droite D’ d’équation x = a’x + b’.
n

On appelle droite de régression de y en x, la droite D tell que :

n

∑ M P = ∑[y
2

i i

i=1

i=1

− (axi + b)]

2

i

soit minimale.
On appelle droite de régression de x en y, la droite D’ telle que :
n

∑M Q
i

i=1

i

2

n

= ∑ [xi − (a'y i + b')] soit minimale.
2

i=1

b) Covariance d’une série statistique double
C’est le nombre cov(x, y ) = σ xy =

σ xy =

1 n
∑ (x − x)(y i − y ) . Pratiquement on utilise plutôt la formule :
n i=1 i

1 n
xiy i − x.y
n∑
i=1

c) Equations des droites de régression
On montre que la droite de régression D de y en x a pour équation y = ax + b avec a =

σ xy
σx

2

et b

vérifiant b = y − ax.
De même on montre que la droite de régression D’ de x en y a pour équation x = a’y + b’ avec
σ xy
a'= 2 et b' vérifiant b'= x − a'y .
σy
Les droites D et D’ passent toutes les deux par le point moyen G.
3. Coefficient de corrélation
a) Définition
Le coefficient de corrélation d’une série statistique double est le nombre r défini par r =

σ xy
σ xσ y

b) Propriétés
r, a, b, σxy , a’ et b’ sont tous de même signe.
-1 = r = 1

Jean-Michel BERNABOTTO

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