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Exercice 1 :
On a mesuré sur un lot de 15 crabes (Carcinus meanas) la largueur céphalothoracique y et la distance frontale x (en mm). Les
résultats obtenus sont :
x
y
n
15
15
Somme
360
750
Somme des carrés 8704 37780
18128
xy



i

i

i

Etudier la corrélation entre les deux variables.
Corrigé :

1 n
cov( x, y ) = ∑ xi yi − x y
n i =1

cov(x, y )
On cherche rxy =
avec
σ x .σ y

x=

360
= 24,00
15

y=

750
= 50,00
15

σ x = σ x2 =

1
(8704) − (24,00) 2 = 4,2667 = 2,0656
15

σ y = σ y2 =

1
(37780) − (50,00) 2 = 18,6667 = 4,3205
15

1 n
1
cov( x, y ) = ∑ xi y i − x y = (18128) − 24 * 50 = 8,5333
n i =1
15
rxy =

cov(x, y)
8,5333
8,5333
=
=
= 0,956 très proche de 1,00
2,0656 * 4,3205 8,9244
σ x .σ y
cov( x, y )

D’où la droite de régression y = ax + b avec a =
et

σ

2
x

=

8,5333
= 2,00
4,2667

b = y − a x = 50,00 − 2,00 * 24,00 = 2,00

Droite : y = 2,00 x + 2,00
Exercice 2 :
On a relevé chez 12 adultes la fréquence cardiaque (nombre de battements du cœur par minute) et la pression systolique (en mm
de mercure). Voici les résultats :
91
120

69
160

70
116

62
116

80
158

60
130

74
136

74
122

74
128

1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire
2) Peut-on prévoir la pression systolique connaissant la pression cardiaque ?
Corrigé :
On cherche d’abord

x = 73,250

cov( x, y ) =

rxy =

cov(x, y)
σ x .σ y

y = 137,667

σ x = 7,7473

σ y = 17,2401

121196
− 73,25 *137,6667 = 15,581
12

78
152

72
162

75
152

rxy =
2

15,581
= 0,1167 ≈ 0,117 proche de 0
7,7473 * 17,2401
2

r = 0,1167 = 0,0136
Il n’y a pas de corrélation linéaire entre la fréquence cardiaque et la pression systolique

x = Fréquence y = Pression
cardiaque
systolique
91
120
69
160
70
116
62
116
80
158
60
130
74
136
74
122
74
128
78
152
72
162
75
152
Somme
Moyenne

σ2
σ

879,0000
73,2500
60,0208
7,7473

1652,0000
137,6667
297,2222
17,2401

On voit le nuage de points (pas de linéarité, la droite tracée n’a aucun sens physique)

Exercice 3 :
On considère les familles de 4 enfants et l’on admet que la probabilité de naissance d’un garçon est égale à 0,52.
1) Calculer les probabilités pour une famille d’avoir k garçons.
2) Calculer la probabilité d’avoir les 4 enfants du même sexe.

On a dénombré dans un ensemble de 100 familles, 8 familles sans garçon, 22 avec 1 seul garçon, 44 avec 2 garçons, 20 avec 3
garçons et enfin 6 familles avec 4 garçons.
1) Peut-on admettre, au vu de ces données, le modèle proposé ?
2) Calculer la fréquence moyenne des garçons pour ces 100 familles.
Corrigé :
1) Le nombre de garçons suit une loi binomiale.
k

k

La probabilité d’avoir k garçons pour n enfants est Pk = C n p q

n−k

avec n = 4, p = 0,52 et q = 0,48, k variant de 0 à 4

P0 = C 40 (0,52) 0 (0,48) 4 = 0,0531
P1 = C 41 (0,52)1 (0,48) 3 = 0,2300
P2 = C 42 (0,52) 2 (0,48) 2 = 0,3738
P3 = C 43 (0,52) 3 (0,48)1 = 0,2700
P4 = C 44 (0,52) 4 (0,48) 0 = 0,0731
2) La probabilité d’avoir 4 enfants du même sexe, donc 4 garçons (p4) ou 4 filles (p0) est égale à
p0+p4 = 0,0531+0,0731 = 0,1262 (environ 13 chances sur 100)
Pour savoir si le modèle proposé est bon, il faut comparer les valeurs observées aux valeurs calculées (grâce à un test de
Nombre de
garçons
0
1
2
3
4

Valeurs
observées
8
22
44
20
6

χ2

Valeurs calculées
ci = n.pi
100*0,0531 = 5,31
23,00
37,38
27,00
7,31

H0 : « Le nombre de garçons par familles dans notre échantillon de 100 familles suit une loi binomiale avec p = 0,52 »

(oi − ci ) 2 (8 − 5,31) 2
=
+ ... = 4,63
On calcule le χ = ∑
5,61
ci
i
2

On le compare à celui de la table pour α = 5% et ddl =(n-1) = (5-1) = 4 :
On voit que

χ 2 5% (ddl = 4) = 9,49

χ 2 = 4,63 << χ 2 5% (ddl = 4) = 9,49

L’écart entre les oi et les ci n’est pas significatif, H0 est retenue, notre échantillon suit bien le modèle binomial avec p = 0,52
La fréquence moyenne des garçons est égale à
p’ =

nombre total de garçons 8 * 0 + 22 * 1 + ... 194
=
=
= 0,4850 = 48,5%
100 * 4
400
nombre total d ' enfants

Exercice 4 :
Lors d'une étude sur l'effet de la teneur en calcium dans la nourriture des brebis, le poids frais (en g) du muscle semi tendineux
est mesuré sur 3 groupes d’animaux. D’après les résultats du tableau ci-après, que peut-on dire du poids frais du muscle semi
tendineux chez ces 3 groupes d’animaux ?
Gr. 1 61,80 46,00 21,70 25,20 48,80 47,70 39,00 43,10 39,90
Gr. 2 65,40 64,50 50,90 28,60 81,50 44,70
Gr. 3 65,70 48,10 64,20 67,90 42,30 62,00 44,30 56,30
Corrigé :
C’est la comparaison de trois moyennes, ce qui se fait grâce à un test ANOVA
Hypothèse nulle H0 = « Les trois poids frais moyens du muscle semi tendineux sont comparables »

k=3
n1=9, n2=6, n3=8,
n=(9+6+8)=23
k-1=2
n-k=20

Analyse de variance à un facteur (sur Excel)
RAPPORT DÉTAILLÉ
Groupes
Ligne 1
Ligne 2
Ligne 3

Nombre
d'échantillons
9
6
8

ANALYSE DE VARIANCE
Source des
Somme des
variations
carrés
Entre Groupes
1185,1597
A l'intérieur des
groupes
3633,4933
Total

4818,65304

Somme
373,2
335,6
450,8

Moyenne
41,4667
55,9333
56,3500

Degré de
liberté
2

Moyenne des
carrés
592,5799

20

181,6747

Variance
149,145
343,05867
103,57714

F
3,2618

Valeur critique
Probabilité pour F
0,0594
3,493

22

F = 3,26 < F5%(ddl1=2 ; ddl2=20) = 3,49
H0 est retenue, les trois poids frais moyens du muscle semi tendineux sont tout juste comparables (p=0,059=5,9%)
Exercice 5 :
Les mesures qui suivent donnent l’envergure de 10 albatros dans trois régions fixes A,B,C. Cette envergure diffère-t-elle d’une
région à l’autre ?
A 60,70 51,13 55,24 49,54 57,97 55,73 56,67 56,01 51,66 54,96
B 52,69 62,97 44,47 52,01 52,27 56,37 56,14 59,21 59,98 57,46
C 62,02 49,94 49,76 47,45 52,24 40,67 50,55 51,54 52,82 60,71
Corrigé :
C’est la comparaison de trois moyennes, ce qui se fait grâce à un test ANOVA
Hypothèse nulle H0 = « Les envergures moyennes des albatros sont comparables pour les trois régions »
k=3
n1=n2=n3=10
n=3*10=30
k-1=2
n-k=27

Analyse de variance: un facteur
RAPPORT DÉTAILLÉ
Groupes
Ligne 1
Ligne 2
Ligne 3

Nombre
d'échantillons
10
10
10

Somme
549,61
553,57
517,7

Moyenne
Variance
54,961 11,2934322
55,357 27,4010011
51,770 37,4569111

ANALYSE DE VARIANCE
Source des
Somme des
variations
carrés
Entre Groupes
77,3529
A l'intérieur des
groupes
685,3621
Total

Degré de Moyenne des
liberté
carrés
2
38,6764
27

762,714987

F
Probabilité
1,524
0,2361

Valeur critique
pour F
3,3541

25,3838

29

F = 1,524 < F5%(ddl1=2 ; ddl2=27) = 3,354
H0 est retenue, les envergures moyennes des albatros sont comparables pour les trois régions (p=0,2361=23,61%)

Exercice 6 :
L'âge moyen, en jours, du début de la reproduction a été observé pour deux variétés de daphnie Daphnia Longispina et les
résultats sont consignés dans le tableau suivant :

n

∑x

i

Varitété 1
7
52,6

Variété 2
7
52,9

398,3

402,2

i

∑x

2
i

i

Existe-t-il une différence significative entre l'âge moyen du début de la reproduction des deux variétés étudiées ?
Corrigé :
Hypothèse nulle H0 : « Les âges moyens de début de reproduction pour les deux variétés sont comparables »

x1 = 7,5143 ≈ 7,51
x 2 = 7,5571 ≈ 7,56
398,3
402,2
σ 12 =
− 7,5143 2 = 0,4353
σ 22 =
− 7,55712 = 0,3474
7
7
Ce sont des petits échantillons (n1<30 et n2<30), on cherche donc la variance commune

s2 =

n1σ 12 + n 2σ 22
7 * (0,4355 + 0,3474)
=
= 0,4566
(n1 − 1) + (n 2 − 1)
12

On en déduit l’écart réduit

t=

x1 − x 2
= 0,118

1
1
s. ( − )
n1 n 2

On compare cette valeur au t tiré de la table de Student pour le risque 5% et ddl = n1+n2-2 = 12
t5% = 2,179
On voit que t = 0,118 << t5% = 2,179
H0 est retenue, la différence n’est pas significative et les âges moyens de début de reproductions sont comparables pour les deux
variétés
Exercice 7 :
−1

−1

La mesure du taux de cholestérol dans un échantillon de 150 individus a donné x = 1,82 g .l et σ = 0,62 g .l .
-1
Si l’on considère que la valeur moyenne normale du taux de cholestérol dans la population est de 2,0 g.l , que pouvez-vous
conclure pour la cholestérolémie des 150 individus de cet échantillon ?
Corrigé :
Grand échantillon, n>30

t=

x − M n −1

= 3,54

σ

On compare cette valeur à celle de la table de Gauss t5% = 1,96
On voit que t = 3,54 >> t5% = 1,96 et même plus grand que t1%=2,58
-1
L’écart est hautement significatif, la cholestérolémie de l’échantillon (1,82 g.l ) est sensiblement plus basse que celle de la
-1
population (2,0 g.l ).
Exercice 8 :
On étudie l’efficacité d’un traitement destiné à faire diminuer le taux de cholestérol sanguin.
Nous formons, par tirage au sort, deux groupes de 100 personnes tirées d’un ensemble initial de 200 personnes.
er
ème
Le 1 groupe subit le traitement, le 2 groupe sert de témoin. Nous avons obtenu les résultats suivants :

∑x

Groupe traité :

i

= 250

∑x

i

∑x

i

2

= 1025

2

= 2140

i

i

Groupe témoin :

∑x

i

= 400

i

i

1) Estimer la moyenne et la variance de la cholestérolémie dans les deux groupes.
2) La différence constatée entre les deux groupes est-elle significative ?
Corrigé :
H0 : « Le traitement n’a pas d’effet sur la cholestérolémie

∑x
On a

x1 =

i

i

=

n

∑x
x2 =

i

n

x1 = x 2 »

2
1
1
250
2
= 2,50 σ 1 = ∑ xi2 − x =
(1025) − 2,5 2 = 4,00
n i
100
100

i

=

On calcule l’écart réduit

2
400
1
1
2
= 4,00 σ 2 = ∑ xi2 − x =
(2140) − 4,0 2 = 5,40
100
n i
100

t=

x 2 − x1

σ 12
n1 − 1

+

σ 22
n2 1

=

4,00 − 2,50
4,00 5,40
+
99
99

= 4,87

On compare cette valeur à celle de la table de Gauss t5% = 1,96
On voit que t = 4,87 >> t5% = 1,96
La différence entre tobs. et t5% est hautement significative
H0 est rejetée, le traitement diminue de façon significative la cholestérolémie (elle passe de 4,00 à 2,50)


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