méca .pdf



Nom original: méca.pdfAuteur: ahmlou

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par Acrobat PDFMaker 8.1 pour Word / Acrobat Distiller 8.1.0 (Windows), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 22/12/2010 à 14:13, depuis l'adresse IP 93.1.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1954 fois.
Taille du document: 64 Ko (5 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


ONDES SISMIQUES (Agro 1997, durée 3h30)
1) Sismographe
1.1.a) Appliquons le principe fondamental de la dynamique au point matériel M dans le
référentiel galiléen (R). Le point est en équilibre sous l’action de son poids et de la tension du
ressort
mg
G
G
0 = − m g u z + k ( L1 − L 0 ) u z ⇒ L1 = L 0 +
k
1.1.b)
Désignons par (Rb) le référentiel lié au boîtier, en translation rectiligne par rapport
au référentiel galiléen (R). La loi de composition des accélérations dans un tel mouvement donne :
⎛ d 2z d 2 ZP ⎞ G
G
⎛ d 2 L d 2 ZP ⎞ G
G
G
G
G
a
(
M
,
R
)
=
u
a ( M , R ) = a ( M , R b ) + a ( P, R ) ⇒ a ( M , R ) = ⎜ − 2 +
u ⇔
⎜ 2 +
2 ⎟ z
2 ⎟ z
dt
dt
dt
dt




1.2)
Appliquons le principe fondamental de la dynamique au point matériel M dans le
référentiel galiléen (R).
⎛ d 2z d 2 ZP ⎞ G
⎛ d 2z
⎞G
G
2
m a( M, R ) = m ⎜ 2 +
u
m
=
⎜ 2 − a ω cos ωt ⎟ u z
2 ⎟ z
dt ⎠
⎝ dt
⎝ dt


G
G
dL G
uz
= − m g u z + k ( L − L0 ) u z + f
dt
G
dL G
. . a ))
u z (d ' après (11
= k ( L − L1 ) u z + f
dt
G
dz G
uz ⇔
= − k uz − f
dt

k
= 10 s −1
2
⎪⎪ω0 =
d z f dz k
m
+
+ z = ω2 a cos ωt ⇔ ⎨
f
dt 2 m dt m
⎪λ =
= 1,05
2 km
⎪⎩
1.3)
L’équation caractéristique est r 2 + 2 λ ω0 r + ω0 = 0 . Le régime apériodique
2
2
critique correspond à : Δ' = ( λ ω0 ) − ω0 = 0 ⇔ λ = 1 .
2

−λt
( A + B t ) où A et
le régime transitoire correspondant a pour expression : z RT ( t ) = e
B sont des constantes d’intégration.

(

1.4.a) − ω + 2 λ ω0 j ω + ω0
2

2

)be

− jΦ

b
=
=ω a⇔
a
2

ω2



0

2

− ω2

)

2

+ 4 λ2 ω0 ω2
2

1.4.b)
Les résultats obtenus sont conformes au graphe proposé, comme le montre le
tableau ci-après :
Quand ω →
0


b/a ≈
ω2 / ω02
ω2 / ω2

lim (b/a) calculée
0
1

lim (b/a) sur graphe
0
1

1.4.c)
Le sismographe rend le mouvement de P si b/a = 1, donc pour les grandes
fréquences, c’est-à-dire si ω >> ω0.

Pour λ = 1, la durée « d’effacement » du régime transitoire est minimale.
2) Réflexion et réfraction d’ondes sismiques
2.1.a) Les lois de Descartes de la réflexion et de la réfraction donne :
r = − i1


⎩ n1 sin i1 = n 2 sin i 2

Cette équation n’admet de solution que pour sin i2 ≤ 1, soit pour sin i1 ≤ n2 / n1,
n
soit pour i1 ≤ i lim = Arc sin 2 .
n1
2.1.b)

Applications pratiques utilisant la réflexion totale : fontaines lumineuses
endoscope
fibres optiques pour la transmission des
télécommunications, ...
2.2.a)

x
S

M
e
r = - i1

i1





⎪⎪


⎪ tR = 2
⎪⎩

tD =

x
c1

x2
+ e2
x 2 + 4 e2
4
=
c1
c1

Voir graphe en annexe.

Pour x >>e, les courbes tR et tD = f(x) sont confondues.

2.2.b)

* L’angle θ correspond à l’incidence limite :

θ = Arc sin

c
n2
= Arc sin 1
c2
n1

d’après (2.1.b).
2
x 2e ⎛
c2
c1 ⎞
e
x − 2 e sin θ


t
=
+

* tT = 2
+
⇔ T
c 2 c1 ⎜ c 2 2 − c1 2 c 2 2 ⎟
c1 cos θ
c2



Voir graphe en annexe

* L’expression ci-dessus établie suppose x > x k = 2 e

c1
c2

* Pour x = xk, la distance parcourue dans le milieu d’indice n2 est nulle. Donc
t R = t T pour x = x k .

* tT = tD si

2
xb 2 e ⎛
c2
c ⎞ x

+
− 12 ⎟ = b ⇔
c2
c1 ⎜ c 2 2 − c1 2 c 2 ⎟ c1


2
c2 ⎛
c2
c1 ⎞



xb = 2 e
c 2 − c1 ⎜ c 2 2 − c1 2 c 2 2 ⎟



Le graphe représenté comporte deux segments de droites.
x
* Le premier, d’équation t D =
correspond à la détection en premier lieu du signal
400
−1
direct. Il permet de déduire c1 = 400 m . s .
x
+ 0,02 correspond à la détection en premier lieu du
* Le second, d’équation t T =
1200
−1
signal transmis. Il permet de déduire c 2 = 1200 m. s .
2.2.c)

2
c2 ⎛
c2
c1 ⎞

⎟ = 12 m ,

* Pour trouver e, on peut utiliser soit : x b = 2 e
c 2 − c1 ⎜ c 2 2 − c1 2 c 2 2 ⎟


2
c 2 ⎛ c1
c2
⎜ 2 −
soit x T ( t = 0) = 2 e
2
2
c1 ⎜ c 2
c 2 − c1



⎟ = 0,02 s . Dans les deux cas, on trouve :



e = 4,213 m

3) Célérité des ondes sismiques
3.1) Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l’atome n°n.
d 2x n
m
= − k [( na + ξ n ) − (( n − 1)a + ξn −1 )] + k [(( n + 1)a + ξ n +1 ) − ( na + ξn )]
dt 2
= − k [a + ξn − ξ n −1 ] + k [a + ξn +1 − ξn ]

d 2 ξn
k
2
= ω0 ( ξ n +1 + ξ n−1 − 2 ξn ) avec ω0 =
2
dt
m

ω0 représente la pulsation propre, c’est-à-dire la pulsation d’un atome seul dans l’espace.
3.2)
Adoptons la notation complexe : ξn ( t ) = b e j ωt e − j α na . En reportant dans
l’équation différentielle, on obtient :
2
− b ω2 e − j α na = ω0 b e − j α ( n+1) a + e − j α ( n−1) a − 2 e − j α na ⇔

(

)


ω2
e j α a + e− j α a ⎞
2 αa

= 2 ⎜1 −
⎟ = 2 (1 − cos αa ) = 4 sin
2
2
2
ω0


ω
αa
= 2 sin
: Condition : (C)
2
ω0
3.3)

Quand α a << 1, sin αa/2 ≈ αa/2. Donc

ω
αa
ω
≈2
⇔ = ω0 a = c .
ω0
2
α

3.4.a) Désignons par m la masse d’un atome, et par N le nombre d’atomes par unité de
volume. On a :
*μ=m.N
*M=m.N
* N = 1/a3
M
a =3
= 2,27510
. −10 m .
En combinant ces trois équations, on obtient :
N μ

3.4.b)

3.4.c)
3.5)

Ep = ka2 / 2 . On en déduit : k = 2

c = ω0 a = a

kN
M

Ep
a

2

= 12,365 N . m −1 .

= 2623 m . s −1 : L’ordre de grandeur est correct.

Le modèle rend sensiblement compte de la raideur des matériaux.

ANNEXE : Graphe donnant tD, tR et tT en fonction de x
La partie du graphe que retient le graphe n°5 est celle qui a été « soulignée » par une
multiplication du nombre de carrés et de croix.


Aperçu du document méca.pdf - page 1/5

Aperçu du document méca.pdf - page 2/5

Aperçu du document méca.pdf - page 3/5

Aperçu du document méca.pdf - page 4/5

Aperçu du document méca.pdf - page 5/5




Télécharger le fichier (PDF)


méca.pdf (PDF, 64 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP




Documents similaires


meca
atome laser
examen de p3
quantum
guided quasicontinuous atom laser
manuel de cours

🚀  Page générée en 0.013s