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Nom original: olympiades.pdfTitre: <4D6963726F736F667420576F7264202D20C3E6E1E3C8EDC7CF2020C7E1D1EDC7D6EDC7CA>Auteur: kansous

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‫‪1‬‬
‫اﻟﻤﻤﻠﻜﺔ اﻟﻤﻐﺮﺑﻴﺔ‬
‫وزارة اﻟﺘﺮﺑﻴﺔ اﻟﻮﻃﻨﻴﺔ واﻟﺘﻌﻠﻴﻢ اﻟﻌﺎﻟﻲ‬
‫وﺗﻜﻮﻳﻦ اﻷﻃﺮ واﻟﺒﺤﺚ اﻟﻌﻠﻤﻲ‬
‫اﻷآﺎدﻳﻤﻴﺔ اﻟﺠﻬﻮﻳﺔ ﻟﻠﺘﺮﺑﻴﺔ و اﻟﺘﻜﻮﻳﻦ‬
‫ﻟﺠﻬﺔ اﻟﻌﻴﻮن‪ -‬ﺑﻮﺟﺪور‪-‬اﻟﺴﺎﻗﻴﺔ اﻟﺤﻤﺮاء‬

‫‪1‬‬

‫أوﻟﻤﺒﻴﺎد اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬
‫ﺟﺬع ﻣﺸﺘﺮك ﻋﻠﻮم‬
‫اﻟﻤﺮﺣﻠﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‬

‫ﻣﺪة اﻻﻧﺠﺎز‪ 3 :‬ﺳﺎﻋﺎت‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻷول‪:‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﺪدا ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ ﻣﻮﺟﺒﺎ ﺑﺤﻴﺚ‪x + 23 + x = 46 :‬‬
‫ﺣﺪد اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺮ ‪x + 23 − x‬‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ‪:‬‬
‫‪ (1‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬و ‪ y‬ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ ﻣﻮﺟﺒﻴﻦ‪.‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن ‪x + y ≥ 2 x y‬‬
‫‪a b c d‬‬
‫‪ (2‬ﺑﻴﻦ أن ‪+ + + ≥ 4‬‬
‫‪b c d a‬‬

‫ﻟﻜﻞ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬و ‪d‬‬

‫أﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻗﻄﻌﺎ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ‪:‬‬
‫ﻗﺎرب ﻳﺆﻣﻦ اﻟﻤﺮور ﺑﻴﻦ ﻣﺪﻳﻨﺘﻲ اﻟﺮﺑﺎط و ﺳﻼ ﻋﻠﻰ ﻧﻬﺮ أﺑﻲ رﻗﺮاق ﻓﻲ ﺣﺮآﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﺑﺴﺮﻋﺔ‬
‫ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﻴﺮ اﻟﺮﻳﺎح ﺗﺼﺒﺢ هﺬﻩ اﻟﺴﺮﻋﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬

‫‪ V‬ﺣﻴﺚ )‬

‫ﻣﻦ اﻟﺮﺑﺎط اﻟﻰ ﺳﻼ ‪+ v‬‬
‫ﻣﻦ ﺳﻼ اﻟﻰ اﻟﺮﺑﺎط ‪V −v‬‬

‫‪&lt;V‬‬

‫‪.V‬‬

‫‪(0 &lt;v‬‬

‫هﻞ ﻟﻮﺟﻮد اﻟﺮﻳﺎح ﺗﺄﺛﻴﺮ اﻳﺠﺎﺑﻲ أم ﺳﻠﺒﻲ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺪة اﻟﺘﻲ ﻳﺴﺘﻐﺮﻗﻬﺎ اﻟﻘﺎرب ذهﺎﺑﺎ و اﻳﺎﺑﺎ؟‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺮاﺑﻊ‪:‬‬

‫) ‪ ( D1‬و ) ‪( D 2‬‬
‫) ∆ ( اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ‪ ( D1‬و ) ‪ ( D 2‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪. P‬‬

‫‪A‬و ‪D‬‬
‫‪ C‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ‬

‫) ‪( D1‬‬

‫و‬

‫) ‪( D1‬‬

‫) ‪(D2‬‬

‫‪AD = 5‬‬

‫و ‪ B‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ) ‪ ( D 2‬ﺑﺤﻴﺚ ‪ AB = 7‬و ‪DC = 9‬‬

‫) أﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ﺟﺎﻧﺒﻪ(‬

‫ﺣﺪد اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) ‪ ( AB‬و ) ‪(CD‬‬
‫)أي اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪( MH‬‬
‫و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ (‬

‫)∆(‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺨﺎﻣﺲ‪:‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن‪:‬‬

‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪&lt; cos (1) + sin (1) &lt; 1 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬

‫‪1+‬‬

‫)اﻟﻮﺣﺪة اﻟﻤﺨﺘﺎرة هﻲ اﻟﺮادﻳﺎن(‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺴﺎدس‪:‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ P‬ﻧﺼﻔﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ [Ox‬و ) ‪[Oy‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A1‬و ‪ A 2‬و ‪ A3‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪[Ox‬‬
‫و ‪ B 1‬و ‪ B 2‬و ‪ B 3‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ ﻧﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ [Oy‬ﺑﺤﻴﺚ‪:‬‬

‫‪y‬‬

‫‪β‬‬

‫‪OA1 = OB 1 = B 1A 2 = A1B 2 = B 2 A 3 = A 2 B 3 = a‬‬
‫) أﻧﻈﺮ اﻟﺸﻜﻞ ﺟﺎﻧﺒﻪ(‬
‫‪l‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ β‬ﻗﻴﺎس اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ ‪A1OB 1‬‬
‫ﺣﺪد ‪ β‬ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ‪A3 B 3 = a‬‬

‫‪x‬‬


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