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Sommaire
[ MPSI – MATHEMATIQUES 1 ]............................................................................................................................ 1
SOMMAIRE .............................................................................................................................................................. 1
1 – VOCABULAIRE DE LA THEORIE DES ENSEMBLES ................................................................................. 2
I NOTIONS DE LOGIQUE ............................................................................................................................................ 2
II NOTION D'ENSEMBLE ............................................................................................................................................ 2
III PRODUIT CARTESIEN, GRAPHE, APPLICATION ....................................................................................................... 3
IV RELATIONS BINAIRES .......................................................................................................................................... 4
V LOI DE COMPOSITION INTERNE .............................................................................................................................. 5
2 – NOMBRES ENTIERS ET DENOMBREMENT................................................................................................ 6
I L'ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ................................................................................................................... 6
II ENSEMBLES FINIS, CARDINAL ................................................................................................................................ 6
III NUMERATION ...................................................................................................................................................... 7
IV ANALYSE COMBINATOIRE .................................................................................................................................... 8
3 – STRUCTURES ALGEBRIQUES ....................................................................................................................... 9
I STRUCTURE DE GROUPE ......................................................................................................................................... 9
II STRUCTURE D'ANNEAU ....................................................................................................................................... 10
III CORPS............................................................................................................................................................... 11
4 – ARITHMETIQUE DES ENTIERS RELATIFS, CORPS DES RATIONNELS ET DES REELS .................. 12
I ARITHMETIQUE DE ............................................................................................................................................ 12
II LE CORPS DES RATIONNELS ................................................................................................................................. 13
III LE CORPS DES REELS .......................................................................................................................................... 13
5 – ESPACES VECTORIELS ................................................................................................................................ 16
I DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ................................................................................................................. 16
II SOUS–ESPACES VECTORIELS ................................................................................................................................ 16
III APPLICATIONS LINEAIRES .................................................................................................................................. 17
6 – FAMILLES LIBRES, FAMILLES LIEES, BASES, DIMENSIONS............................................................... 19
I FAMILLES LIBRES, LIEES, GENERATRICES .............................................................................................................. 19
II DIMENSION ........................................................................................................................................................ 20
III APPLICATIONS LINEAIRES ET DIMENSION ............................................................................................................ 21
IV L'ALGEBRE DES NOMBRES COMPLEXES ............................................................................................................... 22
V EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ............................................................................................................ 23
7 – SUITES REELLES ........................................................................................................................................... 25
I GENERALITES ...................................................................................................................................................... 25
II SUITES CONVERGENTES ...................................................................................................................................... 25
III CONVERGENCE ET STRUCTURE DE ................................................................................................................... 26
IV APPROXIMATION D'UN REEL .............................................................................................................................. 27
V COMPARAISON DES SUITES .................................................................................................................................. 27
VI SUITES COMPLEXES ........................................................................................................................................... 28

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I Notions de logique
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II Notion d'ensemble
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III Produit cartésien, Graphe, Application
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IV Relations binaires
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V Loi de composition interne (LCI)
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II Ensembles finis, cardinal
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III Numération
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IV Analyse combinatoire
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II Structure d'anneau
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III Corps
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I Arithmétique de
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∀ 9 2 ∈ J9 ∧ 2
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0 8$ % # 0$+2, 0'1'&'2','(/
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II Le corps des rationnels
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9 26. 6
9 226
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)& × A Iℜ 9 $) 0/3')'( ,& ,$'& -+$(' )( &+# ,& *,&& & -+6
/-+'1 ,)* 6%%,'* ('$)9 -+' : +) *$+%, 92
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9
1*
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III Le corps des réels
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I Définition et premières propriétés
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II Sous–espaces vectoriels
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III Applications linéaires
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I Familles libres, liées, génératrices
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) 3 8',, ')3')' &( ,'2# ⇔ ($+( &$+& 3 8',, 3')' &( ,'2#
$'( 4' '∈ +) 3 8',, ')3')' 0 1 *( +#& 0
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∀ λ' '∈ +) 3 8',, 0 &* , '# & %# &-+ ($+& )+,& 8 '& )$) ($+& )+,&9 Σ λ' 4' . E
) 3 8',, ')3')' &( ,'/ ⇔ +) &$+& 3 8',, &( ,'/
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&( ,'2# $+ ,'/

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) 2 & 06
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) 3 8',, &( +) 2 & 0 ⇔ ∀ 4 ∈ 9 ∃ G λ' '∈ %# &-+ ($+& )+,&9 4 . Σ λ' 4'
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II Dimension
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III Applications linéaires et dimension
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IV L'algèbre des nombres complexes
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V Equations différentielles linéaires
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0 8$
' ∆ . 2J
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$,+('$)&0 ,6/-+ ('$) 1 * "F8 8 82# ;
$+( &,&&$,+('$)&&$)( $2( )+ & ) =$+( )( :+) &$,+('$) % #('*+,'F# 7E ($+( &,&&$,+('$)&0 ,6/-+ ('$) & )&"
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L

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I Généralités
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+) &(('$)) '# ⇔ ∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E +) . +)E
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,$#&+) . +E #)
( ) . )P +E P # ) )P I"
+) /$8/(#'-+ ⇔ ∃ - ∈ 9∀ ) ∈ 9 +)P . - +)
,$#&+) . -) +E
( ) . +E
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B

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&(+)

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ϕ &(&(#'*(8 )(*#$'&& )(
⇔ ∀ ) ∈ 9 ϕ()P ^ ϕ )
⇔ ∀ %9 - ∈ J9 % ^ - ϕ % ^ ϕ ∀ ) ∈ 9 ϕ() ≥ )
4 8%,&;&+'(& 4(# '(&0 &(#8 &0 # ) % '#$+ '8% '
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D
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+)
+)
+)
+)

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$#0#
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$#/ ⇔ ∃ ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 +) ≤
8')$#/ ⇔ ∃ 8 ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 +) ≥ 8
2$#)/ ⇔ +) 8 =$#/ (8')$#/
8 =
$#/ ⇔ +) 8 =
$#/ : % #('#06
+) * #(') # )
8')$#/ ⇔ +) 8')$#/ : % #('#06
+) * #(') # )
2$#)/ ⇔ +) 2$#)/ : % #('#06
+) * #(') # )
2$#)/ ⇔ ∃ ∈ P9 ∀ ) ∈ 9 S+)S ≤
0 8$
*#$'&& )( ⇔ ∀ ) ∈ 9 +) ≤ +)P
&(#'*(8 )(*#$'&& )( ⇔ ∀ ) ∈ 9 +) U +)P
*#$'&& )( ⇔ ∀ %9 - ∈ J9 % U - +% ≤ +0 8H8 %$+#,&&+'(&0/*#$'&& )(&

0 8$

II Suites convergentes
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+) *$)1 # 1 #& ⇔ ∀ ε ∈

∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E S+)
S≤ε
ε ≤ +) ≤ P ε
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#
*6&( : 0'
# +) ∈
ε9 P ε
+) *$)1 # 1 #& ⇔ ∀ ε ∈ P9 ∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E S+)
SUε
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' +) → ,
$#& &(+)'-+
),
6%% ,, ,'8'( 0 +) 9 )$(/,'8 +) 0 8$
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L
+) → ⇔ +)

"

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+) →
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0 8$

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0 8$
'$) 4(# '(: +) 0 +4&+'(&-+'*$)1 ) )(1 #&" ,'8'(&0'&(')*(&9 ,$#& +) 0'1 #
'$) 4(# '(: +) +) &+'( 0'1 # )(9 ,$#& +) 0'1 #
4; &') )πI" &(0'1 # )(
O
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' ,, " # *') &9 4 (79 $) 0/8$)(# -+ +) 4 I +) 7 &( /$8/(#'-+
+'1 )(, # %%$#(9 +) → 49 +) → 7$+ +) &(%/#'$0'-+ 0 %/#'$0 "
' ,, +) & +, # *') 9 49 $) 0/8$)(# -+ I +) 4 &( #'(@8/('-+ 9 0$)* +) → 4

4()&'$) :
+) 0'1 # 1
+) 0'1 # 1
!$(('$) ; +)
+) → P∞

#&P∞ ⇔ ∀ Α ∈ 9 ∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E
#& ∞ ⇔ ∀ Α ∈ 9 ∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E
→ P∞
$+( &+'( 4(# '( 0 +) 0'1 # 1 #&P∞

+) ≥
+) ≤

III Convergence et structure de
%/# ('$)&&+#,&,'8'(&
&&+'(&#/ ,,&*$)1 # )(&3$#8 )(+) &$+& ,F2# 0
8$#%@'&8 06,F2# ;
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0 8$
,'8 +) 1) . ,'8 +) ,'8 1)
0 8$
,'8 λ +) . λ ,'8 +)
0 8$
,'8 1) I+) . ,'8 1) I,'8 +)
0 8$

9 (,6%%,'* ('$) -+': +)

&&$*' ,'8 +)

&(+)

4()&'$) :
+) → P∞ ( 1) →
+) P 1) → P∞
0 8$
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8$7 )) #'(@8/('-+ $+ %$)0/#/ 0 &) %# 8'#&/,/8 )(&0 , &+'(
88 0 ,
6&* ,'#;&' +)P +) ()01 #&+) #/ , 9 +)I) ()0 1 #&
& +, +($8$#%@'&8 0

"

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'0 )('(/

$8% # '&$) 0 &,'8'(&

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∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E +) U 1)
$)(# %$&/ ;∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E +) ≤ 1)
,$#&,'8 +) ≤ ,'8 1)
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,$#&,'8 1) . ,'8 +) . ,'8 Z)
4()&'$) :
∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E +) ≤ 1)
+) → P∞ 1) → P∞
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+) ≤ 1) ≤ Z) (,'8 +) . ,'8 Z)

L
1) → ∞

B

+) → ∞

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+) *#$'&& )( ()$) 8 =
$#/
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0 8$
0 8H8 %$+# +) 0/*#$'&& )(
&(+) &+'( 0 & 8 )(& 82$'(/&&' ) . )9 2) 9 $5 ) &(*#$'&& )(9 2) 0/*#$'&& )(9 (∀ ) ∈ 9 ) U 2)
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,$#& ,'8 ) 9 ,'8 2) . ∩ )9 2)
0 8$
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0 8$
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$+( &+'( 2$#)/ 0 $) % +( 4(# '# +) &+'( *$)1 # )(

IV Approximation d'un réel
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$+(#/ , &(,'8'( 06
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"

0 8$

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) %$& 4) . %) I E) ( 7) . %) P I E)
4) ( 7) &$)( 0=* )(&
0 8$
) %$& ) . %)P
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k
k = 0 10

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8 ,',,'8'(/0 4

) ∀ ) ∈ 9 ∃ % ∈ 9 %^) ( %≠ Q
0 8$%
/*'%#$-+ ; ($+( &+'( ) (,, -+
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∀ W ∈ A9 W ∈ ME9 9 9 QN9
∀ ) ∈ 9 ∃ % ∈ 9 % ^) ( % ≠ Q
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$)) ,;+) )$82#
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0 8$
0 8$% #,62&+#0
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', 4'&( +) %/#'
$0 0 )&,

V Comparaison des suites
,('$) 0 0$8') ('$)
+) &(0$8')/ % # 1) ⇔ ∃ α ^ E9 ∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E S+)S ≤ αS1)S
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# ,('$) 0 0$8') ('$) &(#/3,4'1 ((# )&'('1
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+) . 1) ⇔ ∃ )E ∈ 9 ∃ Z) ) ≥ )E ∈ 9 +) ) ≥ )E . 1) ) ≥ )E × Z) ) ≥ )E ( Z) ) ≥ )E 2$#)/ 0 8$
&% #('*+,'#; ' ) ∈ A 9 +) . 1) ⇔ +) I1) 2$#)/

+) . Z) ( 1) . Z)
+) P 1) . Z)

+) . Z) ( 1) . 4)
+) × 1) . Z) × 4)
0 8$

+) . 1)
λ +) . 1)
' +) . 1) ( 1) → E ,
$#& +) → E
0 8$

u n +1 v n +1
,$#& +) . 1)
0 8$

un
vn
u n +1 v n +1
$#$,,'# ; '∃ )E ∈ 9∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E
( 1) → E ,$#& +) → E

un
vn

'∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E

"L

L

'∃ W ∈ 9 +)P I+) → W ,$#&
• SWS U
+) → E
• SWS ^
S+)S → P∞

"
+)

0 8$

,('$) 0 %#/%$)0/# )*
&()/ ,' 2, 0 1 )( 1)

⇔ 1) &(%#/%$)0/# )( 0 1 )( +)
⇔ ∀ α ^ E9 ∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E

S+)S ≤ αS1)S
!$(('$) ; +) . $ 1)
# ,('$) 0 %#/%$)0/# )* &((# )&'('1
0 8$

+) . $ 1)
+) . Z)

+) . $ 1) ( 1) . Z)
+) . $ Z)

+) . 1) ( 1) . $ Z)
+) . $ Z)

+) . $ 1) ( Z) . $ 4)
+) P Z) . $ 1) P 4)

+) . $ 1) ( Z) . $ 4)
+) × Z) . $ 1) × 4) 0 8$

+) . $ 1)
λ +) . $ 1)
+) . $ 1) ⇔ ∃ )E ∈ 9 ∃ h ) ) ≥ )E ∈ 9 +) ) ≥ )E . 1) ) ≥ )E × Z) ) ≥ )E ( Z) ) ≥ )E → E 0 8$
&% #('*+,'#; ' 1) ∈ A 9 +) . $ 1) ⇔ +) I1) → E
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4 8%,&; &') +) b +)
b +)
,) +)P
b +)
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0 8$
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+) Z) b 1) 4)
+) IZ) b 1) I4) &', 0'1'&'$) &(%$&&'2,
' 1) . $ 4) ,$#& +) P Z) b 4)
'∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E 1) ^ E (4) ^ E ,$#& +) P Z) b 1) P 4)
'∃ α ∈ 9 4) b α 1) 9 ,
$#&;

'α ≠ 9 ,$#& +) P Z) b Pα 1)

'α . 9 ,$#& +) P Z) . $ 1)
4 8%,&&+#,&&+'(&3# *('$)&0 %$,7)Y8 &

' +) b 1)
' +) b 1)






VI Suites complexes
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&(+)
,F2#
b0 8$
∀ +) ∈ 9 ∃ ) 9 2) ∈
J9 +) . ) P ' 2)
+) &(2$#)/ ⇔ ∃ ∈ P9 ∀ ) ∈ 9 S+)S ≤
6)& 82, 0 &&+'(&2$#)/ &3$#8 )(+) &$+& ,F2# 0
+) . ) P ' 2) &(2$#)/ ⇔ ) ( 2) &$)(2$#)/ &

"

b0 8$

+'(&*$)1 # )(&

+) *$)1 # 1 #& ⇔ ∀ ε ∈ P9 ∃ )E ∈ 9 ∀ ) ∈ 9 ) ≥ )E
+) *$)1 #
+) 2$#)/
0 8$
+) → α P 'β ⇔ ) → α ( 2) → β
0 8$

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∀ +) 9 1) ∈
J9 (,,&-+ +) ( 1) *$)1 # )(9
∀ λ9 µ ∈ J9 ,'8 λ +) P µ 1) . λ ,'8 +) P µ ,'8 1)
,'8 +) 1) . ,'8 +) ,'8 1)
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&',6
$#0# ')(#1')(

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