cours MPSI Mathematiques 2 .pdf



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Sommaire
[ MPSI – MATHEMATIQUES 2 ]............................................................................................................................ 1
SOMMAIRE .............................................................................................................................................................. 1
8 – FONCTIONS REELLES D'UNE VARIABLE REELLE .................................................................................. 3
I GENERALITES ........................................................................................................................................................ 3
II ETUDE LOCALE ..................................................................................................................................................... 3
II CONTINUITE SUR UN INTERVALLE .......................................................................................................................... 5
IV MONOTONIE ....................................................................................................................................................... 5
V BRANCHES INFINIES .............................................................................................................................................. 6
VI FONCTIONS PUISSANCES ...................................................................................................................................... 7
VII SUITES DEFINIES PAR UNE RELATION DE RECURRENCE ......................................................................................... 7
9 – DERIVATION D'UNE FONCTION REELLE D'UNE VARIABLE REELLE ................................................ 8
I DERIVEE ET DIFFERENTIELLE .................................................................................................................................. 8
II OPERATIONS SUR LES FONCTIONS DERIVEES........................................................................................................... 8
III THEOREME DE ROLLE ET THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS .......................................................................... 9
10 – INTEGRALE DE RIEMANN ......................................................................................................................... 11
I FONCTIONS EN ESCALIER ...................................................................................................................................... 11
II INTEGRALE D' UNE FONCTION EN ESCALIER SUR UN SEGMENT ................................................................................ 11
III INTEGRALE D' UNE FONCTION CONTINUE PAR MORCEAUX SUR UN SEGMENT .......................................................... 12
IV INTEGRALES ET PRIMITIVES ............................................................................................................................... 13
V FORMULES DE TAYLOR ....................................................................................................................................... 14
VI COMPLEMENTS : FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES ......................................................................................... 14
VII METHODES D' APPROXIMATION D'INTEGRALES ................................................................................................... 14
11 – FONCTIONS USUELLES .............................................................................................................................. 16
I FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES .......................................................................................................................... 16
II FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES ................................................................................................... 16
III FONCTIONS HYPERBOLIQUES.............................................................................................................................. 17
IV DERIVEES ET PRIMITIVES ................................................................................................................................... 19
12 – ETUDE PRATIQUE D'UNE FONCTION REELLE..................................................................................... 20
I COMPARAISON DE FONCTIONS AU VOISINAGE D' UN POINT ...................................................................................... 20
II DEVELOPPEMENTS LIMITES ................................................................................................................................. 21
III APPLICATIONS................................................................................................................................................... 22
IV DEVELOPPEMENTS LIMITES A CONNAITRE .......................................................................................................... 22
V DEVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES.................................................................................................................... 23
13 – POLYNOMES................................................................................................................................................. 24
I DEFINITION – STRUCTURE .................................................................................................................................... 24
II ARITHMETIQUE DE K[X] ..................................................................................................................................... 25
III DERIVATION ET RACINES ................................................................................................................................... 26
IV ETUDE DE [X] ET DE [X] ............................................................................................................................... 26
V EQUATIONS ALGEBRIQUES .................................................................................................................................. 27
VI FRACTIONS RATIONNELLES ................................................................................................................................ 28
VII COMPLEMENT : POLYNOMES D'INTERPOLATION ................................................................................................. 29
14 – CALCUL DE PRIMITIVES ET D'INTEGRALES........................................................................................ 30
I FONCTION POLYNOMIALE EN SIN(X) ET COS(X)...................................................................................................... 30
II FONCTION RATIONNELLE .................................................................................................................................... 30
III FONCTION RATIONNELLE DE SIN(X) ET COS(X) .................................................................................................... 30
IV FRACTION RATIONNELLE EN SH(X) ET CH(X)....................................................................................................... 30

V PRIMITIVES DU PRODUIT D'UN POLYNOME ET D'UNE EXPONENTIELLE .................................................................... 31
VI INTEGRALES ABELIENNES ATTACHEES A UNE COURBE UNICURSALE ..................................................................... 31

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I Généralités
'()*)+),*

+-./+.-

* (,*/+),* 0'()*) 1.- ⊂ 23 4.-0 *1 1+.* 554
)/ +),* 0 3 -1
#$ *1 674 0 1(,*/+),*10 23 4.-0 *1 1+*,+'
8
# 0,6 )* 0 0'()*)+),* 0$.* (,*/+),* 1+4 54.1 - *0 5 -+) 0 1.-49. 44 4 (,*/+),* :)1+

- 5;

- 5;)9.

,)+( ∈
8
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# - 5;)9. 0 ( 1+< :8( : 8 : ∈ =⊂

&

!,*/+),*1 +- 4+),* 0$,-0-

,)*+ (8 ∈
8 >
?(? 1+0'()*) 5 -∀ :∈ 8 ?(? : @ ?( : ? * A ?(?≤ ( ≤ ?(?
1.5 (8
1+0'()*) 5 -∀ :∈ 8 1.5 (8 : @ .5 <( : 8 : =
)*( (8
1+0'()*) 5 -∀ :∈ 8 )*( (8 : @ *( <( : 8 : =
(B @ 1.5 (8 C
( @ 1.5 (8 C
* ( @ (B ( 8 +?(?@ (B B (
D0 6,
( 6 E,-' 1.- ⇔ ∃ ∈ 8 ∀ :∈ 8 ( : ≤
( 6)*,-' 1.- ⇔ ∃ 6 ∈ 8 ∀ : ∈ 8 ( : ≥ 6
( 7,-*' 1.⇔(6 E
,-' +6)*,-' 1.)( 1+6 E
,-' 1.- 8 (
06 +.* 7,-* 1.5'-).- * 4 *,+ Sup f ( x ) @ .5 (
x∈A

⇔ ∀ :∈ 8 ( : ≤
+
∀ ε ∈ B8 ∃ : ∈ 8 ( : ≥
ε
( 7,-*' 1.- ⇔ ?(?6 E
,-' 1.D0 6,
( 06 +.* 6 :)6.6 4,7 4⇔ ∃ :C ∈ 8 ∀ : ∈ 8 ( : ≤ ( :C
( 06 + * .* 5,)*+: ∈ .* 6 :)6.6 4
,/ 4⇔ ∃ α F C8 : α8 : B α ⊂
+
∀ : ∈ : α8 : B α 8 ( : ≤ ( :C
++*+),* A.* 6 :)6.6 4,7 4*$ 1+5 1(,-/'6 *+.* 6 :)6.6 4
,/ 4
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-)+' +5'-),0)/)+'
,)+( ∈
8
( 1+5 )⇔ ∀ :∈ 8 : ∈
+( : @ ( :
( 1+)65 )⇔ ∀ :∈ 8 : ∈
+( : @ ( :
#$ *1 674 0 1(,*/+),*15 )- 10 23 4.-0 *1 1+*,+' P 8
#$ *1 674 0 1(,*/+),*1)65 )- 10 23 4.-0 *1 1+*,+' I 8
8
@P 8
⊕I 8
0 6,( /)4
( 1+5'-),0)9. 0 5'-)
,0 ⇔ ∀ : ∈ 8 :B ∈
+( :B @ ( :
,)+( ∈
8
#$ *1 674 0 15'-),0 10 ( 1+.* 1,.1 -,.5 00)+)( 0

D0 6,

II Etude locale
#)6)+ +/,*+)*.)+' * .* 5,)*+
,)+( ∈
8 8 ,G 1+.* )*+-3 44
* 5-,5-)'+'4,/ 4 1+.* 5-,5-)'+'3 4)0 0 *1.* )*+-3 44
1+.* 3,)1)*
0 ⇔ ⊂ 8 +∃ α F C8
α8 B α ⊂
( 06 +4 4)6)+ 4
,-19. : +*03 -1:C ⇔ ∀ ε F C8 ∃ α F C8 ∀ : ∈ 8 ?: :C?≤ α
,.
,.
&

?( : ?≤ ε
ε≤( : ≤ Bε
(:∈
ε8 B ε

%#

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* 5 .++,.E,.-11 - 6 * -2 (( /+. -4 4)6)+ * C A4)6 :→ :C ( : @ ⇔ 4)6 :→ C ( :B:C
*)/)+'0 4 4)6)+ * .* 5,)*+
0 6,A,* /;,)1)+ε ≤
$
,. */,lim f ( x ) =
",++),* Af ( x ) 
→
x →x

"

%#

@C

x →x0

0

4)6 :→ :C ( : @ +:C ∈
( :C @
0 6,- 5)0
( 1+/,*+)*. * :C ∈
⇔ 44 06 +.* 4)6)+ * :C
⇔∀ ε F C8 ∃ α F C8 ∀ : ∈ 8 ?: :C?≤ α ?( : ( :C ?≤ ε
: A : *$ 1+/,*+)*. 9. 1.- H
* 0'()*)+ ∈
∪ < =8
,)+( ∈
8 8 + .* 7,-* 0 8 ∉ 8 +4)6 :→ ( : @ ∈
1+4 5-,4
,* 6 *+5 -/,*+)*.)+'0 ( *
∀ :∈ 8 : @ ( : +
@

8 +44 9.

:+*1),* 2
,)+( ∈

8

8 ,G

f ( x ) x
→
→+∞
f ( x ) x
→ +∞
→+∞

1+.* )*+-3 44 *,* 6 E,-'
⇔ ∀ ε F C8 ∃ ∈ 8 ∀ : ∈ 8 :F
⇔ ∀ %∈ 8 ∃

∈ 8 ∀ : ∈ 8 :F

?≤ ε

?( :
( : ≥%

6I6 5,.- ∞

&

#)6)+ +/,*+)*.)+'2 ./; J20-,)+

,)+( ∈

8

8 + ∈

∪ < *(

= H < .5

= f ( x ) 
→
x →a +

1)

?≤ ε
∀ ε F C8 ∃ α F C8 ∀ :∈ 8 K :≤ Bα ?( :
( 1+/,*+)*. 20-,)+ 1)4)6 :→ B ( : @ (
6I6 2 ./;
( 1+/,*+)*. * ∈ H < .5 8 *( =⇔ ( /,*+)*. * 2 ./; +20-,)+

#)6)+10 (,*/+),*18 4)6)+10 1.)+1
) @ .5 ∉ 4,-1∃ .* ∈ 8 .* →
0 6,( /)4
,)+( ∈
8 8 + ∈ ,. 7,-* 0 8 f ( x ) 
→ ⇔ ∀ .* ∈ 8 .* →
x →a

( .* →

0 6,
% +5 1
5 1%
+)4)1 +),* A: → 1)* J: *$ 06 +5 10 4)6)+ 4,-19. :→ C

L

5'- +),*11.-414)6)+1

,)+ ⊂ 8 + ∈ ,. 7,-* 0
<( ∈
8 8 f ( x ) x
→ 0 = 1+.*
→a

15 / 3 /+,-)4

0 6, * 5 11 *+5 -411.)+1

)4)6 :→ ( : @ C + .* (,*/+),* 7,-*' . 3,)1)*
0 8 4,-14)6 :→ (
4)6 ( B 4)6
@ 4)6 (B
4)6 λ ( @ λ 4)6 (
4)6 ( @ 4)6 ( 4)6
)4)6 ≠ C8 4)6 (J @ 4)6 ( J4)6
,-,44)- A )( + 1,*+/,*+)*. 1 * 8 4,-1(B 8 λ (8 ( 8 (J /,*+)*. 1 *
: A+,.+ (,*/+),* 5,4M*N6 1+/,*+)*. 1.-

O

,65,1)+),* 0 14)6)+1

(∈
8 8 ∈ P8 8 +( ⊂ P8 ∈ ,. 7,-* 0
)4)6 :→ ( : @ 7 +4)6 :→ 7 : @ 4
,-14)6 :→
(: @
,-,44)- A( /,*+)*. * ∈ + /,*+)*. * ( ∈ P8 4
,-1

Q

: @C

0 6,7/5 0 *,++),*1
( 1+/,*+)*. *

#)6)+1 +- 4+),* 0$,-0-

4)6 : → ( : @ 4)6 : →
: @ $
K $ ∃ β F C8 ∀ : ∈ 8 ?: ?≤ β ( : K :
0 6,A,* 5- *0 ε K $
,-,44)- A ) 4)6 : → ( : @ F C8 ∃ 6 F C8 ∃ β F C8 ∀ : ∈ 8 ?: ?≤ β ( : F 6
∃ β F C8 ∀ : ∈ 8 ?: ?≤ β ( : ≤ :
≤ $ /,*+- 5,1'
) (8 8 ; ∈
8 8 +9. 4)6 : → ( : @ 4)6 : → ; : @ 8 +∃ β F C8 ∀ : ∈ 8 ?: ?≤ β
4,-14)6 : →
: @

(: ≤

: ≤ ;:

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II Continuité sur un intervalle
'()*)+),*
( 1+/,*+)*. 1.- ⇔ 44 1+/,*+)*. * +,.15,)*+0
C 8
",++),* A( ∈ C 8
1+.*
4R7( ∈ C 8 8 ∈ C P8
+( ⊂ P 4
,-1 ( ∈ C 8

6

/,*+)*. 0$.* )*+-3 44

;',-R6 0 13 4.-1)*+-6'0) )- 1A( ∈ C 8
∀ 8 7 ∈ >8 ∀ λ ∈ *( ( 8( 7 8 .5 ( 8( 7 8 ∃ : ∈ 8 7 8 ( : @ λ
A,* '+.0) ( λ S,* /-' 1.)+1 0E/ *+19.) /,*3 - *+3 -1:
,-,44)- A∀ ( ∈ C 8 8 (
1+.* )*+-3 44
0 6,- 5)0

&

6

/,*+)*. 0$.* 1 6 *+

6 *+@ )*+-3 44 7,-*' +( -6'
∀ ( ∈ C 8 7 8 8 ( 8 7 1+ .11) .* 1 6 *+
A,* 6,*+- 9. ( 8 7 1+7,-*' 5.)15 - 0 11.)+1 +%T ,* +-,.3 .* *+'/'0 *+2
: 654

,*+)*.)+'.*)(,-6
,)+( ∈
8
( 1+.*)(,-6'6 *+/,*+)*. 1.- ⇔ ∀ ε F C8 ∃ α F C8 ∀ :8 :$ ∈ >8 ?: :$?≤ α ?( : ( :$ ?≤ ε
71.-0 5.)1%T
;',-R6 0
)* A∀ ( ∈ C 8 7 8 8 ( 1+.*)(,-6'6 *+/,*+)*.
) ∃ :* 8 :$* ∈
>8 +4419. :* :$* → C + ( :* ( :$* * /,*3 - 5 13 -1C 4,-1( *$ 1+5 1
.*)(,-6'6 *+/,*+)*.
0 6,*,++),*1
( 1+U 4)51/;)+V) ** U∈ BW 1) ∀ :8 :$ ∈ >8 ?( : ( :$ ?≤ U?: :$?
( 1+4)51/;)V) **
( .*)(,-6'6 *+/,*+)*.
0 6,- 5)0
;',-R6 0. 5,)*+(): A ,)+( ∈
8 7 8 8 7 8 ( 1+U 4)51/;)+V) ** 0 - 55,-+U∈ C8
/$ 1+X2X0)- (
/,*+- /+*+ 4
,-1A
• ∃ Y/∈ 8 7 8 ( / @ /
• ∀ :* ∈ 8 7 8 ∀ * ∈ 8 :*B @ ( :* 8 :* → /
A :)1+*/ 0 /
S.*)/)+'0 /S1.)+15-,/; 12 / 4410
./;M
:+*1),*1A4 +;',-R6 1+ .11) 3 4)0 1) ( ∈
8 B∞ 8 8 B∞ ,. 1) ( ∈
∞8 8 ∞8 8 ,. 1) ( ∈
'46 *+10 0 6, S)4*$ 1+5 13 4)0 1) ( 1+0'()*) 1.- .* )*+-3 44 ,.3 -+ /,*+- : 654
) ( 1+/,*+)*. 1.- 8 +9.$ 44 06 +0 14)6)+1()*) 1 * B∞ + * ∞8 ( 1+.*)(,-6'6 *+/,*+)*.

L
(∈
ϕ∈

8

55-,:)6 +),* .*)(,-6 0$.* (,*/+),* /,*+)*. 1.- .* )*+-3 44

1+ 55-,/;' .*)(,-6'6 *+1.- 2 ε 5-R15 - ϕ ∈
8 ⇔ ∀ : ∈ 8 ?( : ϕ : ?≤ ε
8 78
1+ * 1/ 4) - ⇔ ∃ * ∈ W8 ∃ :C8 : 8 8 :* ∈ 8 7 *B 8 :C @ +:* @ 78
∀ ) ∈ *8 ∃ λ) ∈ 8 ϕ? :) 8 :) @ λ)
C
∀(∈
8 7 8 8 ∀ ε F C8 ∃ ϕ ∈
8 78
1/ 4) -8 +44 9. ( 55-,/;' .*)( 1.- 8 7 2 ε 5-R15 - ϕ
0 6,1)654
ϕ∈
8 78
1+/,*+)*. + (()* 5 - 6,-/ .: ⇔ ∃ * ∈ W8 ∃ :C8 : 8 8 :* ∈ 8 7 *B 8 :C @ +:* @ 78
∀ ) ∈ *8 ϕ? :) 8 :) 1+ (()* +ϕ ∈ C 8 7 8
∀ ( ∈ C 8 7 8 8 ∀ ε F C8 ∃ ϕ ∈
8 7 8 /,*+)*. + (()* 5 - 6,-/ .:8 +44 9. ( 55-,/;' .*)(,-6'6 *+
1.- 8 7 2 ε 5-R15 - ϕ 0 6,0)(()/)4

∀(∈

8

C
C

8 78

8 ∀ ε F C8 ∃ % 5,4M*N6 8 ( 55-,/;' .*)(,-6'6 *+1.-

8 7 2 ε 5-R15 - %

IV Monotonie
'()*)+),*1
# +.: 0$ //-,)11 6 *+ ,. 0 3 -) +),* 0 ( *+- :

+:

1+ ( :
L

(:

J:

:

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##

( 6,*,+,* 1.- ⇔ ∀ : 8 : ∈ >8 : ≠ : 8 4 +.: 0$ //-,)11 6 *+0 ( -0 .* 1) * /,*1+*+
( /-,)11 *+ 1.- ⇔ ∀ : 8 : ∈ >8 : ≠ : 8 4 +.: 0$ //-,)11 6 *+0 ( 1+5,1)+)(
+/
( + 3 -) *+0 *14 6I6 1 *11) 4411,*+6,*,+,* 1 +1) 4.-1+.: 0$ //-,)11 6 *+,*+4 6I6 1) *
( + 3 -) *+0 4 1 *1/,*+- )- 1) 4411,*+6,*,+,* 1 +1) 4.-1+.: 0$ //-,)11 6 *+,*+0 11) * 1/,*+- )- 1

5'- +),*11.- 41(,*/+),*16,*,+,* 1
,) *+( + 0 .: (,*/+),*16,*,+,* 11.- 9.) 3 -) *+0 *14 6I6 1 *1
4,-1 (B
1+6,*,+,* +3 -) 0 *14 6I6 1 *19. ( +9.
D0 6,
) λ F C8 λ( 1+6,*,+,* +3 -) 0 *14 6I6 1 *19. (
) λ K C8 λ( 1+6,*,+,* +3 -) 0 1 *1/,*+- )- 2 (
D0 6,
) ( + /-,)11 *+11.- +2 3 4.-15,1)+)3 11.- 8 4,-1 (
1+/-,)11 *+ 1.D0 6,
)(∈
8 BW ,.
8 W 1+6,*,+,* 8 4
,-1 J( 1+6,*,+,* +3 -) 0 *14 1 *1/,*+- )- 2 (
) ( + 1,*+6,*,+,* 18
( 4$ 1+ .11)8 + ( 1+/-,)11 *+⇔ ( + 3 -) *+0 *14 6I6 1 *1

&

,*,+,*)

D0 6,

+4)6)+1

,)+( .* (,*/+),* /-,)11 *+ 1.) :C ∈ H < *( 8 .5 =8 4
,-1( 06 +.* 4)6)+ 2 ./; +.* 4)6)+ 2 0-,)+ * :C +44 9. A
4)6 : → :C ( : ≤ ( :C ≤ 4)6 : → :CB ( :
4 /,*+- )- 1) ( 0'/-,)11 *+
0 6,2 0-,)+ A,* 5- *0 @ *( ( < ∩ :C8 B∞ =
) :C @ .5 8 +:C ∈ 8 4,-1( : .* 4)6)+ 2 ./; * :C )*('-) .- 2 ( :C
) :C @ .5 8 +:C ∉ 8 4,-1
) ( : 1+6 E
,-' 1.- 8 4,-1 44 .* 4)6)+ 2 ./; ()*)
) ( : *$ 1+5 16 E
,-' 1.- 8 4)6 : → :C ( : @ B∞

,*,+,*)
(∈

+/,*+)*.)+'

5-'1 *+ * :C ∈ H < *( 8 .5 =.* 0)1/,*+)*.)+'0 R- 15R/ 1) A
• 4)6 : → :C ( : :)1+
• 4)6 : → :CB ( : :)1+
• ( : ≠ 4)6 : → :C ( :
,.
( : ≠ 4)6 : → :CB ( :
,)+( .* (,*/+),* 6,*,+,*
( 0)1/,*+)*. * :C ( 5-'1 *+ .* 0)1/,*+)*.)+'0 R- 15R/ * :C
( 5-'1 *+ .* *,67- ()*) ,. 0'*,67- 74 0 0)1/,*+)*.)+'1
15'
( /,*+)*. 1.- ⇔ (
1+.* )*+-3 44
0 6,⇐ 71.-0
;',-R6 0 1(,*/+),*1-'/)5-,9. 1A∀ ( ∈ C 8 1+-)/+6 *+6,*,+,* 8 ( 1+7)E/+),* 0
/,*+)*. 1.- ( 8 1+-)/+6 *+6,*,+,* 8 +3 -) 0 *14 6I6 1 *19. (
0 6,- 5)0
) ( 1+/,*+)*. 1.- .* )*+-3 44 +)*E/+)3 1.- / 4.) /)8 ( 1+1+-)/+6 *+6,*,+,*
8

3 -1(

S(

1+

V Branches infinies
'()*)+),*1
,)+( ∈

8

8 +

1,* - 5;)9. 0 *1.* - 5R- 0. 54*

06 +.* 7- */; )*()*) 1) ∃ :C ∈ ∪ <*( 8 .5 =8 0 8
06 +.* 0)- /+),* 1M65+,+)9. 1) 4 ( 6)44 0 0-,)+1
0)- 4,-19. ( : J: +*0 3 -1.* '4'6 *+0
06 +.* 1M65+,+ 1) 4 ( 6)44 0 0-,)+1
4,-19. : → :C

@ OM 
→ +∞
x →x
0

.* 5,1)+),* 4)6)+ ∆ 4
,-19. : → :C8 /$ 1+X2X

5 - 44R412 ∆8 5 11 *+5 -

06 ++ .* 5,1)+),* 4)6)+

+.0 5- +)9.
: → :C +( : → ∞
* ( : J: → ∞8 0,*/( 06 +.* 0)- /+),* 1M65+,+)9. A M8 +/,66

1M65+,+ 4 0-,)+ 0$'9. +),* : @ :C

7 : → ∞ +( : → MC
* ( : J: → C8 0,*/( 06 +.* 0)- /+),* 1M65+,+)9. A :8 +/,66
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1M65+,+ 4 0-,)+ 0$'9. +),* M@ MC

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) ( : J: → ∈ BW
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)( :
: → ∈ BW A
06 +.* 1M65+,+ 0$'9. +),* AZ@
B%
)( :
:→∞A
06 +.* 7- */; 5 - 7,4)9.
) ( : J: → C A )- /+),* 1M65+,+)9. S∆ @ : S%- */; 5 - 7,4)9. 0 *14 0)- /+),* 0 4$ :
) ( : J: → ∞ A )- /+),* 1M65+,+)9. S∆ @ MS%- */; 5 - 7,4)9. 0 *14 0)- /+),* 0 4$ :

:
M

VI Fonctions puissances
+.0 0 ( A: → :* * ∈
S ,65+ +*. 0 4 5 -)+'0 (8 ,* - 1+- )*+4$'+.0 1.- B ) * @ C8 ( @ S1) * @ 8 ( @ 0 S1) * ≥ 8 ( 1+
(@
/-,)11 *+ +/,*+)*. 8 +( : → B∞ S( : J: → B∞ 0,*/7- */; 5 - 7,4)9. 1.)3 *+ M

+.0 0 ( A: → : * * ∈
(

&

W

@ W S ,65+ +*. 0 4 5 -)+'0 (8 ,* - 1+- )*+4$'+.0 1.-

+.0 0 ( A: → :

J*

BW

( 1+/,*+)*.

+/-,)11 *+

*∈ W

* 0'()*)+: J* /,66 4$ 554)/ +),* -'/)5-,9. 0 :* S4
,-19. * 1+)65 )-8 ,* 5 .+0'()*)- ( 1.- +,.+
J
*
∀ :8 M ∈ B>8 ∀ *8 6 ∈ W H < = >8
:
M J* @ : M J*
J
*
J6 @ : J * 6
:
J: J* @ J: J*

+.0 0 ( A: → :- - ∈
(A B→ B
: → :- @ 9√:5
,G
5 +)+ '+.0
:+*1),* 2

L
:-

+W

- @ 5 J98 5 F C +9 F C 0 6,9. )*0 5 0 1- 5-'1 *+*+1
A ) ,* 5-'/)1 41- 5-'1 *+*+15 +98 +1) 5 5 )- ,. 1) 9 )65 )-

+.0 0 ( A: → :- - ∈

–W

@ J:
,.- .* :+*1),* 2 :α 3 /α ∈ 8 ,* 5 .+)*+-,0.)- .* 1.)+ -* 0 - +),** 419.) +*03 -1α 9.) :)1+ / 0 *1 0 *1 8 6,*+- - 9.$ 44 /,*3 1.)+ 0
./;M 8 +9. 1 4)6)+ 1+)*0'5 *0 *+ 0. /;,): 0 -*
-

VII Suites définies par une relation de récurrence
'()*)+),*8 4)6)+ '3 *+. 44
,)+( ∈
8 8 0$ *1 674 0 0'()*)+),* ( * '+.0) 4 1.)+ .* 8 .C ∈
.* :)1+ 1) ∀ * ∈ 8 .* ∈ ( ) ⊂ ( 1+.* )*+-3 44 1+74 5 - (8 ) (
) .* → ∈ (8 +( /,*+)*. 4
,-1( 4 @

,*,+,*)

+∀ * ∈ 8 .*B @ ( .*
⊂ 8 * (): *+.C ∈ 8 4 1.)+ :)1+

(8

+/,*3 - */

,)+( ∈ C 8 8 1+74 +.C ∈
) ( 1+/-,)11 *+ 4,-1 .* 1+6,*,+,*
) ( 1+0'/-,)11 *+ 4
,-1 . * + . *B 1,*+6,*,+,* 1 +3 -) *+ * 1 *1/,*+- )-

&





: 6541
.C F C
.C @ C
∀*∈
∀*∈

+∀ * ∈ 8 .*B @ [ .* B J.* S 4,-1 .* →
+∀ * ∈ 8 .*B @ √
.* S 4,-1 .* →
8 .*B @
.*>
8 .*B @ .*>B JO

Q

D0 6,
D0 6,

\

"

$

" ! "

"

##

$

"

%#

##

!
I Dérivée et différentielle
!,*/+),* 0'-)3 74
,)+( ∈

8

8 +:C ∈

( : ( :C
06 +.* 4)6)+ ()*) 9. *0: → :CB
: :C
0 6I6 2 ./;
):C ≠ .5 +:C ≠ *( 8 ( 1+0'-)3 74 * :C
⇔ ( 06 +.* 0'-)3' 20-,)+ +2 ./; + 4411,*+' 41
( : ( :C
06 +.* 4)6)+ ()*) 9. *0: → :C
⇔ : :
C
44 1+*,+' ( $ :C
):C ≠ .5 8 ( 06 + * :C .* 0'-)3' 20-,)+



!,*/+),* 0)(('- *+)74
,)+( ∈
8 8 +:C ∈
( 1+0)(('- *+)74 * :C 1)∃ ∈ 8 ∃ ψ .* (,*/+),* 0'()*) . 3,)1)*
0 C +9.)/,*3 ∀ ;8 ( :CB; @ ( :C B ; B ; ψ ;
( 0)(('- *+)74 ⇔ ( 0'-)3 74
0 6,- 5)0
* 55 44 0)(('- *+)44 0 ( * :C 4$ 554)/ +),* 4)*' )- ;→ ; ( $ :C 8 *,+' 0(:C @ 0 ( $ :C
15 -+)/.4)- A4 0)(('- *+)44 0 0 1+ 08 *,+' 0: * ( $ @ 0(J0:

&

3 -1C * C8 +4419.

*+-5-'++),*1 - 5;)9. 1
)( 1+0'-)3 74 * :C8 4 ( 6)44 0 0-,)+15 11 *+5 - :C8 ( :C +
:CB;8( :CB; .* 5,1)+),* 4)6)+ A/$ 1+4 +* *+ . - 5;)9. 0
4 (,*/+),* S1,* /, (()/)*+0)- /+.- 1+( $ :C
# 6 1.# 6 1.-

4'7-)9. 0 " 1+0(:C ;
4'7-)9. 0 " 1+; ψ ;

'-)3 7)4)+' +/,*+)*.)+'
,.+ (,*/+),* 0'-)3 74 * .* 5,)*+ 1+/,*+)*. 1.- / 4.)/)
'/)5-,9. ( .11 : A3 4.- 71,4.

L

'-)3' 11.// 11)3 1

'()*)+),* 5 - -'/.-8 @ <( ∈
8
* 8
@ <( ∈
8

8 @ <( ∈
8

8 ⊂ ⊂ * 8
C

0 6,- 5)0

*/ 0 10'-)3' 15)R6 10 ( A( 5 @ ( 5 $
8 ( /,*+)*. 1.- =
8 ( 06 +1.- .* 0'-)3' *)R6 /,*+)*. =
8 +,.+1410'-)3' 10 ( 1,*+/,*+)*. 1=@ ∩
⊂ ⊂
8 ⊂
8 ⊂ C 8

*

8

II Opérations sur les fonctions dérivées
4 R7- 0 (,*/+),*10'-)3 741
,)+ .* )*+-3 448 +:C ∈
@ <( ∈
8 8 ( 0'-)3 74 * :C = 1+.*
4R7- /,66.++)3 #$ 554)/ +),* A( → ( $ :C
4)*' )- )( + ∈ 8 ( ∈ 8 + ( $ @ ( $ B ( $
0 6,11 *10)(()/.4+'1

* 1+.* (,-6

\

"

$

" ! "

"

##

$

"

%#

##
n

∀ * ∈ 8 ∀ ( 8 8 (* ∈

*8



8 8

*



i =1

*8

'

∏f
i =1

∀*∈ 8

*

8

1+.*

i =1

'

n

=

i

n

=

a i .f i

n
k =1

a i .f '
i
0 6,5 - -'/.-- */ 1.- *

f'
k.

∏f

i
i∈N n −{k }

4R7- /,66.++)3 #$ 554)/ +),* ( → ( * 1+4)*' )-

!,-6.4 0 # )7*)VA∀ *8 5 ∈ >8 5≤ *8 ∀ (8



*

8 (fg )

8

(p)

=

p
k =0

C kp .f ( p ) .g ( p−k )

0 6,( /)4

- /,*3 *+),*8 ( C @ (

.,+)*+0 (,*/+),*10'-)3 741


,)*+ (8

8

:C ≠ C
( $ ($
@
1+0'-)3 74 * :C8 +
>8 0'-)3 741 * :C8

( $
0 6,- 5)0
>
'-)3' 10 (,*/+),*15.)11 */ 1 *+)R- 1A∀ * ∈ W8 (* A: → :* 8 (* $ @ * (*
4,-1 (J

&

D0 6,

'-)3' 4, -)+;6)9.

)( ∈
8
1+0'-)3 74 * :C8 +9. ( :C ≠ C8 1 0'-)3' 4, -)+;6)9. 1+( $ :C J( :C
# 0'-)3' 4, -)+;6)9. 0$.* 5-,0.)+ 1+4 1,66 0 10'-)
3' 14, -)+;6)9. 1S4 0'-)3' 4, -)+;6)9. 0$.*
9.,+)*+ 1+4 0)(('- */ 0 10'-)3' 14, -)+;6)9. 1

'-)3' 0$.* /,65,1' 0
)( ∈

8 ∈ P8 8 ( ⊂ P8 :C ∈ 8 ( 0'-)3 74 * :C + 0'-)3 74 * MC @ ( :C 8 4,-1
( 1+0'-)3 74 * :C8 +
( $@ $ (×($
0 6,/ 4/.41 3 /410)(( - *+)441
( * $ @* ( * ( $
'-)3' 0 1(,*/+),*15 )- 18 )
65 )- 18 5'-)
,0)9. 1
8

:A

L

(,*/+),*1

'-)3' 0$.* (,*/+),* -'/)5-,9.

,)+( .* 7)E/+),* /,*+)*. 0$.* )*+-3 44 1.- P8 +44 9. ( /,*+)*. 0 P1.,)+:C ∈ 8 +44 9. ( 0'-)3 74 * :C8 +MC @ ( :C
( 0'-)3 74 * MC ⇔ ( $ :C ≠ C
+0 *1/ / 18 ( $ MC @ J( $ :C
0 6,- 5)0
,-,44)- A( ∈ C 8
1+-)/+6 *+6,*,+,* ( 1+.* 7)E/+),* 0 3 -1( @ P )( 1+0'-)3 74 1.- 8 (
0'-)3 74 * +,.+5,)*+M∈ P8 +419. ( $ ( M ≠ C S 4,-18 ( $ MC @ J( $ ( MC
* 5 -+)/.4)-8 1)∀ : ∈ 8 ( $ : ≠ C8 (

$@

($

(

)( ∈
8
+∀ : ∈ 8 ( $ : ≠ C8 4,-1( ∈
8
: 654 A# 0'-)3' 0 : → :-8 - ∈ W8 1+: → - :*

0 6, 3 /)+'- +),*1
0 6,/ 4/.41

*

III Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis
;',-R6 0 ,44
( 1+/-,)11 *+ 1.1 0'-)3' 1+5,1)+)3 1.D0 6,
( 06 +.* :+- 6.6 4,/ 4 * :C ( $ :C @ C
0 6,- 5)0
;',-R6 0 ,44 A( ∈ C 8 7 8 8 ( @ ( 7 +( 0'-)3 74 1.- 8 7
∃ /∈ 8 7 8 ( $ / @ C
0 6,A,* '+.0) )* ( 8 7 + : ( 8 7 S,* +-,.3 4,-1.* :+- 6.6 4,/ 4

;',-R6 0 1 //-,)11 6 *+1()*)1
4)+'0 1 //-,)11 6 *+1()*)1A( ∈ C 8 7 8 8 +( 0'-)3 74 1.- 8 7 4,-1
∃ /∈ 8 7 8 ( $ / @ ( 7 (
J7
0 6,A,* .+)4)1 ,44 3 /(BU 0
,. */,- A
(7 ( @ 7
($ /
( B; ( @ ; ( $ B θ ;
,G θ ∈ C8
*' 4)+'0 1 //-,)11 6 *+1()*)1A( ∈ C 8 7 8 8 +( 0'-)3 74 1.- 8 7
∃ 8 % ∈ >8 ∀ : ∈ 8 7 8 ≤ ( $ : ≤ %
7
≤( 7 ( ≤% 7
0 6,- 5)0
\

1+

\

"

$

" ! "

"

##

$

"

%#

##

)( $ ≥ C 1.- 8 ( 1+/-,)11 *+ 1.- 8 +/ 0 6,
4/.40$ -- .-1
,.- ( 0'-)3 74 1.- 8 +U∈ BWA( 1+U 4)51/;)V)** ⇔ ∀ : ∈ 8 ?( $ : ?≤ U
;',-R6 )65,-+*+5,.- 41 : -/)/ 1 A
)( ∈ C 8 7 8 8 ( 0'-)3 74 1.- 8 7 8 + f '
4
,-1( 0'-)3 74 *
( x ) x
→ ∈
→a
554)/ +),*1A

!,-6.4 0 1 //-,)11 6 *+1()*)1 '*'- 4)1'1A ,) *+ (8
4,-1∃ / ∈

878

f '(c) f (b) − f (a )
=
g'(c) g (b) − g (a )



C

878

0 6,( /)4
+( $

0 6,

@

>0'-)3 7411.- 8 7 8 +



7

0 6,A,* .+)4)1 ,44 3 / (BU

,-,44)- A ,) *+ (8 ∈ C 8 >0'-)3 7411.- 8 1) ( $: J $: → ∈ 9. *0 : → :C8
4,-1 ( : ( :C J :
:C → 9. *0: → :C 0 6,- 5)0
: 654 A0'3 4,55 6 *+4)6)+'10 (,*/+),* +-) ,*,6'+-)9. 1

&

;',-R6 0 13 4.-1)*+-6'0) )- 15,.-.* 0'-)3'

( 0'-)3 74 1.-

($

1+.* )*+-3 44

0 6,5 -4$
'+.0 0 (BU 0S,* * /; -/; .* :+- 6.6 4,/ 4

C

C

"#

$

"

#

""

%

I Fonctions en escalier
.70)3)1),*10$
.* 1 6 *+
* 1.70)3)1),* σ 0 8 7 1+.* 5 -+) ()*) *,* 3)0 0 8 7 8 +44 9.
σ @ <:C8 8 :* =8 ,G @ :C K : K K :* K :* @ 7
* 55 44 6,0.4 0 σ 4 *,67- µ σ @
:<:) :)X 8 ) ∈ * =
* 1.70)3)1),* σ $0 8 7 1+54.1()* 9.$
.* 1.70)3)1),* σ 0 8 7 1) σ ⊂ σ $ $1+.* - 4+),* 0$
,-0- 0 *1
4$*1 674 0 11.70)3)1),*10 8 7 8 6 )1/ *$1+9.$
.* ,-0- 5 -+) 4 .5 <σ 8 σ $} @ σ ∪ σ $

554)/ +),* * 1/ 4) -1.-.* )*+-3 44
(∈
878
1+ * 1/ 4) -⇔ ∃ σ @ <:C8 8 :* =1.70)3)1),* 0 8 7 8 ∀ ) ∈ *8 ∃ λ) ∈ 8 (? :) 8 :) @ λ)
",++),* A 8 7 8
1+4
$*1 674 0 1(,*/+),*1 * 1/ 4) -1
* 1.70)3)1),* 0 8 7 σ @ <:C8 8 :* = 1+ 0 5+' 2( ∈
878
1) ∀ ) ∈ *8 ∃ λ) ∈ 8 (? :) 8 :) @ λ)
(∈
878
1+/,*+)*. 1.- 8 7 1 .( * .* *,67- ()*) 0 5,)*+18 ,G ( 0)15,1 0$
.* 4)6)+ 20-,)+ +J,. 2
./;
σ 1+ 0 5+' 2( +,.+ 1.70)3)1),* σ $54.1()* 9. σ 1+ 0 5+' 2(
0 6,5 --'/.-- */ 1.-] σ $

,-,44)- A ,) *+( 8 ( 8 8 (5 5 (,*/+),*1 * 1/ 4) -1.- 8 7 4,-1)4 :)1+ .* 1.70)3)1),* 0 5+' 2/; /.*

&

+-./+.- 0
878

878

1+.*

4R7- /,66.++)3

0 6,- 5)0

II Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment
'()*)+),*
,)+( ∈

8 +.* 1.70)3)1),* 0 5+' σ @ <:C8 8 :* = ∀ ) ∈

878

*8

∃ λ) ∈ 8 (? :)

8 :)

@ λ)

*

# *,67-

Σ

)@

A

:) :)
* E,.+

λ) 1+)*0'5 *0 *+0. /;,): 0 4 1.70)3)1),* 0 5+'
'/.-- */ 1.-] σ $


'4'6 *+

* 55 44 )*+' - 4 0 ( 1.- 8 7 4 *,67-

4+),* 3 / 4 1+-./+.- 0
#$554)/ +),*

Σ

)@

&

:) :)

f = f

λ)8 *,+'

[a , b]

a

878

878

0 6,- 5)0
(
→ 7 ( 1+.* (,-6 4)*' )8 7 8 >8 ∀ +8 +8 8 +9 ⊂ 8 7 8 ∀ : ∈ 8 7 H <+8 +8 8 +9=8 ( : @

∀ (8



&

4+),* 0

'*'- 4)1 +),*

b

*

: 8 4,-1

7

(@

7

D0 6,

7

(

0 6,( /)4

; 141

,)+( ∈
878
+/ ∈ 8 7 4,-1(? 8/ ∈
8 / 8 8 (? /87 ∈
&
'/)5-,9. A∀ 8 78 / ∈ 8 K / K 78 ∀ ( ∈
8/ 8 8∀ ∈
4,-1∃ ; ∈
878
8 ;? 8/ @ ( +;? /87 @

/8 7 8
/8 7 8

8 + / ( B /7 ( @
8(/ @ / S

4+),* 0$
,-0∀(∈
878
,-,44)- 1A

B

8 7(≥C
D0 6,
7
7
∀ (8 ∈
8 7 8 >8 ( ≤
(≤
D0 6,
∀(∈
8 7 8 8 ?(?∈
878
+? 7 (?≤ 7?(?

5 .+1 /,*1)0'- -/,66 /-,)11 *+
D0 6,

C

L

"

#

""

:+*1),*

,)+( ∈

878

8 ,* /,*3) *+0 5,1 -

7

(@

7

( 5 -/,;'- */

3 / 4 - 4+),* 0

; 141

III Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
!,*/+),*1
(∈

C

1+/,*+)*. 5 -6,-/ .: 1.- 8 7 1) ∃ σ @ <:C8 8 :* =1.70)3)1),* 0 8 7 8
)*. 8 +( 06 + * :) .* 4)6)+ 2 ./; + * :) .* 4)6)+ 20-,)+
*8 ∃ λ) ∈ 8 (? :) 8 :) /,*+
878
1+.*
4R7- /,66.++)3
D0 6,

878
∀)∈
",++),* A C
C
878

55-,:)6 +),* .*)(,-6 0 1(,*/+),*1

C

5 -0 1(,*/+),*1 * 1/ 4) -

6'4),- +),* 0 4$55-,:)6 +),* .*)(,-6 A
∀ ( ∈ C 8 7 8 8 ∀ ε F C8 ∃ ϕ8ψ ∈
8 7 8 >8 +4419. ψ ≤ ( ≤ ϕ +ϕ ψ ≤ ε 0 6,
C
,-,44)- A∀ ( ∈
8 7 8 8 ∀ ε F C8 ∃ ϕ8ψ ∈
8 7 8 >8 +4419. ψ ≤ ( ≤ ϕ +ϕ ψ ≤ ε

&

'()*)+),* 0 4$
)*+' - 4 0$
.* (,*/+),*

∀(∈ C
8 7 8 8 ( 1+7,-*'
878
∀(∈ C
8 7 8 8 < 7 ϕ8 ϕ ∈
7
0E/ *+1 # .-7,-* /,66.* 1+ (
*+-5-'++),* ',6'+-)9. A ) 6 ( ⊂ B8

0 6,- 5)0

C

0 6,( /)4
8 7 8 8 ( ≤ ψ =1,*+0 .: *1 6741
8 ϕ ≤ ( = +< 7 ψ8 ψ ∈
0 6, * .+)4)1 *+4 - 6 -9. +4$55-,:)6 +),*
7( 1
+4$)- *+- 4 /,.-7 +4$: 0 1 71/)11 18 5,.- ≤ : ≤ 7

#)*' -)+'
#$554)/ +),*

878

C

(
5 -+) 44 A ( B
7

L

4+),* 0

7



@ 7 (B

( 1+.* (,-6 4)*' )3 / 0 1 */ 0- 6 *+15 -0 1 1/ 4) -1

; 141

,)+( ∈
878
+/ ∈ 8 7 (?
:+*1),* 0 4
$
)*+' - 4 A 7 ( @ 7 (
C

O

7

8/



C

8 / 8 8 (? /87 ∈ C
/8 7 8 8 + / ( B
/,;'- */ 3 / 4 - 4+),* 0 ; 141

(@

7

(

4+),* 0$
,-0-

D0 6,
∀(∈ C
878 B 8 7(≥C
7 (≤ 7
,-,44)- 1A
∀ (8 ∈ C
8 7 8 >8 ( ≤
D0 6,
C
C
∀(∈
8 7 8 8 ?(?∈
878
+? 7 (?≤
7 ( FC
C
∀(∈
8 7 8 B 8 ∃ / ∈ 8 7 8 ( /,*+)*. * / +( / F C
,-,44)- A∀ ( ∈ C 8 7 8 B 8 7 ( @ C ( @ C

Q

7
/

*' 4)+'0

7

5 .+1 /,*1)0'- -/,66 /-,)11 *+
?(?
D0 6,
0 6,( /)4

./;M
./
;M /;^ -V8 (,-6.4 0 4 6,M **

*' 4)+'0
./;M /;^ -VA∀ (8 ∈ C
8 7 8 >8 7 ( >≤ 7 (>× 7 >
7
0 6,A +.0 0
(Bλ >≥ C 0,*/ 0)1/-)6)* *+*' +)(
* 4, ) 1 3 / 4 5-,0.)+1/ 4)- 0 *14 54* 5.)10 *1.* 15 / 3 /+,-) 49. 4/,*9.
!,-6.4 0 4 6,M ** A∀ (8 ∈ C
8 7 8 >8 ≥ C8 6 @ *( ( 8 7 + @ .5 ( 8 7 S
4,-1∃ λ ∈ 68 8 7 ( @ λ 7
0 6,( /)4
,*1'9. */ 1A
• ∀(∈ C 878 8∀ ∈ C
878 B 8∃/∈ 878 7( @ ( / 7
• # -'1.4++ 1+ .11) 3- ) 1) ∀ : ∈ 8 7 8 : ≤ C
Sλ 1+ 55 4' 4 3 4.-6,M ** 0 ( 1.- 8 7
• ∀(∈ C
8 7 8 8 ∃ λ ∈ 68 8 7 ( @ λ 7
*+-5-'++),* ',6'+-)9. A4$)- 1,.14 /,.-7 1+' 4 24$)- 1,.14 - /+* 4 0 4- .-λ
• ∀ (8 ∈ C
8 7 8 >8 ? 7 ( ?≤ 7 ?(?? ?≤ .5 ?(? 8 7 × 7 ?

C

"

#

""

,66 10 ) 6 **
* 1.70)3)1),* 5,)*+' 0 8 7 1+.* /,.54 σ8 α ,G σ @ <:C8 8 :* = 1+.* 1.70)3)1),* +
α @ α 8 8 α* =∈ 8 7 *8 +4419. ∀ ) ∈ *8 α) ∈ :) 8 :)
,)+( ∈ C
8 7 8 8 + σ8 α .* 1.70)3)1),* 5,)*+' 0 8 7 ,G σ @ <:C8 8 :* = +α @ α 8
0

) 6 **

R6

11,/)' 2( +- 4+)3 2 σ8 α

n

1+A

i =1

,)+( ∈

C

878

8 ∀ ε F C8 ∃ β F C8 ∀ σ8 α

8 α* S4 1,66

(x i − x i−1 ).f (α i )

1.70)3)1),* 5,)*+'

0

878µ σ ≤β

b

a

f−

n
i =1

(x i − x i −1 ).f (α i ) ≤ ε

A,* )*+-,0.)+.* 1/ 4) -S,* -''/-)+4 3 4.- 71,4. S,* 6 E
,- 41 +M5 10$
)*+' - 41
,-1 Σ :) :) ( α) 9 ∈ → 7 (
+)4)1 +),* A ,)+ σ9 .* 1.)+ 0 1.70)3)1),*10 8 7 8 µ σ9 9 ∈ → C 4
* 5 .+/;,)1)- * 5 -+)/.4) σ9 @ < 8 B 7 J98 B 7 J98 8 7 = +
α9 @ 8 B 7 J98 8 B 9
7 J9 =
: 654 AC 0

IV Intégrales et primitives
-)6)+)3 1
,)+( ∈
8 8 ,G 1+.* )*+-3 44 !∈
8
1+.* 5-)6)+)3 0 !1) ! 1+0'-)3 74 1.- +!$@ (
)(∈
8
06 +.* 5-)6)+)3 !1.- 8 ∈
8
1+.* 5-)6)+)3 0 !⇔ ∃ λ ∈ 8 @ !B λ
) ( 06 +.* 5-)6)3 ! + 06 +.* 5-)6)+)3 8 α!B β 1+.* 5-)6)+)3 0 α( B β

D0 6,

*+' - 4 (,*/+),* 0 1 7,-* 0$* ; .+
,)+( ∈
8 8 +44 9. ∀ 8 7 ∈ >8 K 7 ( ∈ C
878
,)+ ∈ ,)+ 4$554)/ +),* : →
1+/,*+)*. 1.0 6, * 6 E
,- *+?(? . 3,)1)*
0 :C
( 1+/,*+)*. * :C
1+0'-)3 74 * :C8 + $:C @ ( :C
0 6,( /)4
,*1'9. */ 1A
• ∀ ( ∈ C 8 8 ∀ ∈ 8 : → : ( 1+4 5-)6)+)3 0 ( 1.- *.44 *

,.+ (,*/+),* /,*+)*. 1.-.* )*+-3 44 06 +0 15-)6)+)3 1

,)+( ∈ C 8 8 +!.* 5-)6)+)3 0 ( 1.- 4,-1∀ 8 7 ∈ >8 7 ( @ !7 ! @ ! + 7
*+' - 4 )*0'()*) A ( 5 .+0'1) * -4$*1 674 0 15-)6)+)3 10 (

&

:

(

D0

; * 6 *+0 3 -) 74

(∈
8 8 +ϕ ∈
P8
∀ α8 β ∈ P>8 ϕ α ϕ β ( @ αβ ( ϕ ϕ $ 0 6,( /)4
πJ
: 654 AC 1)*>/,1@ J&
,-,44)- A( ∈ C 8 8 +ϕ 1+.*
0)((',6,-5;)16 *+- P + ) ϕ ∈
P8 8E7)E/+)3 8 +E ∈
8P
ϕ 7
7
( ϕ ϕ$
D0 6,
4,-18∀ 87 ∈ >8 ( @ ϕ
: 654 AC √ :> @ πJ S
",++),* A 7 ( @ 7 ( : 0:
/,;'- */ 3 /4 /; * 6 *+0 3 -)74
*+' - 4 )*0'()*) A ( : 0: - 5-'1 *+ 4$ *1 674 0 15-)6)+)3 10 (
( ∈ C 8 8 +ϕ ∈
0)((',6,-5;)16 0 P3 -1
( : 0: @ ( ϕ + ϕ $ + 0+
D0 6,
6 -9. A( ∈ C 8 8 +3 +. ∈
P8 S @ . : 3 : ( + 0+
$ @ ( 3 3$ ( . .$
D0 6,
C

*+' - +),* 5 -5 -+)1
7 . : 3$ : 0:
D0 6,A0'-)3 -. 3
∀ .83 ∈
8 >8∀ 87 ∈ >8 7 .$ : 3 : 0: @ . : 3 : 7
πJ
: 654 AC : 1)* : 0: @
∀ .83 ∈
8 >8 .$ : 3 : 0: @ . : 3 :
. : 3$ : 0:
: 654 A U: : 0: @ U: : B /+ 3 /0_ @ 0_
0 6,-'/.-- */ 1.-0_
*+' - 4 0 T 44)1Aα → CπJ 1)*α+0+ 1+/,*1+*+ 1.- B8 + * @ CπJ 1)*α+0+D √ πJ *

&

C

"

#

""

V Formules de Taylor
!,-6.4 0
(∈

M4,- 3 /- 1+ )*+' - 4
x

(x − t ) n ( n +1)
f ( k ) (a )
∀ 8: ∈ >8f (x ) =
f
( t ).dt 0 6,5 --'/.-- */ 1.-*
(x − a ) k +
n!
k!
k =0
a
n

8

*B

4( .+7)* /,** `+- / ++ (,-6.4

*' 4)+'0
(∈

&

*+- 4 CCC

M4,- # - *
n +1

x −a
f ( k ) (a )
,G
∀ 8: ∈ >8f ( x ) −
(x − a ) k ≤ M
k!
(n + 1)!
k=0
n

8

*B

!,-6.4 0

,)+( ∈

(*

:)1+

8 8∀ : ∈ 8f (x ) =

∃ε∈

→ 0
+ε( x ) 
x →a
'3 4,55 6 *+0$.* (,*/+),* * 1'-) 0
(∈

D0 6,

M4,- Z,.*

8 8 ∈



6 E
,- ?( *B ?1.- 8:

(x − a ) k ( k )
f (a ) + (x − a ) n .ε( x )
k
!
k =0
n

5 --'/.-- */ 1.-* S/ 4/.40 ε$ S !

M4,-

∀ : ∈ 8∃ : ≥ C8∀ * ∈ 8∀ +∈ *(<C8
:=8 .5<C8
:= 8?( *B +?≤ :
(k)
n
f (0) k
0 6, 55-,: S : 6541A :581)*8/,1
x n
→ f ( x )
→ +∞
k!
k =0

8

VI Compléments : fonctions à valeurs complexes
#)6)+ +/,*+)*.)+'
,)+( ∈
8 8⊂
∀ : ∈ 8∃ : 8; : ∈ >8( : @ : B ; :
,-19. : +*03 -1:C ⇔ ∀ ε F C8∃ α F C8∀ : ∈ 8?: :C?≤ α
?( :
?≤ ε
( 06 +4 4)6)+ 4
⇔ /,*3 - 3 -1
+; 3 -1 6 9. *0: +*0 3 -1:C
# 1,5'- +),*11.-414)6)+11 - +-,.3 *+
*+-5-'++),* - 5;)9. 0)19.

'-)3'
,)+( ∈

8

(∈

U

&

*+' - +),*

(∈ C
∀(∈

8 ⇔

( 0'-)3 74 * :C

C

+; ∈

U

8

( :C
06 +.* 4)6)+ ()*) 9. *0: → :C
: :C
⇔ +; 0'-)3 741 * :C 4
,-18( $ :C @ $ :C B ; $ :C
,44 * 1$ 554)9. 54.1 /,*+- : 654 A: → ): 1.-C



(:

8 8( @ B ); 7 ( @ 7 B) 7 ;
87 8 8? 7 ( ?≤ 7 ?(?

π

5 -0'()*)+),* # 11,66 10 )6 ** 1,*+ .11)3 4)0 1
0 6, 3 /411,66 10 )6 **

*+' - +),* +0'-)3 +),*
: ( 1
(∈
8 8 ∈ :∈
+4 5-)6)+)3 0 ( 1.- 9.)1$ **.4 *
,-,44)- A#$)*' 4)+'0 1 //-,)11 6 *+1()*)1 1+3 4)0
0 6,- 5)0
M4
,-84$)*+' - +),* 5 -5 -+)84 /; * 6 *+0 3 -)74 1,*+' 46 *+3 4)0 1
;',-R6 0. - 4R3 6 *+A( ∈
8 8,G @ <V∈ 8?V?@ = 4,-1∃ θ ∈
8 8∀ +∈ 8( + @
θ1 +
θ2 +
)
)
)∀ +∈ 8( + @
@
8 4,-1∃ U ∈ 8∀ +∈ 8θ + θ + @ Uπ
A,* 0'+-6)* ϕ8ϕ $ @ θ $ S,* '+.0) @ ( ϕ89.) 1+/,*1+*+
C

)θ +

VII Méthodes d'
approximation d'
intégrales
'+;,0 0 1- /+* 41 . 5,)*+6'0)*
'+;,0 0 1+- 5RV 1
Aε ≤ 7

&J

Aε ≤
*>

7

&J

*>

M4,- 3 /- *+- +/ +7 +/
4/.40 :
: 7 ($$ : 5 -

C

'+;,0 0 1+- 5RV 1 3 /0)/;,+,6)
"! O
'+;,0 0 )651,*
"! O A 55-,:)
6 +),* 0 4 (,*/+),* 5 -.* 5,4M*N6 0$,-0- ≤

L

"

#

""

!

"

"

##

""
I Fonctions trigonométriques
!,*/+),*10)- /+ 1
'()*)+),* 0 1)*8 /,18 + *8 /,+ * 0$ 5-R10 16 1.- 1 4'7-)9. 11.- 4 / -/4 +-),*,6'+-)9. 1
1)* + /,11,*+ π 5'-),0)9. 1S+ * + /,+ * 1,*+ π 5'-),0)9. 1 1)*.18 + *8 /,+ * 1,*+ )65 )
- 1S/,1 1+ 5 )+-) πB: S+-) π : S+-) πJ B: S+-) πJ : !,-6.4)- +-),*,6'+-)
9.
(",67- 1/,654: 1
1)* + /,11,*+ /,*+)*. 1 0 6,(/)4 ',6'+-) A1)* 1+ 4)51/;)+V)**
1)*$ @ /,1S/,1$@ 1)*
0 6,(/)4 3 / 0 6,9. 4)6 : → C 1)* : J: @
1)* + /,1∈ ∞
+ *$ @ B + *>@ /,1>/,+ *$ @

/,+ *>@ 1)*>

!,*/+),*1-'/)5-,9. 1
'/)5-,9. 10 1)* + 0 /,1
-/1)* @ 1)*?

πJ 8 πJ

-//,1@ /,1? C8 π

1+ /-,)11 *+

+ )65 )
- S -/1)*$ @

1+ 0'/-,)11 *+ S

-/1)* B -//,1@

-//,1$@

πJ 8 πJ

-//,+ * @ /,+ *? C8π

:>

+ )65 )
- S -/+ *$ @ B :> D0 6,

1+ /-,)11 *+

1+ /-,)11 *+ S

-/+ * B -//,+ * @
-/+ * B -/+ * 7 ≡ -/+ *

∀ : F C8

0 6,- 5)0

'/)5-,9. 10 + * + 0 /,+ *

-/+ * @ + *?

∀:∈ 8

:>

0 6,- 5)0

π

∀:∈
8 8 /,1 -/1)* : @ 1)* -//,1: @
1)*
-/1)* @ 0
/,1 -//,1@ 0
- 5;)9. 10 -/1)* 1)* + 0 -//,1 /,1A
7

:>

B7
7

-//,+ *$ @

B :>

D0 6,

π
π

/,1 -/+ * : @ 1)* -//,+ * : @
-/+ * : B -/+ * : @
-/+ * : @ -//,+ * :

8
B:>

π
0 6,

II Fonctions logarithmes et exponentielles
#, -)+;6 *'5 -)*
:

0+
4* : @ + 5 - 0'()*)+),* 4* 1+ 0,*/ /-,)11 *+ 1 0'-)3' 1+ 5,1)+)3
∀ : 8 : ∈ BW >8 4* : : @ 4* : B 4* :
0 6,A'+.0 0 : → 4* : :
4)6 : → B∞ 4* : @ B∞
0 6,A.+)4)1 +),* 0 1(,*/+)
,*15.)11 */ 1
#)6)+ 1/411)9. 1A
4)6 : → C 4* B: J: @ 0'-)3' *
4)6 : → B∞ 4* : J: @ C 0 6,A.+)4)1 +),* 0 √
4)6 : → CB : 4* : @ C
",+ +),* A 1+ 4
$ *+'/'0 *+ 0 4* @
O

D0

!

"

"

##

:5,* *+)44 0 7 1
:5 @ 4*
1+ /-,)11 *+ 8 + ∈ ∞ :5$ @ :5 D0 6, S
#)6)+ 1/411)9. 1A
4)6 : → C :5 :
J: @
4)6 : → B∞ :5 : J: @ B∞
4)6 : → ∞ : :5 : @ C
∀ - ∈ 8 :5 - @ - 0 6,5-, - 11),*
",+ +),* A :5 : @

:

& !,*/+),*14, -)+;6 10 7 1 9. 4/,*9.
9. +),* (,*/+)
,** 44 @ / - /+'-)1+)9. 0$.* (6)44 0 (,*/+),*1
<(∈ C 8 8 ∀ : 8 : ∈ >8 (: B : @ (: B (: =@
@ < × 08 ∈ = 0 6,5-, - 11),*
<(∈ C BW8 8 ∀ : 8 : ∈ >8 (: : @ (: B (: =@ <4*J4* 8 ∈ BWH< ==∪ <C =
0 6,A,* 1 - 6R* . / 15-'/'0 *+ * '+.0)*+ @ ( :5
4*
∀ ∈ BWH< =8 4 (,*/+),* 4, -)+;6 0 7 1 1+ 4$ 554)/ +),* 4, @ 4*

!,
!,*/+),*1 :5,* *+)4410 7 1 9. 4/,*9.
<(∈

8 8 ∀ : 8 : ∈ >8 (: B : @ (: (: =@ < :5 4* × 0 8 ∈
0 6,A,* 1 - 6R* .: (,*/+),*14)*' )- 1 * '+.0)*+ @ 4* (
∀ ∈ BWH< =8 4 (,*/+),* :5,* *+)44 0 7 1 1+ 4$ 554)/ +),* :5 @ 4* 0
* :5 @ 4,
∀ - ∈ 8 :5 - @ 4*
",+ +),* A :5 : @ : 4* @ :
C

L

BWH<

==∪ <C8

=

15 -+)/.4)- 0. 4, -)+;6 0'/)6 4

",+ +),* A4, @ 4,

C

.+)4)1 +),* 5,.- / 4/.4- :

M7 JV/ 3 / 0 1+ 7410 4, -)+;6 1

O !,*/+),*15.)11 */ 1
3/ 7 ∈
BW → BW
:
→ :7 @ 7 4* :
1)7 ∈ 8 ,* 7)* :7 @ 7 4* :

7
++ (,*/+),* 1+ 0 /411
0'-)3' 1+ 7 :
D0 6,
<(∈ C 8 8 ∀ : 8 : ∈ >8 (: : @ (: (: =@ < :5 × 4* 8 ∈ =∪ <C =
+.0 0 4 (,*/+),* A

III Fonctions hyperboliques
'()*)+),*8 (,-6.4))*.1 + /,1)*.1;M5 -7,4)9. 1A
:5 : B :5 :
∀:∈ 8
/; : @
+

1; : @

:5 :

:5 :

5 -+) 5 )- 0 : →

:

5 -+) )
65 )- 0 : →

:

/; B 1; @ :5
/;> 1;>@
0 6,- 5)0
/; B7 @ /; /; 7 B 1; 1; 7
1; 5 B 1; 9@ 1; 5B9 J /; 5 9 J
/; 7 @ /; /; 7 1; 1; 7
1; 5 1; 9@ /; 5B9 J 1; 5 9 J
1; B7 @ 1; /; 7 B /; 1; 7
/; 5B /; 9@ /; 5B9 J /; 5 9 J
1; 7 @ 1; /; 7 /; 1; 7
0 6,1- 5)0
/; 5 /; 9@ B 1; 5B9 J 1; 5 9 J
D0 6,
/;
@ /;> B 1;> @ B 1;> @ /;>
1;
@ 1; /;
/;> @ /; B J
1;> @ B /;
J
4/.40 /; * A,* '/-)+
/; * B 1; * @ :5 * @ /; B 1; *
/; * 1; * @ :5 * @ /;
1; * 5.)1,* ( )+ 0 1/,67)* )1,*14)*' )- 1
#)*' -)1 +),* A/;* @ : B : *J * @ (,-6.4 0. %)*N6
'()*)+),* /,-- /+ 0 1(,*/+),*1+-),*,6'+-)9. 1 ,. /)-/.4)- 1 A
B∞ V*
:5,* *+)44 /,654: A 0 ( ∀ V ∈ 8 :5 V @
/,*3 - A1.)+ 0
./;M
*Y
*@C

∀ V 8 V ∈ >8 :5 V B V @ :5 V B :5 V
0 6, 55-,:
+.0 0 : ∈ → :5 ):
* 0'()*)+ /,1: @
:5 ): + 1)* : @ 6 :5 ):
/,1$@ 1)* + 1)*$ @ /,1S4 (,*/+),* 1+ .* 6,-5;)16 0 8B 3 -1 8 ×
Q

0 6,

!
,* *,M . 1+ 0)1/- + / - 1)*,*8 4 (,*/+),* 1+ *.44 S0 4 (,-6
* 5,1 π @ J
/,1 + 1)* 1,*+ π 5'-),0)9. 1S- /,*1+-./+),* 0 1(,-6.41.1. 4410 +-),*,6'+-)
* *+ + /,+ * *+ ;M5 -7,4)9. 1A
+; @ 1; J/; S/,+; @ /; J1; @ J+; *,* 0'()*) * C
+; B7 @ +; B +; 7 J B +; +;7
+;
@ +; J B +;>
+
+; : @ B +>@

+ *: @
+ *

:
:

1; : @

B

+

:

+>@

:

+
1)* : @ B +>

+
+>

/; : @

B +>
+>@

:

B
:

+>
/,1: @ B +>

+.0 0 1(,*/+),*1

+; $ : @ J/;>: @
+;>:
/,+; $ : @ B
/,+;>@ J1;> ++ *+),*
. 3,)1)*
0 CB8 ,* +; K 0 K 1;

& !,*/+),*1-'/)5-,9. 1
- 1; @ 1;

- 1; $ : @

- /; @ /;?

B

- +; @ +;

:>B

- /; $ : @

- +; $ : @

- /,+; A: → /,+;?

B

- 1; : @ 4* : B :>B
:>

- /; : @ 4* : B :>

:> - +; : @ 4*
: 1): F + /,+;?
- /,+; $ : @

B:
:
: 1): K

:> - /,+; : @ 4* :

B:

"

##

0(

:

1; + /; ∈ ∞ 8
1; $ @ /;
/; $ @ B1;
1; K :5J K /;

"

,G + @ +;

,G + @

:

!

"

"

##

IV Dérivées et primitives
($ :

(:
1)* :
/,1:

(:

/,1:
1)* :

+ *:

B + *>: @ /,1>:
/,+ *>: @ 1)*>:

/,+ * :

1)* :

-/1)* :

:>
/,1:

-//,1:

:>

-/+ * :

B :>

-//,+ * :
4* :

:5 :

4, :
:
1; :
/; :
+; :
/,+; :

B :>

:

:5 :
:

>B :>
+ *:
+; :
4* :

:

: 4*
4*

:
/; :
1; :
+;>: @ /;>:
/,+; : @ 1;>:

- 1; : @ 4* :B :>B
- /; : @ 4* :B :>
- +; : ,. - /,+; : @ 4*

++ *+),*

:>B
:>
B:
:

:>

\

(: 0:

/+

-/+ *

:

4*?/,1: ?
4* /; :
: 4* : :
:
4* + *
@ 4* 1)* : /,+ * :
: π
4* + * B
@ 4* /,1: B + * :

$

"

&

'

" ! "

"

!

I Comparaison de fonctions au voisinage d'
un point
,)+ .* )*+ -3 44 0

8 + :C ∈ ∪ < *( 8 .5 = '3 *+. 446 *+ ±∞ S (8



8

4+),* 0 0,6)* +),*
( 1+ 0,6)*' 5 - * :C ∈
⇔ ∃ α F C8 ∃ β F C8 ∀ : ∈ 8 ?: :C?≤ β ?(: ? ≤ α? : ?
( 1+ 0,6)*' 5 - * B∞
⇔ ∃ α F C8 ∃ β F C8 ∀ : ∈ 8 : ≥ β ?(: ? ≤ α? : ?
",+ +),*1A(:C@
(: :C@
:
# - 4+),* 0 0,6)* +),* 1+ -'(4:)3 + +- *1)+)3
(:C@
⇔ ∃ P)*+ -3 44 ⊂ 8 :C ∈ P∪ < *(P8 .5 P=8 ∃ ; ∈ P8 8 ∀ : ∈ P8 ( : @ : ; : +; 7,-*' 0 6,
15 -+)/.4) -A ) ∈
8 W8 ( :C@
⇔ ∃ P )*+-3 44 ⊂ 8 :C ∈ P ∪ <*( P8 .5P=8 (J 7,-*' 0 *1P
) ( :C@
+4)6 :→:C : @ C 4,-14)6 :→:C ( : @ C
( :C@ ; + :C@ ;
( B :C@ ;
( :C@ ; + :C@ U
( :C@ ; U
( :C@
λ ( :C@
6 -9. A :+*1),* 2

3 4)0

4+),* 0 5-'5,*0'- */
( 1+*' 4)

74 0 3 *+ * :C ∈

⇔ 1+5-'5,*0'- *+ 0 3 *+( * :C
⇔ ∀ α F C8 ∃ β F C8 ∀ : ∈ 8 ?: :C?≤ β

?( : ?≤ α? : ?
",++),*1A( :C@ ,
( : :C@ , :
# - 4+),* 0 5-'5,*0'- */ 1++- *1)+)3
( :C@ , ⇔ ∃ P )*+-3 44 ⊂ 8 :C ∈ P ∪ < *( P8 .5 P=8 ∃ ; ∈ P8 8 ∀ : ∈ P8 ( : @ : ; : +4)6 : → :C ; : @ C
15 -+)/.4) -A ) ∈
8 W8 ( :C@ , ⇔ 4)6 : → :C (J @ C
: 6541A∀ F 8 ∀ α F C8 ∀ β F C8 4
, : α B∞@ , :β +:β B∞@ , :
D0 6,
( :C@ ,
+ :C@ ;
( :C@ ;
( :C@
+ :C@ , ;
( :C@ ;
( :C@ , ; + :C@ , ;
( B :C@ , ;
( :C@ , ; + :C@ U
( :C@ , ; U
( :C@ ,
λ ( :C@ ,

&

4+),* 0$'9.)3 4*/

( :CD ⇔ (
:C@ ,
( :CD ⇔ ∃ P )*+-3 44 ⊂ 8 :C ∈ P ∪ < *( P8 .5 P=8 ∃ ; ∈ P8 8 ∀ : ∈ P8 ( : @ : ; : +4)6 : → :C ; : @
15 -+)/.4) -A ) ∈
8 W8 ( :C@ , ⇔ 4)6 : → :C (J @
$ 1+.* - 4+),* 0$'9.)3 4*/
A( :CD
( 5.)1( /)4
:C @
) ( :CD +4)6 :→:C : @
4,-14)6 :→:C ( : @
D0 6,
) ( :CD ; + :CD U8 4,-1A
• ( :CD ;U
0 6,- 5)0
• (J :CD ;JU 1) 4 0)3)1),* 1+5,11)74
• (λ :CD ;λ
1) ( ≥ C

) U :C@ , ; 4
,-1( B :CD ;
D0 6,

) ∃ P )*+-3 44 ⊂ 8 :C ∈ P ∪ <*( P8 .5 P=8 ∀ : ∈ P8 ; : ≥ C +U : ≥ C8 4
,-1(B :CD UB;

) ∃ α ∈ 8 U :CD α ;8 4,-1A

) α ≠ 8 4,-1(B :CD Bα ;

) α @ 8 4,-1(B :C@ , ;
0 6,1 ( /; 5)+- 1.-411.)+1
6 -9. Aa 1 -+2 -) * 0$'/-)- /,1: CD
:>J
,.-'+.0) -4 1,66 ( B ( B B (*8 ,* 41 -,.5 0 *1 / +' ,-) 1A() :CD λ)
+(E :C@ ,
: 6541
) 4)6 : → :C : @ C ,. B∞ +( :CD 4
,-14* ( :CD 4*
D0 6,
) 4)6 : → :C ( :
: @ C +( :CD 4,-1 ( :CD
D0 6,

!,-6 1)*0'+-6)*' 1ACJC
∞J∞
C ∞ ∞ ∞
B∞ C
CC
C

##

$

" ! "

"

##

*+' - +),* 0 1- 4+),*10 /,65 - )1,*
(∈

L
(∈

+ ∈
8 B :C ∈
:
:
( :C@
:C ( :C@
:C
:
:
( :C@ ,
:C ( :C@ , :C
:
:
( :CD
:C ( :CD :C
)11) *$ 1+5 12 3 4.-15,1)+)3 18 / *$ 1+54.13- )
8

0 6,- 5)0

L

*()*)6 *+5 +)+1 +)*()*)6 *+ - *01

8 :C ∈ ∪ < *( 8 .5 =
( 1+.* )*()*)6 *+5 +)+ 4,-19. : → :C 1) 4)6 : → :C ( : @ C
( 1+.* )*()*)6 *+ - *0 4,-19. : → :C 1) 4)6 : → :C ( : @ ±∞
• ",+),* 0$)*()6 *+5 +)+11)6.4+*'18 0$)*()*)6 *+5 +)+5-)*/)5 4

,) *+( + 0 .: )*()*)6 *+5 +)+11)6.4+*'14,-19. : → :C

) ∃ λ ∈ W8 ( : D λ 8 4,-1( + 1,*+0 6I6 ,-0•
) ( :C@ , 8 ( 1+0$,-0- 1.5'-) .-2
) ( : 1+.* )*()*)6 *+5 +)+4,-19. : → C +1) ∃ λ ∈ W8 ∃ α ∈ BW8 ( : CD λ :α8 α 1+4$,-0- 0 4$)*()*)6 *+5 +)+
( : +λ :α 1 5 -+) 5-)*/)5 4
,) *+( + 0 .: )*()*)6 *+5 +)+11)6.4+*'14,-19. : → C8 3 /( : CD λ :α + : CD µ :β
4,-1( : : CD λµ :α+β +( : J : CD λ/µ :α−β
,) *+( 8 ( 8 8 (* * )*()*)6 *+5 +)+11)6.4+*'14,-19. : → C ) ∃ 5∈ 8 ∀ ) ∈ < 8 8 5=8 () : CD λ) :α +∀ ) ∈
<5B 8 8 *=8 () : C@ , :α 8 4
,-1A1) Σ λ) ≠ C8 Σ () CD Σ λ) :α )*,*8 Σ () 1+0$,-0- 1.5'-) .-2 α
8

II Développements limités
'()*)+),*
(∈
8 8 C ∈ ∪ < *( 8 .5 = ( 06 + * C .* 0'3 4,55 6 *+4)6)+' 04 2 4$,-0- * 1$)4 :)1+ .* (,*/+),*
5,4M*N6 0 0 -'≤ *8 +44 9.
(:
: C@ , : *
/$ 1+X2X0)( : @ C B : B :>B B * :* B , :*
/$ 1+X2X0)( : @ C B : B :>B B * :* B :* ε :
,G 4)6 : → C ε : @ C

5,.-41/ 1,G )4 1+9. 1+),* 0 04 * :C8 )4( .+1 - 6 * - * C 5 -.* /; * 6 *+0 3 -) 74

) ( 06 +.* 042 4$,-0- *8 4 (/+5,4M*N6 0 0 -'≤ * 1+.*)9. $ 1+4 5 -+) -' .4)R- 0. 04 D0 6,

,*1'9. */ A ) ( 1+)65 )- + 06 +.* 04 * C8 1 5 -+) -' .4)R- 1 - .11) )65 )•
) ( 06 + * C .* 0484)6 : → C ( : @ @ C
D0 6,

7+*+),* 0$.* 0'3 4,55 6 *+4)6)+'
+)4)1 +),* 0 4 (,-6.4 0 M4,- Z,.*
: @
B :J YB :>J YB :&J&YB
1)* : @ : :&J&YB :LJLY :QJQYB
/,1: @
: J YB : J Y :OJOYB
1; : @ : B :&J&YB :LJLYB :QJQYB
/; : @ B : J YB : J YB :OJOYB
J : @ B : B :>B B :* B , :*
) ( .* 04 * C 2 4
$,-0- *8 +( 0'()*) * C8 4
,-1( /,*+)*. * C ( C @ C D0 6,
) ( .* 04 * C 2 4
$,-0- 8 +( 0'()*) * C8 4
,-1( 0'-)3 74 * C ( $ C @
,*+- : 654 5,.-4$,-0- A: → :& 1)* J:
B: α @ B α : B α α
:>J YB B α α
α *B :* J *YB , :*
0 6, M4,- Z,.*
*+' - +),* A ,)+( ∈
8 8 C ∈ 8 ( : @ C B : B B * :* B , :* !∈ ( : 0:
4,-1!: @ ! C B C : B :>J B B * :*B J *B B , :*B
0 6,( /)4
* :*J* B , :*
: 6541A
4* B: @ : :>J B :&J& B B
-/1)* : @ : B :&JO B B * Y: * J **Y>B , : *B
*: *J
-/+* : @ : :&J& B :LJL B B
*B B , : *B
*
'-)3 +),* A ,)+( ∈
8 8 0'-)3 74 1.- 8 ( : @ : B , : S 0_ ≤ * S ( $ : @ : B , :* S 0_ ≤ *
4,-1 @ $
0 6,+-R1- 5)0
: 654 A J B: >

&

5'- +),*11.-410'3 4,55 6 *+14)6)+'1

,)+( + ∈
(: B : @

8 8 ( : @ : B , :* S 0_ ≤ * S : @
: B : B , :*
D0 6,

: B , :* S 0_ ≤ *
: 654 A[ 4* ? B: J

:?

$

( : : @ : B , :* ,G :
0 -')*('-) .-2 *

1+4 5,4M*N6 ,7+*. * * /,*1 -3 *+0 *14 5-,0.)+ :
D0 6,
: 654 A : 1)*:

" ! "

"

##

: 9. 0 1+-6 10

,65,1)+),* 0 10'3 4,55 6 *+4)6)+'1
(∈
8
+ ∈ P8 8 P ⊂ 8 4)6 : → C : @ C8 ( : @ C B B * :* B , :* 8 : @ 7 : B B 7* :* B , :*
4,-1(
06 +.* 0'3 4,55 6 *+4)6)+' * C 2 4
$,-0- * D0 6, : 654 A 1)* :
43 +),* 2 .* 5.)11 */ A,* 1 - 6R* 2 B. :
15 -+)/.4) -A4$)*3 -1 0$.* (,*/+),*
: 654 A+* @ : B :&J& B :LJ L B , :L
; : A0 6I6
4* ; : S ; : @ C B : B B * :* B , :* 8 C F C 4* ; : @ 4* C B 4* B; : S
!,*/+),* -'/)5-,9. A ,)+( ∈
8 P M *+.* 04 * C 2 4$,-0- *8 +-' 4)1 *+.* 7)E /+),* *+- +P 4,-1( 06 +
.* 04 * C 2 4$,-0- *
,* '/-)+(
( @ : : 654 A+* @ -/+*

III Applications
+.0 4,/ 4 0$.* (,*/+),*
5 -+)-0$.* 040 ( * :C8 ,* 5 .+0'+-6)* -4$'9. +),* 0 4 +* *+ 2 4 /,.-7 * :C8 +1 5,1)+),* 5 -- 55,-+2
4 /,.-7 0 (

-+) 5-)*/)5 4 0$.* 1,66 0$)*()*)6 *+15 +)+1J - *01
:A
/,1: 1)* : :& √ :> CD \ :Q J OC
&√ :& B 5:>B 9
: A√ :>B : B
:
B∞D &L J

&

/ 4/.41,-0- Q
/ 4/.41,-0- &

!,-6 1)*0'+-6)*' 1
x
sin x

1
1 − x 1 − sin x 
→ −
x →0
sin 4 x
6

sin

:A

/ 4/.41,-0-

%- */; 1)*()*) 1
: A( : @ :> -/+*

J B:

/ 4/.41,-0- & * B∞ S '+.0 0 4 (,*/+),*

IV Développements limités à connaître
'3 4,55 6 *+14)6)+'12 4$,-0- O8 5,.-: → C
:@
B:
4*

α

B : B : B :& B : B :L B
@

Bα:B

B: @:

αα

: B & :&

: B

:O
αα

α

:& B

O

: B L :L B

:O

-/+* : @ : & :& B L :L B :Q
&
-/1)* : @ : B O :& B C :L B :Q
:

@

B:B

:>B O :& B

:

1)* : @ : O :& B

L
C: B

:Q

1; : @ : B O :& B

L
C: B

:Q

/,1: @

: B

: B

:O

: B

: B

:O

+ * : @ : B & :& B L :L B

:Q

/; : @

B

L
C: B

:O

αα

α

α &

: B

:L

3 /α ∈

H

$

" ! "

"

V Développements asymptotiques
: :&
&
: A ,65,-+6 *+0 /,+* : /,+* : @ : &
/,1J1)*
L B ,:
C
.,+) *+0 040 *14 / 1 '*'- 4A( /+,-)1 -/ 9.) R* 8 +5,1 -; @ J: 5,.-1 - 6 * - * C
%- */; 1)*()*) 1A:> -/+* B: @ :
B &: B , :
B∞
/; 44 0 /,65 - )1,* @ ( 6)44 ϕU U ∈ b 0 (,*/+),*10'()*) 11.- 8
∀ U8 U$ ∈ b >8 U ≠ U$ ϕU @ , ϕU $ ,. ϕU $ @ , ϕU
+
∃ U $$ ∈ b8 ϕU ϕU $ @ ϕU $$
: A 0* * ∈
(∈
8
06 +.* 0'3 4,55 6 *+ 1M65+,+)9. 0 *14$'/; 44 0 /,65 - )1,* ϕU

)
U ∈b1

∃ U 8 U 8 8 U* ∈
( Σ UE ϕUE 1,)+*' 4) 74 0 3 *+ϕU 8 ϕU 8 ..., ϕU*
: 654 A-'1,4.+),* 0 : 1)* : @ 0 *1 B 0 3 1M6 0 4 1.)+ 0'()*) /,66 4$ *1 674 0 11,4.+),*1
*8

&

##

&

"(

#Z"

)*

I Définition – Structure
** . 0 15,4M*N6 12 .* )*0'+-6)*' 1.- .* /,-51
,)+K .* /,-51/,66.++)(
* 5,4M*N6 2 .* )*0'+-6)*' 1.- 4 /,-51K 1+.* 1.)+ 2 '4'6 *+10 K 5- 19. +,.1*.41 ,*/K ⊂ K

'()*)+),* 0 4$' 4)+'0 5,4M*N6 1 ",++),* AK
1+4$ *1 674 0 15,4M*N6 12 .* )*0'+-6)*' 1.- K

00)+),* 0 5,4M*N6 1 K
1+.* -,.5 00)+)( 7'4) * 1,.1 -,.5 0 K
0 6,- 5)0


'()*)+),* 0 4 6.4+)54)/ +),* A∀ @

)

∈K

8∀

@ 7) ∈ K

)

8

@ /) ,G /) @

E

7)

E

E@C







K
1+1+74 5,.- 4 6.4+)54)/ +),* D0 6,
@ ) ∈K
1+.* 6,*N6 1) ∃ * ∈ 8 * ≠ C +∀ ) ∈ H <* =8 ) @ C
∀ ∈ K 8 1+.* 1,66 0 6,*N6 1
D0
-,0.)+0 6,*N6 1 D0
11,/) +)3)+'5,.- 415-,0.)+10 6,*N6 1 D0
K 8 B8 × 1+.* ** . /,66.++)( )*+R - 0 6,A× /,66.++)3 8 0)1+-)7.+)3 5 - - 55,-+2 B8 11,/) +)3 8
* .+- 8 )*+' -)+'
4,* 6 *+0 K 0 *1K A/-' +),* 0$.* 6,-5;)16 )*E /+)( 0$ ** . 0 K 3 -1K



4R7- 0 15,4M*N6 12 .* )*0'+-6)*' 1.- .* /,-51
'()*)+),* 0 4 4,) :+-*
* - +-,.3 41 5-,5-)'+'1
K
1+.* K 4R7- /,66.++)3
* *,+ @ δ) ) ∈ ∀ * ∈ 8 * @ δ) * ) ∈
0 6,-'/.-- */
0 6,- 5)0 A '*'- +-)/ 8 4)7# ( 6)44 ) ) ∈ 1+.* 7 1 0 K
",++),*1A @ Σ ) ) S @ Σ 7) ) S * 4
,-1 @ Σ )7E )BE

&

-' +3 4. +),* 0$.* 5,4M*N6

,)+ @ Σ ) ) ∈ K
) ≠ C8 0_ @
:<) ∈ 8 ) ≠ C = +3 4 @ )*<) ∈ 8 ) ≠ C =
- /,*3 *+),*8 0_C @ ∞ +3 4C @ B∞
∀ 8
∈ K >8
0_
@ 0_ B 0_
34
@ 34 B 34
0_ B ≤
:<0_ 8 0_ =
0_ ≠ 0_
0_ B @
:<0_ 8 0_ =
3 4 B ≥ )*<3 4 8 3 4 = 3 4 ≠ 3 4
3 4 B @ )*<3 4 8 3 4 =
0 6,A ) ≠ C + ≠ C8 4,-1 5)5,
# 1'4'6 *+1)*3 -1)7410 K 1,*+41'4'6 *+10 KW
0 6,( /)4
K *$ 1+5 1.* /,-51
# /, (()/) *+0,6)* *+0$.* 5,4
M*N6
1+4 +-6 0_ 0 4 1.)+
+.0 0 K * @ < ∈ K 8 0_ ≤ * =
K*
1+.* K 15 / 3 /+,-) 40 0)6 *1),* *B
K* @ /+< )8 C ≤ ) ≤ * =
,.+ ( 6)44 0 *B 5,4M*N6 1 ) C ≤ ) ≤ * +419. 0_ ) @ ) /,*1+)+. .* 7 1 0 K*
D0 6,
$ 1+.* ( 6)44 0 5,4M*N6 1'+ '

!,*/+),* 5,4M*N6
,65,1)+),* 0 15,4M*N6 1A∀ @ Σ )
∀ 8 8
∈ K 8 ∀ λ ∈ K8
B

)

∈K

8∀

∈K
B

8 ,* 0'()*)+



)

@
@

8 ,G U> @ < )8 E ∈ >8 ) B E @ U =

0 6,( /)4
λ
+)4)1 +),* 0$.* 5 -+)+),* 0 > A U> U ∈
",++),* A
@
S @
@
# (,*/+),* 5,4M*N6 11,/)' 2 ∈ K
1+4$ 554)/ +),* K → K8 : →
:8 *,+' c
K
c
#$ 554)/ +),* Φ AK → K 8 →
1+.* 6,-5;)16 0$ 4R7- 0 6,- 5)0
Φ *$ 1+5 1+,.E,.-1)*E /+)3
*1 J 8 Φ > B @ C 0,*/b - Φ ≠ <C =
4,-)+;6 0 d-* 5+)6)1 +),* 5,.- 4 / 4/.40 : @ Σ ) :)
3 . 0 6,
y ← an ;

)

pour i allant de n – 1 à 0 faire y ← ai + y x ; fin pour ; renvoyer y ;

4,-19.$2 4$,-) )* 8 4 / 4/.4*'/ 11)+

*> 8 )/)8 )4* ( .+9.

*

&

#Z"

II Arithmétique de K[X]
.4+)541 +0)3)1 .-1
∀ 8 % ∈ K >8 % ? 1) *)() ∃ ∈ K 8 @ %
$ 1+.* - 4+),* -'(4:)3 ++- *1)+)3
∀ 8 % ∈ K >8 ? % +% ? ⇔ ∃ λ ∈ KW8 @ λ %
+% 1,*+0)+1 11,/)'1
0 6,( /)4
",++),* A∀ ∈ K 8
@< 8 ∈K =
∀ ∈K 8
1+.* )0' 40 K 8 /$ 1+X2X0)- A/$ 1+.* -,.5 00)+)(8 +∀ % ∈
8∀ ∈K 8% ∈
∀ 8 % ∈ K >8 % ? ⇔
⊂ % ⇔ ∈ %

8 8 * ∈K* 8∀%∈K 8∀
8 8 * ∈ K * 8 ∀ ) ∈ *8 % ? )
% ?Σ ) )
D0
&

8 8% ∈K
8 ≡
% 1) *)() % ?
$ 1+.* - 4+),* 0$'9.)3 4*/ /,65 +)74 3 /× +B

)3)1),* ./4)0) **


8% ∈K

× K H <C =8 ∃ Y 8 ∈ K > 8 @ % B +0_ K 0_%
A :)1+*/ 3 / 4,-)+;6 5,.- 0)6)*. - 4 0 -'0 8 *)/)+'
&B
&
: 654 A L
@ >B
B& B
1+4 - 5-'1 *+*+0 4 /411 0$'9.)3 4*/ 0 3)1 2 3)10 4 /,* -. */ 6,0.4
,% 0,*+4 0 -' 1+6)*)6 4

8 8 * ∈ K * 8 ∀ λ 8 8 λ* ∈ K *8 ∀ % ∈ K H <C =8 ∀ ) ∈ *8 ∃ )8 ) ∈ K > 8 ) @ % ) B )8
Σ λ) ) @ % Σ λ) ) B Σ λ) )8 3 /0_Σ λ) ) K 0_%8 +
Π )≡Π ) %
15 -+)/.4) - A @
B Sc @
* 4,-1
? ⇔ c @ C A 1+.* - /)* 0

&

8 8 * ∈ K H <C= *8 ∃ ∈ K H <C=8 +49. 4$ *1 674 0 10)3)1 .-1/,66.*12 8 8 * 1,)+
4$ *1 674 0 10)3)1 .-10
-6) 415,11)7415,4M*N6 1 8 )4*$ * :)1+ 9.$.* 1 .4.*)+)$ 1+4.- 5/ 0
A * /,*1)0R- @ <Σ ) )8
8 8 * ∈ K* =8 +,* /;,)1)+.* 5,4M*N6
0 0 -'6)*)6 40 *1 S ,*
6,*+- 9. @
8 +9. +,.+0)3)1 .- /,66.* 2 8 8 * 0)3)1 S *)/)+'A + 1,*+ 11,/)'1
",++),* A ∧ %
6 -9. A ∧ C 1+4 5,4M*N6 .*)+)- 11,/)'2


8 8 * ∈ K H <C= *8 ∃ ∈ K H <C=8 +49. 4$ *1 674 0 16.4+)541/,66.*12 8 8 * 1,)+
4$ *1 674 0 16.4+)5410
-6) 415,11)7415,4M*N6 1 8 )4*$ * :)1+ 9.$.* 1 .4.*)+)$ 1+4.- 55/6
D0 6,A @ ∩ ) 1+.* )0' 4S ,* 5- *0 5,.- 4 5,4M*N6 0 0 0_6)* /,66 4 5 /0 ",++),* A ∨ %

L

4 ,-)+;6 0$ ./4)0

∀ 8 % ∈ K × K H <C =8 @ % B
3 /0_ K 0_% 4,-1 ∧ % @ % ∧
0 6,A @ % C B C S % @ C B S C @
B A0)3)1),*1 ./4)0) ** 1
∧ +∨ 1,*+0 14
,)1 11,/) +)3 1

O

,4M*N6 15- 6) -1 *+-

0,.74 0)3)1),*

.:


8 8 8 * ∈ K * 8 8 8 * 1,*+0)+15- 6) -1 *+- .: 0 *14.- *1 674 4,-19. 4.-10)3)1 .-1
/,66.*11,*+41'4'6 *+10 K W 41'4'6 *+1)*3 -1)7410 K
# .- 5 /0 1+
;',-R6 0 % V,.+A∀
8 8 * ∈K* 8 ∧ ∧ *@ ⇔∃
8 8 * ∈K* 8Σ ) )@
;',-R6 0
.11A∀ 8 %8 ∈ K & 8
?% + ∧%@
?
∀ 8% ∈K> 8 % + ∧%
∨ % 1,*+ 11,/)'1

Q

,4M*N6 1)--'0./+)741

∈ K H K 1+)--'0./+)74 1) 1 10)3)1 .-11,*+415,4M*N6 1/,*1+*+1*,* *.41 +415,4M*N6 1 11,/)'12
∀ ∈ K 8 0_ @
)--'0./+)74
D0
) K ⊂ L8 4,-1K ⊂ L
* 5,4M*N6 )--'0./+)74 0 *1K *$ 1+5 1(,-/'6 *+)--'0./+)74 0 *1L
: A > B 0 *1
+
,)+ ∈ K H K ∃ Yλ ∈ K8 ∃ * ∈ 8 ∃ 8 8 * ∈ K * )--'0./+)7418 .*)+)- 1 + 2 0)/+)*/+18
∃ U 8 8 U* ∈ W*8 @ λ Π EUE8 4$.*)/)+' 1+3- ) 2 4$,-0- 5-R10 1( /+.-1
A :)1+*/ 5 - -'/.-- */ (,-+ S .*)/)+'
+)4)1 +),* 5,.- 0'+-6)* - 4
,. 4
0 0 .: 5,4M*N6 1

L

&

III Dérivation et racines
* 1 54/ 0 *14 / 1,G K 1+.* 1,.1 /,-510

,4M*N6 0'-)3'
E
∀ ∈ K 8 @ Σ ) )8 ,* *,+ $ @ Σ ) ) ) @ Σ EB
EB
∀ ∈K 8 $@C⇔ ∈K
∀ ∈ K H b8 0_ $ @ 0_
*1 J
8 @ B > 5,.- 0'-)3'
'()*)+),* 0 15,4M*N6 10'-)3'11.// 11)(15 - -'/.-- */
#$ 554)/ +),* → $ 1+4)*' )0 6,- 5)0
$@ $ B
$
D0 6,5,.- 0 16,*N6 1.*)+)- 15.)1 '*'- 4)1 +),*
$@ $
$
D0 6,5,.- 0 16,*N6 1
U U
* U
* @Σ
#$ 554)/ +),* → * 1+4)*' )!,6.4 0 # )7*)VA
*

!,-6.4 0
,)+ ∈ K

M4,-

+ ∈ K 0_ @ * ≥ C

P=

(X − a )
Pˆ ( n ) (a )
k!
k =0

&

!,*/+),* 5,4M*N6

n

/)8 4 /,-51 1+

*

A

k

U

C≤U≤*

.+- 3 -1),* A P( X + a ) =

1+.* 7 1 0 K*
k

X
Pˆ ( n ) (a )
k!
k =0
n

+0'-)3'

4,-1c $ @ c$

/)* 10$.* 5,4M*N6
,)+ ∈ K
∈ K 1+- /)* 0 ⇔ Φ
@C⇔
?
5?
5B ?
∈ K 1+- /)* 0 0$,-0- 0 6.4+)54)/)+'5


c
5
⇔ @
+
≠C
⇔ c @ C + - /)* 0 $ 0$,-0- 5
5
⇔c @ @ c
@ C +c5
≠C

L

0 6,

,4M*N6 1 +(,*/+),*15,4M*N6 1

) 1+- /)* 0 0$,-0- 58 4
,-15 ≤ 0_ +0,*/ ≠ C
≠7

7 @
D0
* 5,4M*N6 *,* *.4* 5 .+ 3,)- 54.10 - /)* 19. 1,* 0 -'
) K 1+)*()*)8 4,-1Φ 1+)*E /+)3

IV Etude de [X] et de [X]
,-51 4'7-)9. 6 *+/4,1
∈ K H K 1+1/)*0'1.- K 1) ∃ λ ∈ KW8 ∃ 8 8 5 ∈ K 5
1& 5-,5,1)+),*11,*+'9.)3 4*+1A
∀ ∈ K H K8 1+1/)*0'
∀ ∈ K H K8 ∃ ∈ K8 c @ C
& ∀ ∈ K H K8 0_ @ ⇔ 1+)--'0./+)74
* +4/,-51 1+0)+ 4'7-)9. 6 *+/4,1

8 ∃ α 8 8 α5 ∈

0 6,A

58



E

αE

&

+.0 0
;',-R6 (,*0 6 *+40 4$ 4R7-

&

,. +;',-R6 0 0$ 467 -+

.11 A

1+ 4'7-)9. 6 *+/4
,1

+.0 0

* 0'()*)+4$ 554)/ +),* A

∀ ∈
8 ∈
⇔ @
) ∈
1+- /)* 0 0$,-0- 8
∀ ∈
H 8 1+1/)*0'1.-

8



1+- /)* 0
)7∈ H

$ 1+.* *0,6,-5;)16 0$ 4R7-

D0 6,

0$,-0- U D0 6,
1+- /)* 0 0$,-0- U8 4
,-1 4$ 1+ .11)
O

#Z"

&

#Z"

# 15,4M*N6 1)--'0./+)7410
1,*+0,*/0 +M5 1A
• # 15,4M*N6 10 0 -'
• # 15,4M*N6 10 0 -' 3 /0 1- /)* 1/,654: 1/,*E. .' 1
,.+5,4M*N6 0 0 -'≥ 1+0,*/-'0./+)74
:A B >B @ > B >
>@ >B B
>
B
B .+- 6'+;,0 54.1 '*'- 4

)3)1)7)4)+' +- /)* 1
,) *+ 8
∈ K>
?
∀ - /)* 0 0$,-0- U8 1+- /)* 0 0$,-0- ≥ U
'/)5-,9. A! .11 0 *14 / 1 '*'- 4 : A > B
+ >B
) K 1+ 4'7-)9. 6 *+/4,18 44 1+3- ) A
∀ 8
∈ K > 8 ? ⇔ ∀ - /)* 0 0$,-0- U8 1+- /)* 0 0$,-0- ≥ U
c
Q ∀ K /,-518 ∃ K /,-51 55 4'/4
N+.- 4'7-)9. 0 K8 K ⊂ c
K 8 ∀ ∈ K 8 1+1/)*0'0 *1c
K
→ ",.3 44 /,*1+-./+),* 0
@ >B ∈
* *,+ @
J
1+*,+')

V Equations algébriques
'()*)+),*8

/)* 1

9. +),* 4'7-)9. @ '9. +),* 0 4 (,-6 c : @ C8 ,G ∈
+: ∈
) 0_ @ * ≥ 8 : @ C *,++),* 1)654)()' * - /)* 18 /,65+' 1 3 /4.-1,-0- 10 6.4+)54)/)+'

4+),*1 *+- - /)* 1 +/, (()/) *+10$.* '9. +),* 4 '7-)9.
+.0 - 5)0 0 1/ 1,G 0_ @ +0_ @ &
,) *+ @ C B
B
>B B * *∈
* *,+*+σU @
,* ∀ U ∈
σ @ Σ:)

&

*8

ΣK ) ≤ * :)

≤) K

:)U8

:)

8 ,G 0_ @ * ≥ 8 +: 8 8 :* A41* - /)* 10
55 4' 1(,*/+),*11M6'+-)9. 1'4'6 *+)- 10 1- /)* 10 4$'9. +),* 8

U

U
σU @
σ* @ Π:)

*

UJ

*

5 - -'/.-- */ 1.- * @ 0_

.+)4)1 +),* 0

$ 467 -+

.11

!,*/+),*11M6'+-)9. 10 1- /)* 10$.* '9. +),* 4 '7-)9.

,)+ : 8 8 :* .* :5- 11),* 5,4M*N6) 4 * : 8 8 :* 1M6'+-)9. )*/; * ' 1) ,* -' 4)1 .* 5 -6.++),* 0 :)
3 /:E 4,-1)4 :)1+ .* .+- :5- 11),* 5,4
M*N6) 4 8 +44 9.
: 8 8 :* @ σ 8 8 σ*
!
"A
5
5 -'
: 9: 5 B : 5: 9
/.-- */
: 5: 5
0_ @
5 @: B :
5: 5
5 B : 5 B : 5 -'
/
.@
Σ
:
0_ @ &
@
:
5> @
5
&
5
5 : 9 : - ( /+
5: 9
,-)1 +),*
@
Σ
:
@
Σ
:
&
5 9
589
",++),* A ,66 )*0'+-6)*' Σ @ 1,66 0 +,.141+-6 1/,*+* *+ +41 .+- 1)654)9.'15 - 4 1M6'+-)
* AΣ : > @ Σ : > B Σ : :
Σ : & @ Σ : & B & Σ : > : B OΣ : : : &
: 6541A
) : 8 : 8 :&8 : 1,*+41 - /)* 10
>B
8 / 4/.4- @ Σ : > : & :&
0.&
) : 8 : 8 :& 1,*+41- /)* 10
O >B
B λ8 +-,.3 - λ 5,.- 9. : : @
λ@ O
) : 8 : 8 :&8 : 1,*+41 - /)* 10
>B
8 / 4/.4- @ Σ : & :
@
554)/ +),*1A
• ! /+,-)1 +),* 0 : B :& B : B : B @ C 0 6 *)R- 1 /)* 1L)R6 10 4$.*)+'8 +/; * 6 *+0 3 -) 74
M@ : B J: 8 9.) 5 -6 +0 0'0.)- 9. /,1 πJL @ √L
J
,*1+-./+),* 0$.* 5 *+ ,* -' .4) •
'1,4.+),* 0 4$'9. +),* 0 0 -'+-,)1A :& B 7:> B /: B 0@ C8 ≠ C
* 1 - 6R* 5 - +- *14+),* 2 .* '9. +),* 0 4 (,-6 :& B 5: B 9 @ C
* 55 4*+: 8 : 8 :& 1 1- /)* 18 41*,67- 1θ @ : B E: B E>:& & +θ @ : B E>: B E:& & 1,*++419.
θ B θ +θ θ 1,*+0 1 :5- 11),*11M6'+-)9. 10 : 8 : 8 :&
* 41 :5-)6 * (,*/+),* 0 5 +0 9 A
θθ @
Q5&
θ B θ @ Q9
θ +θ 1,*+0,*/41- /)* 10 +> B Q9+ Q5& @ C ,* 5 .+41/ 4/.4* 0'+-6)* µ +µ 0 1- /)* 1/.7)9. 10 θ +0 θ
* 4,-1.* 1M1+R6 4)*' )- 0 & '9. +),*1 * :)
$,G A: @ µ B µ J&
: @ E>µ B Eµ J&
:& @ E>µ B Eµ J&
!,-6.410
-0 *

,.- 4 -'1,4.+),* 0 *1 A∆ @ 5& B Q9>
) ∆ F C8 )4*$ :)1+ 9.$.* - /)* -' 44 A &√θ B &√θ J& S 41 .+- 11,*+/,654: 1/,*E. .' 1
) ∆ @ C8 )4 :)1+ & - /)* 1-' 4418 0,*+ 1,*+/,*(,*0. 1
) ∆ K C8 )4 :)1+ & - /)* 1-' 441 ,* /;,)1)+5,.- µ 4 /,*E. .'0 µ
Q

&


#Z"

-)1 /+),* 0 4$ * 4 A/,1&ϕ @ /,1& ϕ &/,1ϕ ,.- -'1,.0- :& B 5: B 9 @ C ,G ∆ K C8 ,* 1 - 6R* 5 ;,6,+;'+) 2 .* '9. +),* 0 4 (,-6 :& &:J @ J S ) ? ? ≤ 8 ,* '/-)+ @ /,1&ϕ
* 0,*/& 1,4.+),*18
/,1ϕ 8 /,1ϕ B πJ& 8 +/,1ϕ B πJ& : 654 A:& &: B @ C
# 11,4.+),*10

:&

5

B 5: B 9 @ C 1,*+0,*/

&

/,1 & -//,1

&
5

9

&


B &

J U ∈ <C8

8 =

VI Fractions rationnelles
K 1+.* /,-51/,66.++)(

,-510 1(- /+),*12 .* )*0'+-6)*' 1.- K
,*1+-./+),* A *1K × KW 8 ,* 0'()*)+.* 00)+),*8 .* 6.4+)54)/ +),*8 .* - 4+),* A
8% × 8
@
8%
8% B 8
@
B% 8%
8% ℜ 8

@%
* 0'6,*+- 9. × 1+ 11,/) +)3 8 /,66.++)3 8 5,11R0 .* * .+8 8 + 1+0)1+-)7.+)3 5 - - 55,-+2 B S 4 4
,)
B 1+ 11,/) +)3 8 /,66.++)3 8 5,11R0 .* * .+- C8 S ℜ 1+.* - 4+),* 0$'9.)3 4*/ /,65 +)74 3 /B +×
*1K × KW Jℜ8 ,* '+*0 4
$ 00)+),* +4 6.4+)54)/ +),* * /-' .* 6,-5;)16 1.-E /+)( 0 K × K W 3 -1
K × KW Jℜ 9.) 11,/) 4 /411 0$'9.)3 4*/
* 0'()*)+.* ,55,1'8 .* )*3 -1 K
× KW Jℜ 1+.*
/,-51/,66.++)( ",++),* AK × KW Jℜ @ K
4
,* 6 *+0 K 0 *1K
∀ ∈ K 8 ∃ Y 8 % ∈ K × K H <C =8 ∧ % @ +% .*)+)- 8 ! @ J% D0 .11
-,5-)'+'1A
K
1+.* K 15 / 3 /+,-) 4/ - K 1+.* 1,.1 /,-510 K
AK ⊂ K ⊂ K
-'A ) ! @ J%8 0_! @ 0_ 0_% )*0 5 - 5-'1 *+*+ S 0_! ! @ 0_! B 0_! S 0_! B ! ≤
: <0_! 8 0_! =
1+- /)* 0 ! 0$,-0- α 1) 1+- /)* 0 0$,-0- α
/)* 1 +5N41A ) ! @ J%8 ∧ % @ 8
1+5N4 0 ! 0$,-0- α 1) 1+- /)* 0 % 0$,-0- α 0'5 *0 0 K
% $ J%> )*0 5 - 5-'1 *+*+ #$ 554)/ +),* ! → ! $ 1+4)*' )'-)3 +),* A ) ! @ J%8 ,* 0'()*)+! $ @ $ %
∀ !8
∈ K> 8 ! $ @ ! $ B ! $ '()*)+),* 0 10'-)3' 11.// 11)3 15 - -'/.-- */ !,-6.4 0 # )7*)V
B7 $
0 7/
6 A ,)+ ∈ K
4,-1 / B 0 @ / B 0 > $
N410 4 0'-)3' A 1+5N4 0$,-0- α 0 ! @ J%
1+5N4 0 ! $ 0$,-0- αB S 5N4 0 ! $ 5N4 0 ! D0
!,*/+),* - +),** 44 A#$ 554)/ +),* Φ A! ∈ K
→c
! ∈ K H<5N41=8 K 1+)*E /+)3 1) K 1+)*()*)

'/,65,1)+),* 0$.* (- /+),* - +),** 44 * '4'6 *+11)6541
∀ ! @ J% ∈ K
H K 8 ∃ Y 8 ∈ K> 8 ! @ B J% +0_ K 0_%
1+4 5 -+) *+)R- 0 ! D0
) ! @ J% ∈ K
H K 8 0_! K C8 % @ % % ,G % ∧ % @ 8 4,-1∃ Y 8
∈ K> 8 ! @ J% B J% 8
,G 0_ K 0_% +0_ K 0_% 0 6, :)1+*/ A% V,.+S .*)/)+'
) * 54.18 ∧ % @ 8 4,-1 ≠ C8 ≠ C8 + ∧ % @ ∧ % @
'*'- 4)1 +),* A ) ! @ J% @ J % %
%* ,G % 8 8 %* 1,*+5- 6) -1 *+- .: 2 +0_! K C8 4
,-1
∃ Y 8 8 * ∈ K* 8 ! @ Σ E J %E +∀ E ∈ *8 0_ E K 0_%E
) * 54.18 ∧ % @ 8 4,-1∀ E ∈ *8 E ∧ %E @
D0 6,5 - -'/.-- */ 1.- *
*
) ! @ J% ∈ K
H K 8 0_! K C8 % @
4,-1∃ Y C8 8 * ∈ K* 8
*
! @ * J B B CJ ,G ∀ ) ∈ <C8 8 * =8 0_ ) K 0_
0 6,5 - 0)3)1),*1 ./4)0) ** 1S .*)/)+'
) * 54.18 ∧ % @ 8 C ≠ C
* 4, ) 1 3 /4 (,-6.4 0 M4,'1.6'A ;',-) '*'- 4 0 4 0'/,65,1)+),* ,)+! @ J% ∈ K
H K 8 ∧ % @ +% .*)+)% @ Π E *E ,G ∀ E ∈ 58 E )--'0./+)741 + 2 0)1+)*/+1 +*E ∈ W
5

4,-1∃

&

*E

Σ Σ
E@ U@C

E8 U
* U
E E

,G ∀ E ∈

5

8 ∀ U ∈ <C8 8 *E

=8 0_ E8 U K 0_ E

'/,65,1)+),* 0$.* (- /+),* - +),** 44 0
* )/)

!

E8 U

8!@

E

@

E8

+

E8 U



)

1+.* 5N4 0 !8 ! @

α

@! B

,G *$ 1+5 15N4 0

1+ 55 4' 4 5 -+) 5,4)- 0 ! 5 - - 55,-+ . 5N4

44 *$ 9. /,66 5N4
λ
-+) 5,4)- - 4+)3 2 .* 5N4 1)654 A! @ % @
@
B
4,-1λ @
@%$
&
: 654 A J
@ J&
B J&E> E B J&E E>
α
-+) 5,4)- - 4+)3 2 .* 5N4 6.4+)54 A ,)+ @
! @ J @ λC B λ
B B λα
,.- +-,.3 - λU8 ,* 0'-)3 U (,)1 +,* 4
$ 554)9. . 5,)*+ λU @ U JUY
: 654 A B > B J & >B
@ &
B J &B J
) B J
B)

α

B
M4,-

α

&

#Z"

'/,65,1)+),* 0$.* (- /+),* - +),** 44 0
0_ E @ ,.
:AJ &
",+),* 0$'4'6 *+1)654 0 *)R6 15R/
,.- +-,.3 - 41/, (1 0$.* '4'6 *+0 R6 15R/ 8 ,* 4 6.4+)54) 5 - ! 5.)1,* - 654/ 5 - .* 0 1 1 - /)* 1
/,654: 1 43) *+ 4
,-1.* ' 4)+'0 /,654: 18 9.) 5 -6 ++*+0 0'+-6)* - 41 /, (()/) *+1
: 654 A B J > >
>B >@ J > J
B B J
B J >B > B J >B
.+)4)1 +),* 0. ( )+9. 4$ :5- 11),* 1+5 )- S 0'3 4,55 6 *+4)6)+' +'9.)3 4*+2 4$)*()*)

VII Complément : polynômes d'
interpolation
*+-5,4+),*
* /; -/; 2 - 654/ - .* (,*/+),* 5 - .* (,*/+),* 5,4M*N6 1.- .* )*+-3 44
∀ αC8 8 α* ∈ *B 8 ∀ βC8 8 β* ∈ *B 8 ∃ Y ∈ * 8 ∀ ) ∈ <C8 8 *=8 c α) @ β)
0 6,A4$ 554)/ +),* * → *B 8 → c αC 8 8 c α* 1+.* )1,6,-5;)16 0$ 15 / 3 /+,-) 4
() A ∈ * → c α) 1+.* (,-6 4)*' )() C ≤ ) ≤ * 1+.* 7 1 0. 0. 40 *
0 6,A 44 1+4)7* /; -/; .* 7 1 0 * +44 9. () C ≤ ) ≤ * 1,)+1 7 1 0. 4
n

∏X − α
* *,+*+Q i =

j= 0
j≠ i
n

∏α
j= 0
j≠ i

*

n

4,-1 P =

i =0

j

8 4 ( 6)44
i

) C≤)≤*

1+7) * 4 7 1 /; -/;'

−αj

βi .Q i A5,4M*N6 0$)*+-5,4+),* 0 # - *

3 4. +),* 0 4$ -- .* '+.0) 4$ 554)/ +),*
+,G λ 1+/;,)1) +49.

f (x ) − Pˆ(x ) ≤
&

:

"* + ,G "* @ Π(
α)
A+∈ 8 7 → ( + c + λ c
$ **.4 0,*/ * *B 5,)*+1S : *B 1$ **.4 0,*/ * .* 5,)*+ 43) *+A
: : @C
:1

ˆ n [a , b] .Max f ( n +1) [a , b]
Max N
(n + 1)!

5+)6)1 +),* 0 1 71/)11 1 α)

# 6 )44.- /;,): 0 1 71/)11 1α) 1+0,**'5 - 41- /)* 10 15,4M*N6 10 /; 7M/; 3
B
"! Q

\

*

: @ /,1* -//,1:

#

"+ ,

'

#

$"

#

$

I Fonction polynômiale en sin(x) et cos(x)
! @ 1)*5: /,19: 0:
) 5 ,. 9 1+)65 )- A .55,1,*19 @ 9$ B → ! @ 1)*5: /,1>: 9$ /,1: 0: @ .5 .> 9$0. ,G . @ 1)* .
: 654 A 1)*>: /,1&: 0: @ 1)*&:J& 1)*L:JL B /+
) 5 +9 1,*+5 )-1A5 @ 5$ +9 @ 9$ .55,1,*15$ ≥ 9$ ! @ 1)*: /,1: 9$ 1)* 5$ 9$ : 0: S ,* 4)*' -)1 +,* 1
- 6R* . / 15-'/'0 *+ : 654 A 1)*>: /,1: 0: @ :J O 1)* : JO B 1)*& : J B /+

II Fonction rationnelle
ln x − a + c te
(k = 1)
4'6 *+11)65410
1
+ c te (k > 1)
(1 − k )( x − a ) k −1
4'6 *+11)65410 R6 15R/ A ++- 4 0'*,6)* +.- 1,.14 (,-6 / *,*)9.
4 0'-)3' 0. 0'*,6)* +.- . *.6'- +.-8 / 9.) ( )+ 55 - `+- .* +-6 ( /)46
0:
(,-6
: 5 > B 9> U ) U @ 8 ,* - /,** `+4 0'-)3' 0$ -/+* S 1)*,*8 ,* 5,1 :
3 -) 74 5 -6 +0 1 - 6 * - 2 / 4/.4- .* +-6 0. +M5 /,1: 0:
&
:B
:B
:B
: A :> B : B & 0: @ :> B : B > B \ -/+*
B \ :> B : B
&
,* 1 1 -+0 1(,-6.41 * +* +J
0:
* 5,1 *+ U @
: 5 > B 9> U8 ,* 5 .+'+74)- .* - 4+),* 0 -'/.-- */ *+- U
R-

dx
15R/ A
=
(x − a )k

: 5 > B 9> U S ( )- 55 - `+*+)*+' - 74 54.1.* +-6 0 4
5 @ 9+*ϕ # /; * 6 *+0
:> B :
:B
:> B : B >

B /+

+U

III Fonction rationnelle de sin(x) et cos(x)
1)*:8 /,1: 0: -,74R6 0 0'()*)+),* 0 4 5-)6)+)3 → /;,): 0$.* )*+-3 44
:
0+
S 0: @ B +>
; * 6 *+0 3 -) 74 A+@ +*
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+>
+
1)* : @ B +>/,1: @ B +>+* : @
+>
* 1 - 6R* 2 .* (,*/+),* - +),** 44

!@

: 654 A

0:
:
1)* : @ 4*?+*

? B /+

0:
: π
/,1: @ 4*?+* B

? B /+

0:
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+
+
1)* : @ 4*?1)* : /,+* : ? B / /,1: @ 4*?/,1: B +* : ? B /
15 -+)/.4) -1A
!@
1)* : /,1: 0: @
. 0.
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B.>
#,-19. 4$ :5- 11),* 1,.14$)*+' - 4 1+)*/; * ' 5 - 4$.* 0 1& 1.71+)+.+),*10 : * 5 1,.74) - 0: 8 ,* 5,.-( )- .* /; * 6 *+0 3 -) 74 9.) 5 -6 ++- 0 / 4/.4- 4
$)*+' - 4
: 654 A 1)*& : 0: J B /,1&: @ [ 4* .> . B
-/+* . J√& J√& B /+ ,G . @ /,1:
. */,- A

IV Fraction rationnelle en sh(x) et ch(x)
,4M*N6
5

* 1; : +/; :

9

! @ 1; : /; : 0:
) 5 ,. 9 1+)65 )- A .55,1,*19 @ 9$ B → ! @ 1;5: /;>: 9$ /;: 0: @ .5 B.> 9$0. ,G . @ 1; .
) 5 +9 1,*+5 )-1A5 @ 5$ +9 @ 9$ .55,1,*15$ ≥ 9$ ! @ 1;: /;: 9$ 1; 5$ 9$ : 0: S ,* 4)*' -)1 +,* 1 - 6R*
. / 15-'/'0 *+ 1;: /;: @ 1; : J S 1;>: @ /; :
J

!- /+),* - +),** 44 * 1; :
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1;:8 /;: 0: -,74R6 0 0'()*)+),* 0 4 5-)6)+)3 → /;,): 0$.* )*+-3 44
&C

#

$"

#

#

; * 6 *+0 3 -) 74 A+@ +; :J S 0: @ 0+J
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B +>
+
+
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+>/;: @
+>+;: @ B +>
0:
:
0:
:
: A 1; : @ 4* +;
B /+ /; : @
-/+* +;
B /+
.+- /; * 6 *+0 3 -) 74 A. @ : S 0: @ 0.J.
.> B
.>
.>
1;: @ . /;: @
. +;: @ .>B
: 654 A

u +1
5 2
2
dx
2
4
=−
− ln u − 1 + ln( u ² + 2u + 3) −
Arc tan
+ c te
3
+


9
9
sh x ch x 1
3(u 1) 9
2
3

,G . @ :
15 -+)/.4) -1A
!@
!@
!@

1; : /; : 0: @
. 0.
/; : 1; : 0: @
. 0.
+; : 0: @ ! . 0. J
.>

. @ 1; :
. @ /; :
. @ +; :

5 10 6'+;,0 5,.5-'3,)-

V Primitives du produit d'
un polynôme et d'
une exponentielle
λ:

: 0: @ λ: : B /+ ,G 0_ @ 0_
0 6,( /)4 5 - -'/.-- */
→ ,.- +-,.3 - 8 )41.(()+0 0'-)3 - λ: : 5.)10$)0 *+)() : A :> 1)*: 0: @ :> /,1: B : 1)*: B /,1: B /+

VI Intégrales abéliennes attachées à une courbe unicursale
,.-7 .*)/.-1 4
,.-7 .*)/.-1 4 @ ,.-7 5 - 6'+-' A: @

+ +M@

+ ,G

+ 1,*+0 1(,*/+),*1- +),** 441

*+' - 4 7'4) **
*+' - 4 7'4) ** @ ! :8M : 0: ,G :8M : 1,*+41/,,-0,**' 10$.* 5,)*+9.) 0'/-)+.* /,.-7 .*)/.-1 4
* 5 .+ 4,-1/ 4/.4- 4
$)*+' - 4 A ! :8M : 0: @ ! +8 + $ + 0+
*

&

*+' - 4 ;,6, - 5;)9. 5 - - 55,-+2 : A ! :8
*

* 5,1 M@
*

! :8

:B7
/: B 0

0M* 7
: @ /M*B A/$ 1+7) * .* 5-)6)+)3 7'4) **

:B7
0M* 7
/: B 0 0: @ ! /M*B 8 M

: 654 A

:B7
/: B 0 0:

0 7/
*
/M* B > * M 0M " 5 1,.74) - 0:

1 + x dx
1
1
y −1
=−

+ ln
+ c te
1 − x x²
y −1 y +1
y +1

*+' - 4 0. +M5

(

)

F x, ax ² + bx + c dx

* M> @ :> B 7: B /A'9. +),* 0$.* /,*)9. ∆ @ 7>

* 4$'/-)+1,.14 (,-6


+

− 4a
y*

-

/ M>

: B 7J

> @ ∆J

b
²
2a
=1

4a ²

x+

x*

/ 1A K C

) ∆ FC A
4,-1/$ 1+.* 0 6) 44)51 * /;,)1)+.* 5 - 6R+- θ +49.
:W@ 1)*>θ
+
MW@ /,1>θ
&

→ ! :8√ :> B 7: B / @

/,1θ8 1)*θ

#

#

$"

: +M5 .3 *+1$ :5-)6 - - +),** 446 *+ * (,*/+),* 0 +* θJ A/$ 1+7) * .* 5-)6)+)3 7'4) **
&J 0: @
: 654 A
:> B &: B
J L : & J√ :> B &: B B /+
) ∆ ≤ C A#$)*+' - 4 * 5 .+I+- 0'()*) 1.- .* )*+-3 44
7

R6

/ 1A F C

* 7,.+)+2 4$'9. +),* 0$.* 0 6) ;M5 -7,4 .)3 *+4 1) * 0 ∆8 ,* /;,)1)+.* 5 - 6R+- θ +49.
:W@ 1;>θ
+
MW@ /;>θ
) ∆ KC
,.
:W@ /;>θ
+
MW@ 1;>θ
) ∆ FC
→ ! :8√ :> B 7: B / @
/;θ8 1;θ
: 654 A
0:J : B √ :>B: @ θJ
[ θ B /+ ,G θ @ 4* √ :>B: B : B
0:J : B √ :>B:B > @
Z

&

#



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