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Modules de type fini sur un anneau principal

Dans tout ce chapitre A est un anneau commutatif, unitaire, int`egre.
2
ace `
a A2 = (A × {0}) ⊕ ({0} × A). Si J est un ensemble, on note
L On identifie A ' A ⊕ A grˆ
j∈J A l’ensemble des familles a = (aj )j∈J telles que aj = 0 pour tout j sauf un nombre fini.

1

Modules libres et matrices


efinition 1. Soient M un A-module, et {mj | j ∈ J} une famille d’´el´ements de M . Cette
L
j∈J A → P M
famille est une base de M si et seulement si
est un isomorphisme.
(aj )j∈J 7→
j∈J aj mj
Un A-module est libre s’il poss`ede une base.
Th´
eor`
eme 1. Le Cardinal d’une base d’un A-module libre est ind´ependant de la base choisie.
On l’appelle rang du module.
On a rang(M ⊕ N ) = rang(M ) + rang(N ).
Remarque. Contrairement aux espaces vectoriels sur un corps, pour N sous-module de M
libre de type fini, il n’existe pas n´ecessairement P sous-module de M tel que M = N ⊕ P .
Par exemple M = Z et N = 2Z.
On se limite `
a des modules de type fini. Un module libre de type fini est de rang fini.

efinition 2. Soient M et N deux modules libres de type fini de bases respectives {mi }1≤i≤r
et {nj }1≤j≤s . Soit f : M → N un morphisme, on d´efinie la matrice de f dans les bases
{mi }1≤i≤r et {nj }1≤j≤s par
{n }

1≤i≤r
M at{mji } (f ) = ((fj,i ))1≤j≤s
∈ Ms×r (A)

o`
u
f (mi ) =

s
X

fj,i nj

j=1

Les r`egles d’alg`ebre lin´eaires s’appliques toujours, en particulier M at(f g) = M at(f )M at(g).

efinition 3. Si P = (pi,j ) ∈ Mn (A), on d´efinit
X
det(P ) =
ε(σ)p1,σ(1) . . . pn,σ(n)
σ∈Sn

Proposition 2. (Formules habituelles)
Si t co(P ) d´esigne la transpos´ee de la comatrice de P
det(P Q) = det(P ) det(Q)
t

co(P ) · P = P ·tco(P ) = (det P )In
1

Proposition 3. Soit P ∈ Mn (A). Alors P est inversible si et seulement si det(P ) ∈ A× .
On note GLn (A) l’ensemble des matrices n × n inversibles. C’est un groupe multiplicatif.

efinition 4. Si P ∈ Mn (A) on forme XIn − P ∈ Mn (A[X]).
Son d´eterminant est le polynˆ
ome caract´eristique de P, not´e ΠP (X).
Th´
eor`
eme 4 (Cayley-Hamilton). Soit M un A-module de rang fini n, et f ∈ End(M ). Soit
P la matrice de f dans une base {mj | j ∈ J}. Alors ΠP (f ) = 0.

2

Facteurs invariant pour un anneau principal

2.1

Libert´
e des sous-modules d’un module libre

Th´
eor`
eme 5. Si A est un anneau principal et M un A-module libre de rang fini r, ses
sous-modules sont libres de rang inf´erieur ou ´egal `
a r.
Remarque. La condition A principal est n´ecessaire : essayer avec (2, X) ⊂ Z[X], sur Z[X].

2.2

Modules de type fini et matrices ´
equivalentes

Th´
eor`
eme 6 (Th´eor`eme des facteurs invariants ou Forme normale de Smith). Soient A un
anneau principal, M un A-module libre de type fini (de rang r), N un sous-module. Alors il
existe une base de M, {m1 , . . . , mr } et des ´el´ements non nuls d1 , . . . , ds de A tels que :
1. {d1 m1 , . . . , ds ms } soit une base de N .
2. d1 | d2 | . . . | ds .
Remarque. On a s ≤ r et si A est un corps, c’est le th´eor`eme de la base incompl`ete avec
d1 = · · · = ds = 1.
On a alors classification
des

 matrices `a coefficients dans A principal par ´equivalence, et
d1


..


.
on dit que M = 
 est en forme normale (de Smith).

ds 
0

2.3

Modules de type fini sur un anneau principal

On applique le Th´eor`eme 6.
Proposition 7. Si A est un anneau principal, et si M est un A-module de type fini, alors
×
il existe n ≥
L0m et des ´el´ements non nuls d1 , . . . , dm de A r A tels que d1 | . . . | dm et
n
M ' A ⊕ ( i=1 A/di A).

2.4

Vecteurs de Torsion


efinition 5. Si M est un A-module, un vecteur m ∈ M est de torsion s’il existe a ∈ Ar{0}
tel que am = 0.
Proposition 8. Si A est commutatif et int`egre, l’ensemble Mtor des ´el´ements de torsion de
M est un sous-module de M .
2

Remarque. C’est le cas si A est principal.
Le quotient
et si M de type fini, A principal,
L M/Mtor est alors sans torsion,
n donc n ne d´
A/d
A,
donc
M/M
'
A
epends que de M .
on a Mtor ' m
i
tor
i=1
Remarque. On voit que si M est sans torsion, alors M ' An et donc sur un anneau principal,
les modules sans torsion de type fini sont n´ecessairement libres.

2.5

Facteurs invariants

Proposition 9. Si A est un anneau principal, et si d1 , . . . , dm et
des ´el´ements
1 , . . . , en sont L
Lem
n
A/d
A
'
non nuls de A r A× tels que d1 | . . . | dm et e1 | . . . | en et
j
i=1 A/ei A,
j=1
alors m = n et (di ) = (ei ) pour tout i.
En rassemblant toutes ces propositions, on obtient le
Th´
eor`
eme 10 (Th´eor`eme des facteurs invariants). Si A est n anneau principal et si M est
un A-module de type fini, alors :
1. il existem ≥ 0et n ≥ 0 et des ´el´ements non nuls d1 , . . . , dm de A r A× tels que
d1 | . . . | dm et
m
M
M ' An ⊕ (
A/dj A)
j=1

2. les entiers m et n ainsi que les id´eaux (di ) sont d´etermin´es par M de mani`ere unique.

efinition 6. Les dj sont appel´es les facteurs invariants du module M et lorsque {d1 m1 , . . . , ds ms }
est une base de N , sous-module de M , les id´eaux (dj ) sont les diviseurs ´el´ementaires de M/N .

2.6

Diviseurs ´
el´
ementaires

αr est la factorisation en irr´
Si d = pα1 1 . . . pL
eductibles distincts de d, alors par le Lemme
r
αj
α
r
Chinois, A/dA ' j=1 A/pj A. En revanche on ne peut plus d´ecomposer A/pj j A.


efinition 7. Si M est un A-module de type fini et si p est un ´el´ement premier, on note
M (p) = {m ∈ M | ∃α ≥ 0 tel que pα m = 0}. M (p) est un sous-module de M .
L
α
Si M = A/dA avec d = pα1 1 . . . pαr r , alors M (pj ) = A/pj j A et donc M = rj=1 M (pj ). On
reformule le Th´eor`eme 10 :
Th´
eor`
eme 11. Si A est un anneau principal et si M est un A-module de type fini, alors :
1. M (p) = 0 pour presque tout ´el´ement premier p.
L
2. il existe un unique n ≥ 0 tel que M ' An ⊕ ( ppremier M (p)) et pour tout p premier,
Lm(p)
α
il existe des entiers α1 (p) ≤ · · · ≤ αm (p) tels que M (p) ' i=1 A/pj j A
3. les entiers n et m(p) et αi (p) sont uniquement d´etermin´es par M

efinition 8. Les pα du 2) sont les diviseurs ´el´ementaires de M (les compter avec multiplicit´e).

3

Remarque. Si un anneau A a la propri´et´e que pour tous les modules N ⊂ M avec M et N
libres de rang fini, les conclusions du th´eor`eme 6 sont satisfaites, alors on dit que A est un
anneau `a diviseurs ´el´ementaires. Dans un tel anneau, tout id´eal de type fini est n´ecessairement
principal. R´eciproquement, on conjecture ( ?) que si A est un anneau int`egre dans lequel tout
id´eal de type fini est principal, alors A est un anneau `a diviseurs ´el´ementaires. Un exemple
d’un tel anneau qui n’est pas principal est l’anneau des fonctions holomorphes sur le disque
unit´e ouvert 1 .

1. Merci M r Berger

4


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