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devoir maison
de mathématiques 2
à rendre le mardi 04 janvier 2011
fait par arthur rouquan de 3e

1

Exercice 1
1°)

2°)
D’après le théorème de Pythagore :
EF 2 = 92 + 32
EF 2 = 81 + 9 = 90

EF = 90

F G2 = 32 + 12
F G2 = 9 + 1 = 10

F G = 10

EG2 = 62 + 82
EG2 = 36 + 64 = 100

EG = 100 = 10
Donc EF =



90, FG =



10 et EG = 10.

Je sais que EG2 = 100. Or, dans le triangle EFG :
EF 2 + F G2 = 90 + 10 = 100
D’où :
EG2 = EF 2 + F G2
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F.

3°)
\, on fait :
Pour calculer l’angle GEF
EF
EG

\ = 90
cos GEF
10

90
\
GEF = arccos
≈ 18
10
\ vaut environ 18°.
L’angle GEF
\=
cos GEF

Exercice 2
La tangente (BA) du cercle est perpendiculaire au rayon de ce cercle, (BA) ⊥ (OA). On a alors dans le triangle
OAB rectangle en A :
BA
OA
\ = BA
tan BOA
1
\
tan BOA = BA

\=
tan BOA

\ est égale à la distance du point de tangence A et du point B situé sur la tangente.
tan BOA

Exercice 3
1°)
En fonction de x, AF 2 et EF 2 sont égales à, d’après le théorème de pythagore :
AF 2 = AB 2 + BF 2
AF 2 = 100 + x2

EF 2 = EC 2 + F C 2
EF 2 = 1.62 + (BC − BF )2
EF 2 = 2.56 + (10 − x)2
EF 2 = 2.56 + 100 − 10x − 10x + x2
EF 2 = x2 − 20x + 102.56
2°)
D’après le théorème de Pythagore, on a :
AE 2 = AD2 + DE 2
AE 2 = 102 + (10 − 1.6)2
AE 2 = 170.56
Si le triangle AEF est rectangle en F, on a d’après le théorème de Pythagore, l’équation suivante :
AE 2 = AF 2 + EF 2
170.56 = 100 + x2 + x2 − 20x + 102.56
170.56 = 2x2 − 20x + 202.56

3°)
Pour vérifier l’égalité, on devellope et réduit l’expression (x − 5)2 − 9 :
(x − 5)2 − 9
= (x − 5)(x − 5) − 9
= x2 − 5x − 5x + 25 − 9
= x2 − 10x + 16
On peut alors affirmer que (x − 5)2 − 9 = x2 − 10x + 16 .
4°)
On sait désormer que (x − 5)2 − 9 = x2 − 10x + 16 donc :
x2 − 10x + 16 = 0
(x − 5)2 − 9 = 0
(x − 5 + 3)(x − 5 − 3) = 0
(x − 2)(x − 8) = 0
Si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
x − 2 = 0 ou x − 8 = 0
x = 2 ou x = 8
Les solutions de l’équation sont 2 et 8.
5°)
Pour déterminer x afin que le triangle AEF soit rectangle en F, il faut que d’après la réciproque du théorème
de Pythagore :
AE 2 = AF 2 + EF 2
Ce qui revient à faire le 3° de l’exercice 3, on arrive alors à l’équation suivante :
170.56 = 2x2 − 20x + 202.56
0 = 2x2 − 20x + 32
2x2 − 20x + 32
0
=
2
2
2x2
20x 32
0=

+
2
2
2
0 = x2 − 10x + 16
A cette étape, on peut dire que x = 8 ou x = 2 d’après l’exercice fait plus haut (4°). Pour que triangle AEF soit
rectangle en F, x doit être égale à 2 ou 8.

Exercice 4
1°)
On a :
30 = 1
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729

2°)

Lorsqu’on range les puissances de 3 et leurs résultats sous forme de tableau, on remarque sur les chiffres des unités,
une période qui se répète. Cette période est 1, 3, 9, 7. On distingue ainsi que pour tous les exposants pairs de la
puissance de 3, le chiffre des unités est 1 ou 9 (ici on exclus l’exposant 0, puisque c’est une convention). De plus,
si l’exposant est divisible par 2 et 4 alors le chiffre des unités vaut 1. Si l’exposant est divisible par 2 et n’est pas
divisible par 4 alors le chiffre des unité vaut 9.
Grâce à cette méthode, on peut calculer le chiffre des unités de 32010 : on peut déjà affirmer que le chiffre des
unités vaut 1, 3, 9 ou 7. 2010 est un nombre pair, donc on réduit le nombre de possibilités : soit 1 ou 9. 2010 est
divisible par 2 mais pas par 4 : donc d’après mes suppositions 32010 a pour chiffre des unités 9.
De même avec 310 , l’exposant est pair mais pas divisible par 4 donc le chiffre des unités est 9.


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