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balancoire .pdf



Nom original: balancoire.pdf
Auteur: Alain1

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On donne le triangle BAC isocèle en A pivot de la balançoire. D est un point de (BC) tel que

D   BC  . E est le centre du cercle inscrit et H le centre du cercle exinscrit. Soit A’ le

symétrique de A par rapport à (EH). K est le point d’intersection entre (EH) et (AA’). [JE]

est un rayon du cercle inscrit tel que  JE    BC  . [HL] est un rayon du cercle exinscrit tel
que  HL   BC  . J’ est le symétrique de J par rapport àK. On trace la droite parallèle à
(BC) et passant par A.

L’angle ADE mesure T, l’angle ABC mesure 2a. Le triangle AEA’ est isocèle en E car
E appartient àla médiatrice de [AA’] donc EA=EA’. Le triangle HAA’ est isocèle en H pour
la même raison.
Nous pouvons partir sur une chasse à l’angle qui se base sur les propriétés de :
-les angles alternes internes et correspondants formépar deux droites parallèles
-La somme des angles d’un triangle est égale à 180°
-Dans un triangle isocèle, hauteur, médiane, bissectrice et médiatrice issue du sommet
principal sont confondues.
-Le centre H du cercle exinscrit est l’intersection de la droite (DE) et de la bissectrice de

RAC

Les angles de même couleur sur la figure ci-dessous sont égaux

On arrive aux mesures suivantes : L’angle EAH mesure 180-2a, comme pour l’angle EAH.
L’angle AEA’ mesure 2a, comme pour l’angle AHA’. Nous pouvons en déduire que AEA’H
est un parallélogramme car ses deux angles opposés sont de même mesure. De plus, ses
diagonales sont perpendiculaires, nous pouvons en déduire que AEA’H est un losange.

Comme AEA’H est un losange, H est le symétrique de E par rapport àK.
J est le symétrique de J’ par rapport àK.
(EJ) est perpendiculaire (BC). Comme la symétrie conserve les angles il en va de même pour
(J’H). (HL) est également perpendiculaire à(BC).
D’oùL, H, J alignés dans le même ordre. HL est la longueur du rayon du cercle exinscrit, HJ’
la longueur du rayon du cercle inscrit.
Nous pouvons en déduire que la somme des deux rayons est égale àla hauteur du pilier
triangulaire.


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