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Dveloppements limits .pdf



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Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

1

Développements limités

Exercice 7 : [ 01453 ]
Exprimer le développement limité à l'ordre n en 0 de
factoriels.

Calcul de développements limités

Exercice 1 : [ 01447 ]
Déterminer les développements limités suivants :
c) DL5 (0) de shxch(2x) − chx.
a) DL3 (π/4) de sin x
b) DL4 (1) de lnx2x
Exercice 2 : [ 01448 ]
Déterminer les développements
limités suivants :
2

x +1
a) DL3 (0) de ln x+1
b) DL2 (0) de (1 + x)1/x
c) DL4 (0) de ln sinx x


d) DL3 (0) de e 1+x
e) DL3 (0) de ln(2 + sin x)
f) DL3 (0) de 3 + cos x
g) DL3 (0) de ln(1 + ex )
h) DL3 (0) de ln(1 + sin x)
i) DL3 (1) de
cos(ln(x))
j) DL4√
(0) de ln
ln(1 + 1 + x)

shx
x



k) DL3 (0) de ln(3ex + e−x )

l) DL3 (0) de

Exercice 3 : [ 01449 ]
Former le DL3 (1) de arctan x

√1
1−x

à l'aide de nombres

Exercice 8 : [ 01454 ]
Pour α = −1/2 et k ∈ N, exprimer α(α−1)...(α−k+1)
à l'aide de nombres factoriels.
k!
1
puis du DL2n+2 (0) de
En déduire une expression du DL2n+1 (0) de √1−x
2
arcsin(x).
Exercice 9 : [ 01455 ]
1+x
Pour n ∈ N, déterminer le développement limité à l'ordre 2n + 2 de x 7→ 21 ln 1−x
.
On pourra commencer par calculer la dérivée de cette fonction.
Exercice 10 : [ 01456 ]
2
Montrer que l'application f : R → R dé nie par f (x) = xex admet une application
réciproque dé nie sur R et former le DL5 (0) de f −1 .
Exercice 11 : [ 03025 ]
En calculant de deux façons le développement limité à l'ordre n de (ex − 1)n ,
établir que pour tout 0 6 ` 6 n

Exercice 4 : [ 01450 ]
Former le DL3 (0) de arctan ex .

n
X
k=0

Exercice 5 : [ 01451 ]
Déterminer les développements limités suivants :
x−sin x
a) DL3 (0) de ln(1+x)
b) DL3 (0) de 1−cos
ex −1
x
xch x−sh x
x−1
c) DL2 (1) de ln x
d) DL3 (0) de ch x−1
sin(x)
.
e) DL2 (0) de exp(x)−1

n
k

!

(−1)k−` k `
=
`!



0
1

si ` < n
si ` = n

Notion de développement asymptotiques

Exercice 12 : [ 01457 ]
Former le développement asymptotique en 0 de l'expression considérée à la
précision demandée :

à la précision x5/2
b) xx à la précision (x ln x)2 .
a) ln(1+x)
x

Exercice 6 : [ 01452 ]
Déterminer les développements limités suivants :
999
R x2 dt
P
a) DL10 (0) de x √1+t
b) DL1000 (0) de ln
4

k=0

xk
k!



.

Exercice 13 : [ 01458 ]
Former le développement asymptotique en +∞ de l'expression considérée à la
précision
demandée :

1
a) x + 1 à la précision x3/2
b) x ln(x + 1) − (x + 1) ln x à la précision x12

x+1 x
1
c) x
à la précision x2
d) arctan x à la précision x13 .

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2

Exercice 14 : [ 01459 ]
Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la précision
demandée :



a) un = ln(n + 1) à la précision 1 n2
b) un = n + 1 + n − 1 à la précision
1 n2
p


c) un = n + n − n à la précision 1/n
1 n2 .

d) un = 1 +


1 n
n

à la précision

Exercice 15 : [ 01460 ]
Soit f : [e, +∞[ → R la fonction dé nie par f (x) = lnxx .
a) Montrer que f réalise une bijection de [e, +∞[ vers un intervalle à préciser.
b) Réaliser un développement asymptotique à trois termes de f −1 en +∞.
Exercice 16 :

[ 02788 ]

Donner un développement asymptotique de



1
n!

n
P

x→0

c) lim

x→0

peut être prolongée en une fonction de classe C 1

à la précision o(n−3 ).

Exercice 17 : [ 01461 ]
Déterminer un équivalent simple des fonctions proposées au voisinage de 0 :
a) x(2 + cos x) − 3 sin x
b) xx − (sin x)x
c) arctan(2x) − 2 arctan(x).

x→0

x
ex −1

n∈N

Applications à l'étude de fonctions

Exercice 18 : [ 01462 ]
Déterminer les limites suivantes :
1
a) lim sin12 x − x12
b) lim x1 − ln(1+x)

Exercice 21 : [ 01465 ]
Soient a un réel non nul et f la fonction dé nie au voisinage de 0 par
f (x) = ln(1+ax)
1+x .
Déterminer les éventuelles valeurs de a pour lesquelles f présente un point
d'in exion en 0.
Exercice 22 : [ 01466 ]
Montrer que la fonction x 7→
sur R.


k!

k=0

Exercice 20 : [ 01464 ]
Soit f : ]−1, 0[ ∪ ]0, +∞[ → R dé nie par f (x) = ln(1+x)−x
.
x2
Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0 et que ce prolongement est
alors dérivable en 0.
Quelle est alors la position relative de la courbe de f par rapport à sa tangente en
ce point ?

(1+x)1/x −e
.
x

Exercice 19 : [ 01463 ]
Déterminer
suivantes :
xlesxlimites
1/(2−x)

x ln x
2 +3
a) lim 2x+1
b) lim ln(1+x)
x/2
ln
x
+5
x→+∞
x→2
(a > 0).

c) lim

xa −ax
x→a arctan x−arctan a

Exercice 23 : [ 01467 ]
Soit f : x 7→ (x + 1)e1/x dé nie sur R+? .
Former un développement asymptotique de f à la précision 1/x en +∞.
En déduire l'existence d'une droite asymptote en +∞ à la courbe représentative de
f.
Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote en +∞.
Exercice 24 : [ 01468 ]
Soit f : x 7→ x(ln(2x + 1) − ln(x)) dé nie sur R+? .
Former un développement asymptotique de f à la précision 1/x en +∞.
En déduire l'existence d'une droite asymptote en +∞ à la courbe représentative de
f.
Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote en +∞.
Exercice 25 : [ 01469 ]
p
Etudier les asymptotes de x 7→ 3 (x2 − 2)(x + 3).

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3

Exercice 26 : [ 01470 ]
2
Soit f : R → R dé nie par f (x) = e−1/x si x 6= 0 et f (0) = 0.
Montrer que f est C ∞ et que pour tout n ∈ N : f (n) (0) = 0.
C'est ici un exemple de fonction non nulle dont tous les DLn (0) sont nuls.

Exercice 32 : [ 01476 ]

Former le développement asymptotique, en +∞, à la précision 1 n2 de
un =

Exercice 27 : [ 01471 ]
R x2
Soit f : ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[ → R l'application dé nie par f (x) = x lndtt .
a) Montrer que f est convexe sur ]0, 1[ et ]1, +∞[.
R x2
R x2
R x2 2
b) Montrer que, pour tout x > 1 on a : x txlndtt 6 x lndtt 6 x xt lndtt .
En déduire que lim f (x) = ln 2.
x→1+
De même, établir : lim f (x) = ln 2.
x→1−
c) On prolonge f par continuité en 1, en posant f (1) = ln 2.
Montrer que f ainsi prolongée est de classe C 2 sur ]0, +∞[.
Etablir la convexité de f sur ]0, +∞[.

Exercice 35 : [ 01479 ]
Pour tout n ∈ N, l'équation x + ex = n possède une unique solution xn ∈ R.
Déterminer la limite de (xn ) puis un équivalent de xn .
2
Former un développement asymptotique à la précision (lnnn)
de xn quand
2
n → +∞.

c) lim n2 (n + 1)1/n − n1/n .


n→∞

n→∞

Exercice 30 : [ 01474 ]
Soient a et b deux réels strictement supérieurs à 1.
Déterminer
√ !n

n

lim

n→∞

Exercice 31 : [ 01475√]
√ n
Déterminer lim 3 n 2 − 2 n 3 .
n→+∞

a+
2

n

b

.

k!.

k=0

Exercice 34 : [ 01478 ]

Montrer que l'équation
tan x = x possède une unique solution xn dans chaque
π
intervalle In = − 2 + nπ, π2 + nπ (avec n ∈ N? ).
Réaliser un développement asymptotique à trois termes de xn .

Exercice 28 : [ 01472 ]
Déterminer
un équivalent
simple de la suite dont le terme √
général est :




ln(n+1)−ln n
n+1


b) n+1− n
n + 1 − n n.
c)
a) 2 n − n + 1 − n − 1

n→∞

n
P

Exercice 33 : [ 01477 ]
Soit f : ]0, +∞[ → R la fonction dé nie par f (x) = ln x + x.
a) Montrer que pour tout entier n ∈ N, il existe un unique xn tel que f (xn ) = n.
b) Former le développement asymptotique de la suite (xn ) à la précision lnnn .

Application à l'étude de suites

Exercice 29 : [ 01473 ]
Déterminer les limites suivantes : 2
n
a) lim n sin n1
b) lim n sin n1

1
n!

Application à l'étude de points singuliers

Exercice 36 : [ 01480 ]
Pour chacune des courbes qui suivent, déterminer les points singuliers et préciser
l'allure
de ceux-ci :
( de la courbe au voisinage
(
(
x(t) = 3t − t3
x(t) = t2 + t4
x(t) = t − tht
a)
b)
c)
.
y(t) = 1/cht
y(t) = 2t2 − t4
y(t) = t2 + t5

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4

Corrections

b) ln

Exercice 1 √:



a) sin(x) = 22 + 22 (x − π4 ) − 42 (x − π4 )2 − 122 (x − π4 )3 + o((x − π4 )3 )
77
3
4
4
b) lnx2x = (x − 1) − 52 (x − 1)2 + 13
3 (x − 1) − 12 (x − 1) + o((x − 1)) .
13 3
1 4
121 5
1 2
5
c) shxch(2x) − chx = −1 + x − 2 x + 6 x − 24 x + 120 x + o(x ).

x−

arctan x =

π
4

+

1
2 (x

− 1) −

1
1+x2

1
4 (x

:
2

− 1) +

1
12 (x

puis

x

√ dt
1+t4

=

0

√ dt
1+t4



0

√ dt
1+t4

x1000 e−x
1000!

+ o(x1000 )) = ln(ex ) + ln(1 −

+ o(x1000 )) =

+ o(x1000 ).
−1/2

Exercice 8 :

α(α−1)...(α−k+1)
k!

Donc

√ 1
1−x2

arcsin x =

=

n
P
k=0

Exercice

90 :
1
2

1+x
ln 1−x

Donc

− 1) + o((x − 1) ).
3

= −x + x2 +

x1000
1000!

!

k=0

3

1
2

=

=
n
P

k=0

(−1)k 21

2k−1
3
2 ···
2

k!
(2k)!
x2k
22k (k!)2

(−1)k (2k)!
.
22k (k!)2

+ o(x2n+1 ), puis

(2k)!
x2k+1
22k (2k+1)(k!)2

1
1−x2

=

+ o(x2n+2 ).

et

1+x
ln 1−x
=x+

1
2
4
2n
+ o(x2n+1 ).
1−x2 = 1 + x + x + · · · + x
1 3
1 5
1
2n+1
+ o(x2n+2 ).
3 x + 5 x + · · · + 2n+1 x

Exercice 10 :
2
f est C ∞ sur R et f 0 (x) = (1 + 2x2 )ex > 0, de plus lim f = +∞, lim f = −∞.
+∞
−∞
Donc f réalise une bijection de R vers R et f −1 est C ∞ sur R.
En particulier f −1 admet une DL5 (0), de plus comme f est impaire, f −1 l'est aussi
et le DL5 (0) de f −1 est de la forme : f −1 (x) = ax + bx3 + cx5 + o(x5 ).
En réalisant un DL5 (0) de f −1 (f (x)) on obtient :
f −1 (f (x)) = ax + (a + b)x3 + ( 12 a + 3b + c)x5 + o(x5 ).
Or f −1 (f (x)) = x, donc : a = 1, b = −1 et c = 25 .
Exercice 11 :
n
x
n
n
D'une part ex − 1 = x + o(x) donne
! (e − 1) = x + o(x ).
n
P

n

k=0

k

D'autre part (ex − 1)n =
réordonnant les sommes

Exercice 6 :
R x dt
1
1 5
1 9
a) √1+t
= 1 − 21 t4 + 38 t8 + o(t9 ) dont 0 √1+t
= t − 10
t + 24
t + o(t10 )
4
4
Rx

n
P

= ln(ex −

=
(−x)k + o(xn ) avec
k
k=0
!
−1/2
)
(− 21 )(− 32 )···(− 2k−1
2
= (−1)k 1.3...(2k−1)
= (−1)k (2(2k)!
=
k k!)2 .
k!
2k k!
k
n
P
(2k)!
1
=
xk + o(xn )
Au nal, √1−x
(2k k!)2

Exercice 5 :
2 2
11 3
3
a) ln(1+x)
ex −1 = 1 − x + 3 x − 24 x + o(x ).
x−sin x
1
1 3
3
b) 1−cos x = 3 x + 90 x + o(x ).
1
1
2
2
c) x−1
ln x = 1 + 2 (x − 1) − 12 (x − 1) + o((x − 1) )
2
1 3
xchx−shx
3
d) chx−1 = 3 x + 90 x + o(x )
sin x
1 2
e) exp(x)−1
= 1 − 21 x − 12
x + o(x2 )

R x2



k=0
1
1000
1000! x

√1
1−x

Exercice 4 : x
1+x+ 12 x2 +o(x2 )
1
1 2
2
2
(arctan ex )0 = 1+ee2x = 2+2x+2x
2 +o(x2 ) = 2 (1 + x + 2 x + o(x ))(1 − x + o(x ))
1 3
x + o(x3 ).
donc (arctan ex )0 = 21 (1 − 12 x2 + o(x2 )) puis arctan ex = π4 + 12 x − 12

R x2

xk
k!

Exercice 7 :

Exercice
2 2 :
+1
a) ln xx+1
= −x + 32 x2 − 13 x3 + o(x3 ).
e 2
2
b) (1 + x)1/x
= e − 2e x + 11
24 x + o(x ).

sin x
1 2
1
4
4
c) ln x = − 6 x − 180 x + o(x ).

e 3
d) e 1+x = e + 2e x + 48
x + o(x3 ).
1 3
e) ln(2 + sin x) = ln 2 + 12 x − 18 x2 − 24
x + o(x3 ).

1 2
3
f) 3 + cos x = 2 − 8 x + o(x ).
g) ln(1 + ex ) = ln 2 + 12 x + 18 x2 + o(x3 ).
h) ln(1 + sin x) = x − 12 x2 + 16 x3 + o(x3 ).
i) cos(ln x) = 1 − 12 (x − 1)2 + 12 (x − 1)3 + o((x − 1)3 ).

1
j) ln shxx = 61 x2 − 180
x4 + o(x4 ).
x
−x
k) ln(3e + e ) = 2 ln 2 + 12 x + 38 x2 − 18 x3 + o(x3 ).

3 2
5 3
l) ln 1 + 1 + x = ln 2 + 14 x − 32
x + 96
x + o(x3 ).
Exercice 3 :
On primitive de DL2 (1) de

999
P

1 5
10 x



1 9
24 x



1 10
10 x

x

n

(e − 1) =

(−1)n−k ekx or ekx =

`=0

n X
n
X
`=0 k=0

+ o(x10 )

n
P

n
k

!

k` `
`! x

+ o(xn ) donc, en

(−1)k−` k ` `
x
`!

L'unicité des développements limités entraîne la relation proposée.

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5

Exercice 18 :
a) lim sin12 x − x12 =

Exercice 12√:

= x − 21 x3/2 + 13 x5/2 + o(x5/2 )
a) ln(1+x)
x
b) xx = 1 + x ln x + 12 x2 ln2 x + o(x2 ln2 x).

x→0



f −1 (y) = y ln y + y ln(ln y) +

y)
y ln(ln
ln y

x→a

+o

y)
y ln(ln
ln y

1
n!

n
P

k! = 1 +

k=0
n−5
P

Or

k=0

k!
n!

1
n

+

1
n(n−1)

+

1
n(n−1)(n−2)

6 (n − 4) (n−5)!
=o
n!

1
n3



donc

Exercice 17 :
1 5
a) x(2 + cos x) − 3 sin x ∼ 60
x

sin x x
x
x
x
b) x − (sin x) = x (1 − x ) ∼ 61 x3
c) arctan(2x) − 2 arctan(x) ∼ −2x3

+o
1
n!

1
n3

n
P
k=0



+

n−5
P
k=0

k! = 1 +

k!
n! .
1
n

+

1
n2

= − 2e .

+

2
n3

+o

1
n3



xa −ax
x→a arctan x−arctan a

=2

Exercice 20 :
On a f (x) = − 12 + 13 x − 41 x2 + o(x2 ).
Par suite f peut être prolongée par continuité en 0 en posant f (0) = − 12 .
De plus ce prolongement est dérivable en 0 et f 0 (0) = 13 .
L'équation de la tangente en 0 est y = − 12 + 13 x et la courbe est localement en
dessous de celle-ci.
Exercice 21 :
On a f (x) = ax − a(1 + 12 a)x2 + a(1 + 12 a + 13 a2 )x3 + o(x3 ).
Pour que f présente un point d'in exion en 0, il faut que a(1 + 21 a) = 0 i.e. :
a = −2.
Inversement si a = −2, f (x) = −2x − 38 x3 + o(x3 ) et par suite f présente un point
d'in exion en 0.
Exercice 22 :
f : x 7→ exx−1 est dé nie sur R+? et se prolonge par continuité en 0 en posant
f (0) = 1.
x
− 1 x2 +o(x2 )
ex
= x22 +o(x2 ) −−−→ − 21 donc f est
f est de classe C 1 sur R+? et f 0 (x) = e (e−1−x
x −1)2
x→0
dérivable en 0 avec f 0 (0) = −1/2 et nalement f est de classe C 1 sur R.



Exercice 16 :

(1+x)1/x −e
x
x→0

= − 12 c) lim

x ln x

Si a = 1 alors lim

et donc



1
ln(1+x)

arctan(x) − arctan(a) ∼ (arctan(a))0 (x − a) = (x−a)
1+a2 .
xa −ax
a
2
Donc lim arctan x−arctan a = a (1 + a )(1 − ln a) si a 6= 1.

f −1 (y) = y ln(f −1 (y)) = y ln(y ln y + o(y ln y)) = y ln y + y ln(ln y + o(ln y)) =
y ln y + y ln(ln y) + o(y ln(ln y)).
f −1 (y) = y ln(f −1 (y)) = y ln(y ln y + y ln(ln
y) + o(y ln(ln y)) =
+o



=e
b) lim ln(1+x)
ln x
x→+∞
a
x
a
c) x − a ∼ a (1 − ln a)(x − a) si a 6= 1 et

Exercice 15 :
x−1
a) f est continue et f 0 (x) = ln
(ln x)2 > 0 sauf en e donc f est strictement croissante
et réalise donc une bijection de [e, +∞[ vers [e, +∞[.
b) Quand y → +∞, f −1 (y) → +∞.
f −1 (y)
−1
(y)) − ln(ln(f −1 (y))) = ln(f −1 (y)) + o(ln(f −1 (y))) = ln y
ln(f −1 (y)) = y donc ln(f
−1
d'où ln(f (y)) ∼ ln y .
Par suite f −1 (y) ∼ y ln y .

y ln(y ln y) + y ln 1 +

1
x→0 x

x→2

Exercice 14 :

a) ln(n
+ 1) = ln n + n1 − 2n1 2 + o n12 .



1
1
+ o n5/2
.
b) n + 1 + n − 1 = √1n + 18 n5/2
p



1
1
1
1
c) n + n − n = 2 − 8√n + 16n + o n .
n

e
11e
1
d) 1 + n1 = e − 2n
+ 24n
2 + o n2 .

ln(ln y)
ln y

b) lim

Exercice
:
19
1/(2−x)
2x +3x
a) lim 2x+1 +5x/2
= 31 64/13 55/26

Exercice
13√: p



1
1
+ o x3/2
.
a) x + 1 = x 1 + 1/x = x + 12 √1x − 18 x3/2

11
1 1
b) x ln(x + 1) − (x + 1) ln x = − ln x + 1 − 2 x + 3 x2 + o x12
x
e 1
1
= e − 2e x1 + 11
c) x+1
2
x
24 x2 + o x
π
1
1 1
1
d) arctan x = 2 − x + 3 x3 + o x3 à la précision x12 .

ln(ln y)
ln y

1
3

.

Exercice 23 :

On a f (x) = (x + 1)e1/x = x + 2 + 23 x1 + o x1
Par suite, la droite d'équation y = x + 2 est asymptote à la courbe et la courbe est
au dessus de celle-ci.
Exercice 24 :

On a f (x) = x(ln(2x + 1) − ln(x)) = ln 2.x + 12 − 18 x1 + o x1 .
La droite d'équation y = ln 2.x + 12 est asymptote à la courbe et la courbe est en
dessous de celle-ci.

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Exercice
25 :
p

6

5
(x2 − 2)(x + 3) = x + 1 − 3x
+o x .
La droite d'équation y = x + 1 est asymptote à la courbe en +∞ (resp. −∞).
Courbe en dessous (resp. au dessus) de l'asymptote en +∞ (resp. −∞).


1

3

Exercice 26 :
Montrons par récurrence que f est de classe C n et que f (n) est de la forme :
2
f (n) (x) = Pn (1/x)e−1/x pour x 6= 0 avec Pn ∈ R [X] et f (n) (0) = 0.
Pour n = 0 : ok.
Supposons la propriété établie au rang n > 0.
f (n) est continue, dérivable sur R? et pour x 6= 0,



2
2
2
f (n+1) (x) = − x12 Pn0 x1 e−1/x + x23 Pn x1 e−1/x = Pn+1 x1 e−1/x avec
Pn+1 ∈ R [X].

Quand x → 0+ , f (n+1) (x) = Pn+1 ( y)e−y → 0 et de même quand x → 0− .
y=1/x2

Par suite f

Exercice 27 :
x ln x−x+1
00
a) f 0 (x) = ln2xx2 − ln1x = x−1
ln x et f (x) = x(ln x)2 .
+?
Soit g(x) = x ln x − x + 1 sur R . g est C ∞ et g 0 (x) = ln(x). Comme
g(1) = 0, ∀x > 0, g(x) > 0.
Par suite f 00 > 0 sur ]0, 1[ ∪ ]1, +∞[.

x
R x2 x dt
R x2 dt
R x2 x2 dt
1
x2
b) Pour x > 1, ∀t ∈ x, x2 , t ln
t 6 ln t 6 t ln t . D'où x t. ln t 6 x ln t 6 x t. ln t .
R x2
Comme x t.dlnt t = ln 2, on obtient x ln 2 6 f (x) 6 x2 ln 2 puis lim f (x) = ln 2.
x→1+


x
R x2 x2 d t
R x2
1
x2
Pour x < 1, ∀t ∈ x2 , x , t ln
t 6 ln t 6 t ln t . D'où x t. ln t 6 x
On obtient x2 ln 2 6 f (x) 6 x ln 2 puis lim f (x) = ln 2.

x→1−
h
c) f (1 + h) = ln(1+h)
−−−→ 1, donc f est dérivable en
h→0
ln(1+h)−h
h2
f 00 (1 + h) = (1+h)
−−→ 1, donc f 0
(1+h)(ln(1+h))2 ∼ (1+h)h2 −
h→0
00
0

dt
ln t

6

R x2

c)
e



n+1

ln(n+1)
n+1

n+1−
=1+


n

n=e

ln(n+1)
n+1

ln(n+1)
n+1

+

1
2



−e

ln n
n

ln(n+1)
(n+1)

2

+

1
6



ln(n+1)
(n+1)

3

Exercice 29 :
a) n sin n1 ∼ nn = 1 donc lim n sin n1 = 1
b) n sin

2
1 n
n

x dt
t. ln t .

n→∞
1
n2 ln(n sin n
)

=e

lim n

n→∞

(n + 1)

1

n2

n→∞

c) n2 (n + 1)1/n − n
2

= e− 6 +o(1) donc lim n sin n1

1/n

= e n2 (e

−n
=1
ln n
n


1/n

ln(1+1/n)
n

− 1) ∼ e

=

1

6

e

.

donc

ln n
n

1/n

Exercice 30 :

n


n

a+
2

n

b

a+
2

Exercice

√31 :

=

a1/n + b1/n
e
=
2

!n

n
b

= en(ln(1+

ln a
n

+e
2

ln b
n

=1+

ln a+ln b
+o(1/n))
2n

=e

ln 3
3 n 2 − 2 n 3 = 3e n ln 2 − 2e n ln 3 = 1 + 3 ln 2−2
+o
n




n
n
n
n
n
3 2 − 2 3 = en ln(3 2+2 3) = eln(8/9)+o(1) → 98 .
1

1

Exercice 32 :
un =

1
n!

Or 0 6

n
P

k=0
n−4
P
k=0

k! = 1 +
k!
n!

6

n−4
P

1
n

+

1
n(n−1)

(n−4)!
n!

k=0
1
1
n + n2

+

1
n(n−1)(n−2)

+

n−3
P
k=0

ln a + ln b
+ o (1/n) ,
2n
ln a+ln b
+o(1)
2

1
n






ab.

.

k!
n! .


1
6 n n(n−1)(n−2)(n−3)
= o(1 n2 ).

1

.

1 et f (1) = 1.

Donc un = 1 +

est dérivable en 1 et

Exercice 33 :
a) La fonction f : x 7→ x + ln x réalise une bijection de ]0, +∞[ sur R d'où
l'existence de (xn ).
Comme n → +∞, xn = f −1 (n) → +∞. Par suite ln xn = o(xn ) et
n = xn + ln xn ∼ xn .
Donc xn = n + o(n).
Soit yn = xn − n. On a :
yn = − ln xn = − ln(n + o(n)) = − ln n + ln(1 + o(1)) = − ln n + o(1).
Donc xn = n − ln n + o(1)
Soit zn = yn + ln n. On a :



1

.
2 n

or

x

0

f (1) = 1.
De plus f 00 est continue en 1. Par suite f est de classe C 2 sur R+? .
Comme ∀x > 0, f 00 (x) > 0, on peut conclure que f est convexe sur R+? .

Exercice
28 :



a) 2 n − n + 1 − n − 1 ∼ 4n1√n .
n



=
b) ln(n+1)−ln
= √ ln(1+1/n)
∼ 1 1/n
n+1− n
/2n3/2
n( 1+1/n−1)

ln n
n

puis

est dérivable en 0 et f (n+1) (0) = 0.

(n)



2
3
3
= 1 + lnnn + 12 lnnn + 61 lnnn + o (lnnn)
donc
3



n+1
ln n
ln n
ln n
n
n + 1 − n = − n2 + o n2 ∼ − n2 .

et e

+o



(ln n)3
n3



+o

n2

zn = − ln(n − ln(n) + o(1)) + ln n = − ln 1 −

Donc xn = n − ln n + lnnn + o lnnn .

ln n
n

+ o( n1 ) =

ln n
n

+o

ln n
n

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7

Exercice 34 :

Sur In , la fonction f : x 7→ tan x − x est continue, croît strictement de −∞ vers
+∞.
Cela assure l'existence et l'unité de xn .
On a − π2 + nπ < xn < π2 + nπ donc x√n ∼ nπ .


Posons yn =√xn − nπ . On a tan yn = xn et yn ∈ − π2 , π2 donc
yn = arctan xn → π2 .

Posons zn = π2 − yn = π2 − arctan xn = arctan √1xn = arctan √nπ+1π +o(1) .
1
1
1
√1 q
+ o n3/2
= √1nπ − 14 √πn
3

1
1
1+ 2n
+o( n
)
arctan x = x − 13 x3 + o(x3 )

1
1
donc zn = √1nπ − 14 √πn
− 13 √π13 n3 + o n3/2
.
3

3+4π 1
π
1
1

Finalement xn = nπ + 2 − nπ + π3/2 n3/2 + o n3/2
.



1
nπ+ π
2 +o(1)

=



et

2

Exercice 35 :
Donc xn → +∞. Par suite xn = o(exn ) et donc exn ∼ n → +∞ puis xn ∼ ln n.
xn = ln n + yn avec yn = o(ln n).
xn + exn = n donne ln n + yn + n.eyn = n donc ynn + eyn → 1 or yn = o(ln n) donc
eyn → 1.
Par suite yn → 0 et donc eyn = 1 + yn + o(yn ). On a alors
ln n + yn + nyn + o(nyn ) = 0 d'où yn ∼ − lnnn .

2
1 ln n 2
+ o lnnn
yn = − lnnn + zn et eyn = 1 − lnnn + z
n + 2 n
2
2
2
donc − lnnn + zn + nzn + 12 (lnnn) + o (lnnn) = 0 puis zn ∼ − (ln2nn)2 .
Finalement xn = ln n −

ln n
n



(ln n)2
2n2

+o




ln n 2
n



.

Exercice 36 :
Notons
de l'arc considéré.
( 0 M (t) le2 point courant
(
x (t) = th t
x0 (t) = 0
⇔ t = 0. Le point M (0) est le seul point
a)
,

y 0 (t) = 0
y 0 (t) = −sht ch2 t
singulier.

1



 x(t) = t3 + o(t3 )
0
0
3
. M (0) , p = 2, q = 3 car
−1/2

1
 y(t) = 1 − 1 t2 + o(t2 )
2


1/3
6 0.
=
0

0
Point de rebroussement de première espèce, tangente dirigée par ~u .
−1
( 0
(
2
0
x (t) = 3(1 − t )
x (t) = 0
b)
,
⇔ t = ±1. Les points M (1) et M (−1) sont les
0
2
y 0 (t) = 0
y (t) = 4t(1 − t )

seuls points singuliers.

(

Puisque

x(−t) = −x(t)

, M (−t) est symétrie de M (t) par rapport à (Oy). Il su t

y(−t) = y(y)
d'étudier
M
(1).
(
x(1 + h) = 2 − 3h2 − h3




2
−3 −1


6= 0.
, M (1) , p = 2 et q = 3 car
−4 −4
1
y(1 + h) = 1 − 4h2 − 4h3 + o(h3 )

−3
Point de rebroussement de première espèce, tangente dirigée par ~u .
−4
( 0
(
3
0
x (t) = 2t + 4t
x (t) = 0
c)
,
⇔ t = 0. Le point M (0) est le seul point singulier.
0
4
y 0 (t) = 0
y (t) = 2t + 5t

(




0
1 1
1 0
x(t) = t2 + t4

6= 0.



= 0 et
, M (0) , p = 2 et q = 4 car
1 0
1 0
0
y(t) = t2 + o(t4 )

1
Point de rebroussement de seconde espèce, tangente dirigée par ~u .
1
5
4
4
y(t) − x(t) =(t − t = t (1 − t), M (t) est en dessous de sa tangente en M (0).
x(−t) = x(t)
Pour t > 0,
donc M (−t) est en dessous de M (t).
y(−t) 6 y(t)


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