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Concours communs polytechnique 1997
Fili`ere PC
MATHEMATIQUES 1
Dur`ee : 4 heures
Les calculatrices ne sont pas autoris`ees
Les deux probl`
emes sont ind`
ependants.

I. Probl`eme I
La partie B, except`
e la v`
erification demand`
ee au d`
ebut, peut ˆ
etre trait`
ee ind`
ependamment
de la partie A.
Dans ce probl`eme le corps de base est le corps des nombres complexes que l’on notera C et on
notera R le corps des r`eels. On d`esigne par E un espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1 sur C. On
se donne une base B = (e1 , . . . , en ) de E. On note L(E) l’ensemble des applications lin`eaires de E
dans E. Id d`esignera l’application identit`e de E dans E. Si u est un `el`ement de L(E) on note ui la
compos`ee de u, i fois par lui mˆeme avec la convention: u0 = Id.
A. Premi`
ere Partie
1. On prend n = 3 et on d`esigne par σ l’`el`ement de L(E) d`efini par:
σ(e1 ) = e2 , σ(e2 ) = e3 , σ(e3 ) = e1 .
a. Pour tout entier p ≥ 0 d`eterminer σ p .
b. D`eterminer les valeurs propres de σ. Pour chacune d’elles, indiquer un vecteur propre
associ`e.
2. On prend encore n = 3 et on consid`ere un `el`ement
est de la forme:

a1 a3

U =  a2 a1
a3 a2
o`
u a1 , a2 , a3 sont trois complexes.

u de L(E) dont la matrice U sur la base B


a2

a3 
a1

a. Montrer que u est une combinaison lin`eaire de Id, σ et σ 2 .
b. En d`eduire que l’ensemble C des matrices U quand (a1 , a2 , a3 ) d`ecrit C 3 est une C-alg`ebre
associative, commutative et unitaire pour les op`erations usuelles sur les matrices.
c. Montrer que si le d`eterminant de U est non nul alors U −1 est dans C.
d. D`eterminer les valeurs propres de u. Que remarquez-vous quant `a la forme des vecteurs
propres de u ?
3. Plus g`en`eralement, d`eterminer les valeurs propres de la matrice carr`ee d’ordre n quelconque sur
C suivante, dont chaque colonne se d`eduit de la pr`ec`edente par une permutation circulaire:





(1) M = 



a1
a2
a3

an
a1
a2

an an−1 an−2 . . . a1
1



an−1 . . . a2
an . . . a3 


a1 . . . a4 



Pour chaque valeur propre indiquer un vecteur propre associ`e.
4. D`eduire de la question 2) que si trois complexes (x, y, z) v`erifient: x + y + z = 0, alors ils
v`erifient `egalement la relation: x3 + y 3 + z 3 = 3xyz. Caract`eriser alors g`eom`etriquement les
triplets (x, y, z) de C 3 solutions de cette derni`ere `equation.
5. On se propose de montrer que le r`esultat de 2-a) `etait pr`evisible. On prend n quelconque et on
se donne deux `el`ements u et v de E qui commutent (i.e.: u ◦ v = v ◦ u). On suppose que toutes
les racines du polynˆome caract`eristique de v sont simples.
a. Montrer que tout vecteur propre de v est vecteur propre de u. Que dire de u ?
b. En d`eduire qu’il existe n complexes (α0 , α1 , . . . , αn−1 ) tels que: u =

n−1
X

αi vi .

i=0

c. Retrouver le r`esultat de 2-a).
B. Seconde Partie

On munit E d’un produit scalaire hermitien pour lequel B est une base orthonorm`ee. Ainsi, si
x = x1 e1 + x2e2 + . . . + xn en et y = y1 e1 + y2 e2 + . . . + yn en sont deux vecteurs de E, on notera (x|y)
leur produit scalaire qui est donc donn`e par: (x|y) =

n
X

x¯i yi .

i=1

V`erifiez que les espaces propres de l’application lin`eaire u introduite en A-2) sont orthogonaux
deux `a deux. Ce r`esultat `etait en fait pr`evisible (c.f. 2.d).
1. Soit u un `el`ement de L(E).
a. Soit x un `el`ement de E. Montrer que l’application: y ∈ E → (x|u(y)) ∈ C est une forme
lin`eaire sur E. En d`eduire qu’il existe un unique vecteur de E, que l’on notera u∗ (x) tel
que: ∀y ∈ E, (x|u(y)) = (u∗ (x)|y).

b. Prouver que l’application de E dans E qui `a x associe u∗ (x) est lin`eaire. On la notera u∗ .

c. Soient u et v deux `el`ements de E) et λ un complexe. Expliciter (u + v)∗ , (λu)∗ , (u ◦ v)∗
et montrer que (u∗ )∗ = u. Si U d`esigne la matrice de u sur B et U ∗ celle de u∗ , exprimer
U ∗ en fonction de U . L’application de L(E) dans L(E) qui `a u associe u∗ est elle injective
? surjective ?
2. Un endomorphisme u de L(E) est dit “normal” s’il v`erifie : u∗ ◦ u = u ◦ u∗. Soit u un
endomorphisme normal, λ1 une valeur propre de u et E1, le sous-espace propre associ`e. On note
E1⊥ son orthogonal.
a. Montrer que E1 est stable par u∗ .
b. En d`eduire que E1⊥ est stable par u.
c. Soit u1 la restriction de u `a E1⊥ consid`er`ee comme une application de E1⊥ dans E1⊥ . Montrer
que λ1 , n’est pas valeur propre de u1 . En d`eduire que u est diagonalisable. Que dire de ses
sous-espaces propres ?
d. En utilisant les r`esultats de la question A.5) montrer directement que les sous-espaces
propres de l’endomorphisme u de E dont la matrice sur B est la matrice M donn`ee par (1)
sont deux `a deux orthogonaux (on ne calculera pas u∗ ◦ u ni u ◦ u∗ ). On pourra d’abord
examiner le cas n = 3.
3. Soit u un `el`ement de L(E). On suppose qu’il existe un complexe k tel que : u ◦u = kId. Montrer
que k est n`ecessairement un r`eel positif ou nul et que u est diagonalisable.
2

4. Soit r une rotation d’angle θ d’un espace vectoriel Euclidien r`eel orient`e de dimension 2. Soit Q
sa matrice sur une base orthonorm`ee directe de cet espace : Est-elle diagonalisable sur R ? sur
C ? Indiquer ses valeurs propres.




1 −2 2


5. On consid`ere la matrice P suivante :  2
2 1 . Montrer que P est diagonalisable sur C
−2 1 2
et d`eterminer ses valeurs propres. On `evitera de calculer son polynˆome caract`eristique. Pr`eciser
la transformation de R3 dont la matrice sur la base canonique est P .

II. Probl`eme II
La partie B, est ind`
ependante de la partie A.
A. Premi`
ere Partie
Soit n ≥ 1 un entier. On consid`ere la matrice carr`ee d’ordre n `a coefficients r`eels A suivante.


2

−1

0

... 0

..
 −1 2 −1 . . .
.


..
..
A=
.
. 0
 0 −1
 .
 .
..
..
..
.
.
. −1
 .
0 . . . 0 −1 2












Plus pr`ecis`ement, si on d`esigne par Ai,j le coefficient de A situ`e sur la i-`eme ligne et la j-`eme
colonne, pour n ≥ 2, tous les Ai,j sont nuls sauf : Ai,i = 2 (i = 1, . . . , n) et Ai,i+1 = Ai+1,i = −1 (i =
1, . . . , n − 1), et pour n = 1, A est une matrice `a une ligne et une colonne dont le seul `el`ement est :
A1,1 = 2.
1. Pour chaque n ≥ 1, on d`esigne par Dn le d`eterminant de A.
a. D`eterminer une relation de r`ecurrence entre Dn , Dn+1 et Dn+2 .
b. D`eterminer Dn en fonction de n. En d`eduire que A est inversible.
³

³

´´


2. Pour chaque k de {1, . . . , n}, on pose λk = 2 1 − cos n+1
. En simplifiant l’expression sin((p+
1)θ)+sin((p−1)θ)−2 sin(pθ), en d`eduire que les (λk ) sont les valeurs propres de A. Montrer que A
est diagonalisable sur R et indiquer, par leurs composantes sur la base canonique (e1 , e2 , . . . , en )
de Rn , une base de vecteurs propres de A.

3. On se propose de d`eterminer autrement les valeurs propres de A. On d`esigne par I la matrice
identit`e d’ordre n et on pose B = A − 2I. Pour chaque n ≥ 1, on d`esigne par Pn le polynˆome
caract`eristique de B.
a. D`eterminer une relation de r`ecurrence entre Pn , Pn+1 et Pn+2 .

Ã

!

Pn+1 (x)
b. Pour chaque n ≥ 1 et chaque x appartenant `a R on d`esigne par Un (x) le vecteur
.
Pn (x)
D`eterminer une matrice carr`ee d’ordre 2, K, dont les coefficients d`ependent `eventuellement
Ã
!
1
n+1
de x, telle que pour tout x on ait : Un (x) = K
.U0 o`
u U0 d`esigne le vecteur
.
0
c. Pour x appartenant `a l’intervalle ] − 2, 2[, d`eterminer les valeurs propres λ1 (x) et λ2 (x) de
K et en d`eduire une expression simple de Pn (x) en fonction de λ1 (x) et λ2(x). D`eterminer
alors les valeurs propres de B puis celles de A.
3

4. On pose C = I − 2A. Montrer que C p → 0 quand p → +∞.
5. On identifie les vecteurs de Rn `a des matrices `a une colonne et n lignes. Soit u un vecteur de
Rn donn`e. On consid`ere la suite (x(k) ) de vecteurs de Rn d`efinie par :
x(0) = u
x(k+1) = C.x(k) + 12 g, k ≥ 0
o`
u g est un vecteur donn`e de Rn , connu par ses composantes sur la base de vecteurs propres de
A obtenue en 2). Montrer que la suite (x(k) ) converge et que sa limite est l’unique solution du
syst`eme : A.x = g.
Exprimer cette limite sur la base de vecteurs propres de A obtenue en 2).
B. Seconde Partie
On admettra le r`esultat suivant :
“ Si f est une application continue d’un intervalle ferm`e [a, b] de R `a valeurs dans R, alors elle est
uniform`
ement continue. C’est `a dire que pour tout r`eel ε > 0, il existe un r`eel η > 0 tel que pour
tout couple (x, y) dans [a, b] × [a, b] on a l’implication : {|x − y| < η} ⇒ {|f (x) − f (y)| < ε} ”.
Soit alors f une application continue de [0, π] dans R.
1. Montrer qu’il existe une et une seule application y deux fois d`erivable sur [0, π] `a valeurs dans
R telle que :
(
y 00 (x) = −f (x), ∀x ∈ [0, π]
(1)
y(0) = y(π) = 0
2. Soit y une application continue a` valeurs r`eelles, d`efinie sur [0, π] et y admettant des d`eriv`ees
premi`eres et secondes continues. Montrer
que pour tout nombre ε > 0 il existe
un nombre
¯
¯
η > 0 tel que pour tout x ∈]0, π[ on ait : ¯y(x + h) − 2y(x) + y(x − h) − h2 y 00 (x)¯ ≤ εh2 , d`es que
|h| < η et que (x − h) et (x + h) sont dans [0, π].
π
3. Soit n ≥ 1 un entier et y la solution de (1). On pose h = n+1
et pour tout i de {O, . . . , n + 1}
on pose : xi = ih, yi = y(xi ), fi = f (xi ). D`eduire que pour tout ε > 0 il existe N0 tel que :

¯
¯

¯
¯

n ≥ N0 ⇒ ¯−yi−1 + 2yi − yi+1 − h2 fi ¯ ≤ εh2 , ∀i ∈ {1, . . . , n}

C. Troisi`
eme Partie
L’entier n ≥ 1 `etant donn`e, on
consid`ere le syst`eme d’`equations lin`eaires:
(2)


2

 −zi−1 + 2zi − zi+1 = h fi , 1 ≤ i ≤ n

z =0

0

 z
n+1 = 0

portant sur les inconnues (z1 , z2 , . . . , zn ), le nombre h ainsi que les nombres (f1 , f2 , . . . , fn ) prenant
les valeurs indiqu`ees `a la question B-3). On se propose d’`etudier le lien entre les solutions de (1) et
de (2).
1. Justifier que (2) poss`ede une solution unique.
2. On consid`ere le vecteur Π de Rn de composantes : π1 , π2 , . . . , πn o`
u, pour chaque i, πi est donn`e
par : πi = y(xi ) − zi . Dans cette relation y est la solution de (1) et (z1 , z2 , . . . , zn ) celle de (2).
On suppose que f poss`ede une d`eriv`ee seconde continue sur [0, π] et on pose : m = sup |f 00 (x)|.
x∈[0,π]

Soit (v1 , v2 , . . . , vn ) les composantes du vecteur v = A.Π. Montrer que

sup
k∈{1,...,n}

4

|vk | ≤ 2

h4
m.
4!

3. D`eterminer pour chaque k le vecteur fk solution de ek = A.fk , o`
u (e1 , e2 , . . . , en ) est la base
canonique de Rn . V`erifier que les coefficients de A−1 sont positifs.
Donner une majoration des composantes du vecteur Π. Que peut-on conclure ?

5




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