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Formulaires : M´
ecanique des Mat´
eriaux
Radermecker Gautier

1


en´
eralit´
es

1.1

Loi de Hooke
Tridimensionnel

Bidimensionnel

εx = E1 [σx − ν(σy + σz )]
γxy = τGxy
E
Avec : G = 2(1+ν)
L’allongement est donn´e par : ∆ =

1.2

εx = E1 [σx − νσy ]
γxy = τGxy
RL
0

ε(x)dx

Moment d’inertie, Centre de gravit´
e
Centre de gravit´e

Moment d’inertie

x0 = RSAy
y0 = RSAx
Sx = A ydA
Sy = A xdA
Si on d´ecompose la poutre :
P
x0 Atot = Ai x0i
P
y0 Atot = Ai y0i

1.3

Iy = A x2 dA
Ix = RA y 2 dA
Ixy = A xydA
Th´eor`eme de transport 1 :
Ix0 = IxG + b2 A
Iy0 = IyG + a2 A
Ix0 y0 = IxyG + abA
R

Crit`
ere de Plasticit´
e
Von Misses

Tresca
σc =

R


σ 2 + 4τ 2 = Re

σ1 , σ2 , σ3qsont les contraintes principales.
σc = √12 (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2
En ´etat
√ plan de contrainte :
σc = σ 2 + 3τ 2 = Re

1. a, b sont les distances entre le centre de gravit´e de l’´el´ement ajout´e et le centre de gravit´e de la
section finale.

1

2

Traction-Compression
Mat´erieaux Simple

Mat´erieaux Composite

Contrainte : σ = N
A
Traction : σ > 0
Compression : σ < 0

Faire attention pour la compatibilit´e !
Pour deux poutre solidifier parfaitement
l’une avec l’autre :
tot
Contrainte : σ = N
Atot
O`
u : Ntot = Na + Nb

Pour une variation de temp´erature : ε = α∆T o`
u α est la constante de variation de
temp´erature (C˚−1 )

2.1

Formule des Chaudi`
eres (Anneaux et Tube mince)

p = Pressions uniforme sur les parois
e = Epaisseur de l’anneau
r = Rayon moyen

3

N = pr
Contrainte circulaire : σ = pre
Contrainte longitudinale : σ =

pr
2e

Flexion Plane
Contrainte

σ=

Contrainte maximum

My
I

σmax =

Mmax ymax
I

=

M
W

≤ σadm

3

Valeurs a retenir : pour une poutre rectangulaire, I = bh
.
12
Attention : Ne pas confondre le Ix de la flexion (transversale `a la poutre) et le Iz de la
torsion (dans l’axe de la poutre). Il en est de mˆeme pour le moment flexionnel et le moment
torsionnelle.
Pour le cas des poutre composites (“mat´eriau A”,“mat´eriau B”), il faut transformer le
mat´eriaux A par le B, ce qui se fait grˆace a` une diminution (ou une augmentation) de la
largeur 2 de la partie A. La modification de la largeur est donn´ee par la formule :
b1 = b

EB
EA

Ceci nous permet trouver les contrainte “fictive” de la partie A. Pour retrouver les contraintes
r´eels, on effectue le calcul suivant.
σreel =

EB
σf ictif
EA

2. et uniquement de la largeur, pas de la hauteur

2

4
4.1

Torsion

en´
eralit´
es
MT
θ = GI
= MCT
R LP
ψ = 0 θ(x)dx

θ : Angle de torsion par unit´e de longueur
ψ : Angle de rotation de la poutre
L : Longueur de la poutre

4.2

Section cylindrique pleine
4

C = Gπd
32
ρ est la distance du centre `a la fibre consid´er´ee.

4.3

τ=

MT ρ
Ip

Section rectangulaire

C = c1 hb3 G
τmax =
Les constante c1 , α, β sont donn´ees par le tableau suivant :
n = h/b
α = c1 /c2
c1
c2
β

1,00
0,208
0,141
0,675
0,208

1,50
0,231
0,196
0,852
0,270

2,00
0,246
0,229
0,928
0,309

3,00
0,267
0,263
0,977
0,354

1 MT
α hb2

4,00
0,282
0,281
0,990
0,379


0,333
0,333
1,000
0,448

0,65
Pour n > 4, on utilise la formule : c1 = 13 (1 − 0,630
)
c2 = 1 − 1+n
3
n
Notons que la contrainte τ au milieu des petits cˆot´es du rectangle est donn´ee par : τ =

4.4

1 MT
β hb2

Section ouverte `
a paroi mince

On d´ecompose la section en une somme de rectangle.
P
C = k G3 hb3
τmax = Gθb
O`
u k=1,0 pour les corni`eres - k=1,1 pour les fers U et T - k=1,25 pour les doubles T.

4.5

Section tubulaire `
a paroi mince

Grˆace aux deux formules de Bredt :
2
H e
C = 4GS
ds

τ=
H

MT
2Se

O`
u S est la surface de Bredt, e est l’´epaisseur et ds est la longueur du contour de la
surface de Bredt. Notons que pour une section tubulaire circulaire de grand diam`etre D
et de petit diam`etre d, on a C = Gπ
(D4 − d4 )
32

3


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