chap21 0910 .pdf



Nom original: chap21-0910.pdf

Ce document au format PDF 1.4 a été généré par LaTeX with hyperref package / dvipdfmx (20070518), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 20/04/2011 à 22:21, depuis l'adresse IP 41.104.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 2554 fois.
Taille du document: 202 Ko (21 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


Chapitre 21

Matrices
Objectifs
• Définir les matrices, le vocabulaire, les opérations sur les matrices, la structure d’espace vectoriel sur Mn,p (K)
et le lien avec les applications linéaires.
• Définir le produit matriciel en rapport avec la composition des applications, étudier les propriétés de ce produit
et les applications. Structure d’algèbre sur Mn (K).
• Étudier les matrices carrées inversibles : le groupe GLn (K).
• Étudier les formules du changement de bases pour les vecteurs et les applications linéaires.
• Définir le rang d’une matrice, les opérations élémentaires sur une matrice (interprétation en terme de produit
matriciel). Méthodes de Gauss et de Gauss-Jordan.

Sommaire
I)

II)

III)

IV)

V)

VI)

VII)

Matrices, liens avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Structure d’espace vectoriel sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Retour aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Retour aux applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Formules du changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Changement de bases et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . .
4)
Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Propriétés du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Opérations élémentaires sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1)
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2)
Calcul pratique du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3)
Calcul pratique de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2
2
4
5
7
7
8
9
10
10
10
12
12
13
14
15
15
15
16
16
16
17
18
20

K désigne un sous-corps de C.

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

1

Matrices, liens avec les applications linéaires

Chapitre 21 : Matrices

I) Matrices, liens avec les applications linéaires
1)

Définitions
DÉFINITION 21.1

.

Soient n, p ∈ N∗ , on appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K, toute application
M : [[1..n]] × [[1..p]] → K. Pour (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..p]] , on pose M (i, j) = Mi, j (ou mi, j ), c’est le
.
coefficient de la matrice M d’indices i et j , le premier
indice est appelé indice de ligne, et le second
indice de colonne.
L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté Mn,p (K), on a donc
Mn,p (K) = F ([[1..n]] × [[1..p]], K)


Notations : Si M ∈ Mn,p (K), on peut écrire : M = (mi, j ) 1¶i¶n
1¶ j¶p


m1,1 · · · m1,p
 .
.. 

..
ou bien M = 
. .

mn,1 · · · mn,p

L’égalité entre deux matrices est en fait l’égalité entre deux fonctions, par conséquent deux matrices sont
égales lorsqu’elles ont la même taille et les mêmes coefficients.
Cas particuliers :
• Lorsque n = p on dit que la matrice est carrée, l’ensemble des matrices carrées à n lignes est noté
Mn (K) au lieu de Mn,n (K).
€
Š
• Lorsque n = 1 on dit que M est une matrice ligne : 1 2 −3 ∈ M1,3 (K).
 
2
 
• Lorsque p = 1 on dit que M est une matrice colonne : 0 ∈ M3,1 (K).
5

DÉFINITION 21.2

.

Soit M ∈ Mn,p (K), pour k ∈ [[1..p]] , on appelle k-ième vecteur colonne de M le vecteur
ck (M ) = (m1,k , . . . , mn,k ), c’est un élément de Kn . On appelle k-ième matrice colonne de M la matrice


m1,k
 . 
.
. 
Ck (M ) = 
 .  ∈ Mn,1 (K).
mn,k
Pour k ∈ [[1..n]] , on appelle k-ième vecteur ligne de M le vecteur L k (M ) = (mk,1 , . . . , mk,p ), c’est
€
Š
un élément de K p . On appelle k-ième matrice ligne de M la matrice Lk (M ) = mk,1 · · · mk,p ∈
M1,p (K).

DÉFINITION 21.3 (transposition)
.

Soit M ∈ Mn,p (K), on appelle transposée de M la matrice de M p,n (K) notée tM et définie par :
.
t
M i, j = M j,i pour i ∈ [[1..p]] et j ∈ [[1..n]].
Autrement dit, la ligne i de tM est la colonne i de M .
‚

Exemple : soit M =

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

1 2 3
4 5 6

Œ




1 4


∈ M2,3 (K), on a tM = 2 5 ∈ M3,2 (K).
3 6

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

2

Matrices, liens avec les applications linéaires

THÉORÈME

Chapitre 21 : Matrices

21.1 (propriétés de la transposition)

Ð On a les propriétés suivantes :
Ð
Ð
.
. Ð • Mn (K) est stable pour la transposition.
Ð

Ð • t tM = M , on en déduit en particulier que la transposition est une involution dans M (K).
n
Ð
Ð
• L k (tM ) = Ck (M ) et Ck (tM ) = L k (M ).

DÉFINITION 21.4 (trace d’une matrice carrée)
.

n
P
.
Soit M ∈ Mn (K), on appelle trace de M le scalaire noté tr(M ) et défini par : tr(M ) =
Mi,i , c’est
i=1

donc la somme des coefficients diagonaux.
Matrices particulières :
• Matrice nulle : la matrice nulle à n lignes et p colonnes est la matrice de Mn,p (K) dont tous les
coefficients sont nuls, celle-ci est notée On,p . Lorsque p = n, la matrice On,n est notée simplement
On , c’est la matrice nulle de Mn (K).
• Matrice unité : la matrice unité de Mn (K) est la matrice carrée de taille n, notée I n et définie par
I n = (δi, j )1¶i, j¶n , c’est à dire, I n est la matrice dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1,
les autres (coefficients
extra-diagonaux)
sont tous nuls.


1 0 0


Exemple : I3 = 0 1 0 est la matrice unité de M3 (K).
0 0 1
• Matrice diagonale : une matrice diagonale est une matrice carréedont tous les coefficients
extra
a1 0
···
0


 0 a2 0 · · · 0 
diagonaux sont nuls. C’est donc une matrice de la forme M = 
.. 
..
, une telle
 ..
.
.
.
0 ···
0
an
matrice est notée parfois M = diag(a1 , . . . , an ).
• Matrice élémentaire : une matrice élémentaire de Mn,p (K) est une matrice dont tous les coefficients
sont nuls sauf un qui vaut 1. Il y a donc np matrices élémentaires dans Mn,p (K), pour (i, j) ∈
[[1..n]] × [[1..p]], on note E i, j la matrice élémentaire qui possède un 1 ligne i colonne j, et des 0
ailleurs, plus précisément : (E i, j )k,l = δi,k δ j,l .
‚
Œ
0
1
0
Exemple : dans M2,3 (K), on a E 1,2 =
.
0 0 0
• Matrice triangulaire supérieure : c’est une matrice carrée dont tous les éléments situés sous la
diagonale principale sont nuls. L’ensemble des matrices triangulaires supérieures de Mn (K) est noté
Tns (K), on a donc :
M ∈ Tns (K) ⇐⇒ ∀ i, j ∈ [[1..n]], i > j =⇒ Mi, j = 0.
• Matrice triangulaire inférieure : c’est une matrice carrée dont tous les éléments situés au-dessus
de la diagonale principale sont nuls. L’ensemble des matrices triangulaires inférieures de Mn (K) est
noté Tni (K), on a donc :
M ∈ Tni (K) ⇐⇒ ∀ i, j ∈ [[1..n]], i < j =⇒ Mi, j = 0.
• Matrice symétrique : c’est une matrice qui est égale à sa transposée (elle est donc nécessairement
carrée) : M = tM . L’ensemble des matrices symétriques de taille n est noté Sn (K), on a donc :
M ∈ Sn (K) ⇐⇒ ∀ i, j ∈ [[1..n]], Mi, j = M j,i .

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

3

Matrices, liens avec les applications linéaires

Chapitre 21 : Matrices

• Matrice antisymétrique : c’est une matrice qui est égale à l’opposé de sa transposée (elle est donc
nécessairement carrée) : M = −tM . L’ensemble des matrices antisymétriques de taille n est noté
An (K), on a donc :
M ∈ An (K) ⇐⇒ ∀ i, j ∈ [[1..n]], Mi, j = −M j,i ,
on en déduit en particulier que Mi,i = 0 (les coefficients diagonaux sont nuls).

2)

Structure d’espace vectoriel sur les matrices
DÉFINITION 21.5 (somme de deux matrices)

.

Soient A, B ∈ Mn,p (K), on appelle somme de A. et B la matrice de Mn,p (K) notée A + B et définie
par : ∀ (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..p]], (A + B)i, j = Ai, j + Bi, j . On additionne entre eux les éléments ayant
les mêmes indices.
‚

Exemple :

1 2 3
4 5 6

THÉORÈME

Œ

‚
+

−1 0 1
−2 3 4

Œ

‚
=

Œ
0 2 4
.
2 8 10

21.2

.
. ÐÐ (Mn,p (K), +) est un groupe abélien. L’élément neutre
est la matrice nulle : On,p , et si A ∈ Mn,p (K),
Ð
l’opposé de A est la matrice −A définie par ∀ (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..p]], (−A)i, j = −Ai, j .

DÉFINITION 21.6 (produit par un scalaire)
.

Soit M ∈ Mn,p (K) et soit λ ∈ K, on appelle produit
de la matrice M par le scalaire λ la matrice
.
de Mn,p (K) notée λ.M et définie par : ∀ (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..p]], (λ.M )i, j = λ × Mi, j . C’est à dire,
chaque coefficient de M est multiplié par λ.


 

1 2
2
4

 

8 .
Exemple : 2 · 3 4 =  6
5 6
10 12
Propriétés : On peut vérifier facilement : soient A, B ∈ Mn,p (K), soient λ, µ ∈ K :
• 1.A = A.
• λ.(A + B) = λ.A + λ.B.
• (λ + µ).A = λ.A + µ.A.
• (λµ).A = λ.(µ.A).
On peut donc énoncer le résultat suivant : (Mn,p (K), +, .) est un K-espace vectoriel.

THÉORÈME

21.3 (dimension de Mn,p (K))

Ð
Ð Mn,p (K) est un K-e.v de dimension np, et les matrices élémentaires (E i, j ) 1¶i¶n constituent une base
Ð
1¶ j¶p
Ð
Ð de Mn,p (K). Cette base est appelée base canonique de Mn,p (K), car les coordonnées d’une matrice
.
. ÐÐ M ∈ M (K) dans cette base sont les coefficients
de M , c’est à dire :
n,p
Ð
Ð
X
Ð
Ð
M=
Mi, j .E i, j .
Ð
1¶i¶n
Ð
1¶ j¶p

Exercice : montrer que Tns (K), Tni (K), Sn (K) et An (K) sont des s.e.v de Mn (K). Pour chacun d’eux donner
une base et la dimension.
MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

4

Matrices, liens avec les applications linéaires

THÉORÈME

Chapitre 21 : Matrices

21.4 (propriétés de la transposition et de la trace)

Ð
Ð On a les propriétés suivantes :
.

Ð • La transposition est linéaire, plus précisément, c’est un isomorphisme de Mn,p (K) sur M p,n (K).
Ð
Ð
• La trace est une forme linéaire non nulle sur Mn (K).
Exercice : montrer que la transposition dans Mn (K) est une symétrie, déterminer ses éléments caractéristiques.

3)

Matrice d’une application linéaire

Soit E un K-e.v de dimension p, soit B = (e1 , . . . , e p ) une base de E. Soit F un K-e.v de dimension n
et soit B0 = (u1 , . . . , un ) une base de F . Soit f ∈ L (E, F ), on sait que f est entièrement déterminée par
la donnée de f (e1 ), . . . , f (e p ), mais chacun de ces vecteurs est lui-même déterminé par ses coordonnées
dans la base B0 de F . Notons coord
( f (e j )) = (a1, j , . . . , an, j ) pour j ∈ [[1..p]], c’est à dire :
0
B

∀ j ∈ [[1..p]], f (e j ) =

n
X

ai, j ui .

i=1

On obtient ainsi une matrice A = (ai, j ) 1¶i¶n cette matrice est définie par : c j (A) = coord
( f (e j )).
0
B

1¶ j¶p

DÉFINITION 21.7
.

Soit f ∈ L (E, F ), soit B = (e1 , . . . , e p ) une base de E et soit B0 = (u1 , . . . , un ) une base de F , on
appelle matrice de f relative aux bases B et B
. 0 la matrice de Mn,p (K) notée mat0 ( f ) et définie
B,B

par : pour j ∈ [[1..p]] , le j -ième vecteur colonne de cette matrice est coord
( f (e j )), autrement dit, le
0
B

coefficient de la ligne i colonne j est la coordonnée sur ui du vecteur f (e j ).
Construction de cette matrice :



f (e1 ) . . .


a
 1,1
..
mat( f ) = 
 .
B,B0
an,1

···
..
.
···

f (e p )


a1,p → u1
.. 
..

. 
.
an,p → un

Exemples :
a) Soit B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de K3 et soit B0 = (u, v) la base canonique de K2 , soit
f ∈ L (K3 , K2 ) définie
par ∀ (x, y, z) ∈ K3 , f (x, y, z) = (2x − y + z, x + 2 y − 3z). Déterminons

 f (e1 ) = f (1, 0, 0) = (2, 1) = 2u + v
f (e2 ) = f (0, 1, 0) = (−1, 2) = −u + v , donc la matrice de f est :
A = mat0 ( f ), on a

B,B
f (e3 ) = f (0, 0, 1) = (1, −3) = u − 3v
‚
A=

Œ
2 −1 1
.
1 2 −3

b) Avec les notations précédentes, déterminons l’application linéaire g : K3 → K2 donnée par :
Œ
‚
6 −2 1
.
mat(g) =
4 5 −1
B,B0
On a g(x, y, z) = x g(e1 )+ y g(e2 )+z g(e3 ) = x(3, 4)+ y(−2, 5)+z(1, −1) = (3x −2 y +z, 4x +5 y −z).
MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

5

Matrices, liens avec les applications linéaires

Chapitre 21 : Matrices

Cas particuliers des endomorphismes : lorsque l’espace d’arrivée est le même que celui de départ ( F = E ),
on choisit en général la même base à l’arrivée qu’au départ (B0 = B), on note alors mat( f ) = mat( f ),
B,B

B

c’est une matrice carrée.
Exemples :
a) Soit E = K3 [X ] et soit B la base canonique de E :
– On note D la dérivation dans E, calculer mat(D).
B

– Soit ∆ définie par ∆(P) = P(X + 1) − P(X ), calculer mat(∆).
B

– Soit P0 = 1, P1 = X , P2 =

X (X − 1)

2
une base de E et calculer mat
(∆).
0

et P3 =

X (X − 1)(X − 2)
6

, montrer que B0 = (P0 , P1 , P2 , P3 ) est

B

b) Calculer la matrice de la transposition dans la base canonique de M2 (K).

THÉORÈME

21.5 (caractérisation de l’identité et de l’application nulle)

Ð
Ð Soit E un e.v de dimension n et soit B une base de E :
Ð
Ð • Soit f ∈ L (E), alors f = id E ⇐⇒ mat( f ) = I n .
.
B
. ÐÐ
0
Ð • Soit F un e.v de dimension p et soit B une base de F , soit f ∈ L (E, F ), alors :
Ð
Ð
Ð
f = 0 ⇐⇒ mat0 ( f ) = Op,n .
Ð
B,B

Ð
Ð
Ð
Ð
Ð

Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð

THÉORÈME

21.6

Soient E, F deux K-e.v, soit B une base de E et soit B0 une base de F , soient f , g ∈ L (E, F ) et soit
λ ∈ K. On a :
mat0 ( f + g) = mat0 ( f ) + mat.0 (g) et mat0 (λ. f ) = λ. mat0 ( f ).
B,B

B,B

B,B

B,B

B,B

Autrement dit, l’application : mat0 : L (E, F ) → Mn,p (K) (avec n = dim(F ) et p = dim(E)), est une
B,B

application linéaire. Plus précisément, cette application est un isomorphisme.

THÉORÈME

21.7

Ð Soit E un K-espace vectoriel de dimension p, soit F un K-espace vectoriel de dimension n, et soit
Ð
Ð u ∈ L (E, F ) une application linéaire de rang r , alors il existe une base B de E et une base B0 de F
Ð
Ð telles que mat(u) = J
n,p,r où Jn,p,r désigne la matrice de M n,p (K) définie par :
Ð
B,B0
Ð
Ð
Ð


Ð
1
0
·
·
·
0
Ð


. ÐÐ
... 
0 . . . .


Ð

 ..
Ð


1
.
Ð
J
=


n,p,r
Ð
0 · · ·
0 · · · 0
Ð


Ð
 ..

..
Ð
.

.
Ð
Ð
0
·
·
·
0
Ð
Ð
Ð
Il y a r fois le scalaire 1 sur la diagonale.

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

6

Produit matriciel

Chapitre 21 : Matrices

II) Produit matriciel
Matrice d’une composée : Soient B = (e1 , . . . , eq ) une base de E, B0 = (u1 , . . . , u p ) une base de F , et B00 =
(v1 , . . . , vn ) une base de G, soit f ∈ L (E, F ), g ∈ L (F, G), on pose B = mat0 ( f ) ∈ M p,q (K), A = mat
(g) ∈
0
00
B,B

B ,B

Mn,p (K) et C = mat00 (g ◦ f ) ∈ Mn,q (K). Il s’agit de calculer g ◦ f (e j ) dans la base B00 , on a : f (e j ) =
B,B
‚
Œ
p
p
p
p P
n
n
P
P
P
P
P
Bk, j Ai,k vi , c’est à dire : g ◦ f (e j ) =
Ai,k Bk, j vi .
Bk, j uk , donc : g ◦ f (e j ) =
Bk, j g(uk ) =
k=1

k=1

k=1 i=1

On doit donc avoir : C ∈ Mn,q (K) avec Ci, j =

p
P

i=1

k=1

Ai,k Bk, j . On voit que l’opération à effectuer sur les

k=1

matrices A et B pour obtenir C n’est pas aussi simple que pour la somme. Nous allons définir cette opération
comme étant le produit entre les deux matrices A et B.

1)

Définition
DÉFINITION 21.8
Soient A ∈ Mn,p (K), soit B ∈ M p,q (K), on appelle produit de A par B la matrice de Mn,q (K) notée
A × B et définie par :
p
.
X
∀ (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..q]], [A × B]i, j =
Ai,k Bk, j .

.

k=1

On retient ceci en disant que le coefficient [A × B]i, j est le résultat du « produit de la ligne i de A
avec la colonne j de B ».
Disposition des calculs :




a1,1
 .
 ..

A=
 ai,1
 ..
 .
an,1

b
· · · b1, j · · ·
 1,1
..
..

B = .
.
b p,1 · · · b p, j · · ·

· · · a1,p
···
···
.
.. 
.
..
.
. 
 .


· · · ai,p   · · · [AB]i, j · · ·
..  ..
..
.  .
.
· · · an,p
···
···


b1,q
.. 

. 
b p,q

..
.

 = A× B

..
.

Remarques :
• Le produit A × B n’est possible que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
Le résultat a alors autant de lignes que A et autant de colonnes que B.
• Dans Mn (K) le produit matriciel est interne.
• En général A × B 6= B × A, il se peut même que A × B soit défini, mais pas B × A.

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

7

Produit matriciel

Chapitre 21 : Matrices

Exemples :
€


0 1
Š

 €
1 −1 3 × −1 2 = 7 2
2 1

€

 
1
  € Š
1 −1 2 × 2 = 5
3

‚

2)



Š

 


1
1 −1 3
€
Š
 


2 × 1 −1 3 = 2 −2 6
3
3 −3 9
‚

Š

1 2
−2 1

Œ



1 2
−2 1

Œ

‚
×

0 1 1
−1 0 1

Œ

‚
=

Œ
−2 1
3
−1 −2 −1






‚
Œ
0 1
−2 1
1 2




= −5 4
−1 2 ×
−2 1
0 1
0 5


0 1


× −1 2 n’est pas défini
0 1

Retour aux applications linéaires

THÉORÈME

21.8

Ð
Ð Soit B une base de E , soit B0 une base de F et soit B00 une base de G , soit f ∈ L (E, F ) et soit
Ð
Ð g ∈ L (F, G) avec A = mat (g) et B = mat( f ), alors
. :

B0 ,B00
B,B0
Ð
Ð
Ð
Ð
mat (g ◦ f ) = A × B = mat
(g) × mat0 ( f ).
Ð
B,B00
B0 ,B00
B,B

Cas particulier des endomorphismes : Soit E un K-e.v, soit B une base de E et soient u, v ∈ L (E) avec
A = mat(u) et B = mat(v), on a alors mat(u ◦ v) = mat(u) × mat(v) = A × B , en particulier :
B

B

B

B

B

•
˜n
∀ n ∈ N, mat(un ) = mat(u) = An .
B

Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð

Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð

THÉORÈME

B

21.9 (relation fondamentale)

Soit B = (e1 , . . . , e p ) une base de E , soit B0 = (u1 , . . . , un ) une base de F et soit f ∈ L (E, F ). Pour
x ∈ E , on pose X la matrice colonne des coordonnées de x dans la base B, ce que l’on note :
0
X = Coord(x) ∈ M p,1 (K)) et Y la matrice colonne
. des coordonnées de y = f (x) dans la base B :
B

Y = Coord( f (x)) ∈ Mn,1 (K). En posant A = mat0 ( f ), on a alors la relation suivante :
B0

B,B

Y = A × X i.e. Coord( f (x)) = mat0 ( f ) × Coord(x).
B0

B,B

B

Exemples :
a) Soient B la base canonique de K3 et B0 la base‚canonique deŒK2 , soit f ∈ L (K3 , K2 ) définie par sa
1 −2 3
, calculer f (x, y, z).
matrice dans les bases B et B0 : mat0 ( f ) = A =
2 1 −5
B,B
 


x
x − 2 y + 3z
 
Réponse : On a Coord(x, y, z) = X =  y , d’où Coord
(
f
(x,
y,
z))
=
A×X
=
, donc f (x, y, z) =
2x + y − 5z
B
B0
z
(x − 2 y + 3z, 2x + y − 5z) car B0 est la base canonique de K2 .
MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

8

Produit matriciel

Chapitre 21 : Matrices

b) Soit B = (i, j, k) la base canonique de K3 , on pose B0
= (i, i + j, i +j + k), on vérifie que B0 est une
1 −1 0


0 2 −1, calculer f (x, y, z).
base de K3 . Soit f ∈ L (K3 ) défini par mat
(
f
)
=
A
=

B0
0 0
1
Réponse : On a (x, y, z) = x i + y j + zk = z(i + j + k) + ( y − z)(i + j) + (x − y)i, donc Coord
(x, y, z) = X =
B0




x−y
x − 2y + z




y

z
,
d’où
Coord
(
f
(x,
y,
z))
=
A
×
X
=


 2 y − 3z , c’est à dire f (x, y, z) = (x − 2 y + z)i + (2 y −
B0
z
z
3z)(i + j) + z(i + j + k), et donc f (x, y, z) = (x − z, 2 y − 2z, z).

c) Soient A, B ∈ Mn,p (K) telles que ∀ X ∈ M p,1 (K), AX = BX , montrer que A = B.
Réponse : Soit B la base canonique de K p et B0 la base canonique de Kn , soit f ∈ L (K p , Kn ) l’application
linéaire définie par mat0 ( f ) = A− B. Pour x ∈ K p , posons X = Coord(x), on a alors Coord
( f (x)) = (A− B)X =
0
B

B,B

B

On,1 , ce qui montre que f est l’application nulle, donc sa matrice est nulle, ce qui donne A = B.

DÉFINITION 21.9 (application linéaire canoniquement associée)
.

. canoniquement associée à A l’application linéaire
Soit A ∈ Mn,p (K), on appelle application linéaire
fA ∈ L (K p , Kn ) dont la matrice dans les bases canoniques de K p et Kn , est A.

3) Propriétés du produit matriciel
• « Associativité » : Si A ∈ Mn,p (K), B ∈ M p,q (K) et C ∈ Mq,r (K), alors :
A × (B × C) = (A × B) × C ∈ Mn,r (K).
• « Élément neutre » : Soit A ∈ Mn,p (K), on a : A × I p = A et I n × A = A.
• « Distributivité » : Soient A, B ∈ Mn,p (K), soit C ∈ M p,q (K) et D ∈ M r,n , on a :
(A + B) × C = A × C + B × C et D × (A + B) = D × A + D × B.
• Transposée d’un produit : Si A ∈ Mn,p (K) et B ∈ M p,q (K) alors : t(A × B) = tB × tA.
Exemple : Calculer le produit entre deux matrices carrées élémentaires de même taille.
Réponse : Soient E i, j , E k,l deux matrices élémentaires de Mn (K), soient (r, s) ∈ [[1..n]] 2 :
[E i, j × E k,l ] r,s =

n
X

[E i, j ] r,p [E k,l ] p,s =

p=1

n
X

δi,r δ p, j δ p,k δl,s = δ j,k δi,r δl,s = δ j,k [E i,l ] r,s ,

p=1

on a donc E i, j × E k,l = δ j,k E i,l .

THÉORÈME

21.10 (structure de M (K))

n
.

Ð On a le résultat suivant : (Mn (K), +, ×, .) est une K-algèbre (non commutative si n ¾ 2).

Remarques :

Œ
Œ ‚
0 0
0 0
= O2 . De ce fait,
×
• L’algèbre Mn (K) n’est pas intègre lorsque n ¾ 2. Par exemple :
1 1
1 0
Œ
‚
0 0
.
il y a dans Mn (K) des éléments nilpotents, par exemple : A =
1 0

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

‚

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

9

Matrices carrées inversibles

Chapitre 21 : Matrices

• On peut utiliser dans Mn (K) les règles du calcul algébrique, en prenant garde toutefois au fait que le
produit n’est pas commutatif. Par exemple, si A, B ∈ Mn (K) commutent (i.e. AB = BA), alors on peut
utiliser le binôme de Newton pour calculer (A+ B)n . Mais si AB 6= BA on peut néanmoins développer,
2
2
par exemple :
(A + B)2 =
A + AB + BA + B .
1 1 0


Exemple : soit A = 0 1 1. En écrivant A = I3 + J, calculer An pour n ∈ N.
0 0 1


0 1

Réponse : On a A = I3 + J avec J = 0 0
0 0
J × I3 , on peut utiliser le binôme de Newton :



0
0


1, de plus J 2 = K = 0
0
0


n
X

1
n(n − 1)
An =
K =
Ckn J k = I3 + nJ +
0
2
k=0
0

n


1

0, et J 3 = O3 . Comme I3 × J =
0

0
0
0

n(n − 1)
2
n
1

1
0



.


III) Matrices carrées inversibles
1)

Définition

L’ensemble (Mn (K), +, ×) a une structure d’anneau, on peut donc s’intéresser aux éléments inversibles
de cet anneau. C’est à dire aux matrices M ∈ Mn (K) pour lesquelles il existe une matrice N ∈ Mn (K) telle
que M × N = N × N = I n . Si M ∈ Mn (K) est inversible, son inverse sera noté M −1 .

.

DÉFINITION 21.10

.
Le groupe multiplicatif des inversibles de l’anneau (Mn (K), +, ×) est noté GLn (K).

Remarques : puisque (GLn (K), ×) est un groupe, on a :
• le produit de deux matrices inversibles est inversible.
• Si M , N ∈ GLn (K), alors (M × N )−1 = N −1 × M −1 .
Cas particuliers :
• Matrices diagonales inversibles : Soit D = diag(a1 , . . . , an ) ∈ Mn (K), alors D est inversible ssi les
1
1
coefficients diagonaux sont tous non nuls, auquel cas on a : D−1 = diag( , . . . , ).
a1
an
r
P
• Polynômes de matrices : Soit P ∈ K[X ] et A ∈ Mn (K), si P =
ak X k , alors la matrice P(A) est
P(A) =

r
P

k=1

ak Ak (la substitution de X par A est un morphisme d’algèbres), on a alors le résultat

k=1

suivant : Si P(A) = On et si P(0) 6= 0, alors A est inversible.

2)

Retour aux applications linéaires

THÉORÈME

21.11

Ð
Ð Soient E et F deux K-e.v de même dimension n, soit B une base de E et B0 une base de F , soit
Ð
.
F si et seulement si mat0 (u) ∈ GLn (K), si c’est le
. ÐÐ u ∈ L (E, F ), alors u est un isomorphisme de E vers
B,B
Ð

−1
Ð
Ð cas, alors : mat(u−1 ) = mat(u)
.
Ð
B0 ,B
B,B0

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

10

Matrices carrées inversibles

Chapitre 21 : Matrices

Cas des endomorphismes : Si E est un K-espace vectoriel de dimension n et B une base de E, alors on
sait déjà que l’application mat : L (E) → Mn (K) est un isomorphisme d’espaces vectoriels, mais comme
B

(L (E), +, ◦, .) et (Mn (K), +, ×; .) sont des K-algèbres et que mat(u◦v) = mat(u)×mat(v) et mat(id E ) = I n ,
B

B

B

B

on peut affirmer que l’application mat est un isomorphisme d’algèbres. En particulier celui-ci induit un
B

isomorphisme de groupes : mat : GL(E) → GLn (K).
B

THÉORÈME

21.12 (caractérisations des matrices carrées inversibles)

Ð
Ð Soit A ∈ Mn (K), alors les assertions suivantes sont équivalentes :
Ð
Ð
a) A est inversible.
Ð
Ð
Ð
b) Il existe une matrice B ∈ Mn (K) telle que .BA = I n .

Ð
Ð
c) L’équation AX = On,1 d’inconnue X ∈ Mn,1 (K) admet une unique solution X = On,1 .
Ð
Ð
Ð
d) ∀ Y ∈ Mn,1 (K), l’équation AX = Y d’inconnue X ∈ Mn,1 (K) admet une unique solution.
Ð
Ð
Ð
e) ∀ Y ∈ Mn,1 (K), l’équation AX = Y d’inconnue X ∈ Mn,1 (K) admet au moins une solution.

Il découle en particulier de ce théorème que si BA = I n alors AB = I n (car A ∈ GLn (K) et donc B = A−1 ),
ce qui est remarquable.
Exemples :
a) Si A ∈ GLn (K), montrer que tA est inversible et que (tA)
t

−1

t

= (A−1 ).

t

Réponse :Posons B = (A−1 ), alors B × tA = (A × A−1 ) = tI n = I n , donc tA est inversible et son inverse est B.




1 λ −1


b) Soit A = 0 2 1 , déterminer en fonction de λ si A est inversible ou non, si c’est le cas, calculer
1 0 1
−1
A .
 
 
a
x
 
 
Réponse Soit X =  y  et soit Y =  b, résolvons l’équation AX = Y :
c
z

 x + λy − z = a
2y + z = b
AX = Y ⇐⇒

x +
z = c

 x + λy − z = a
2y + z = b
⇐⇒

− λ y + 2z = c − a (L3 ← L3 − L1 )

λy
= a
 x − z +
z +
2y
= b
⇐⇒
.

− (4 + λ) y = c − a − 2b (L3 ← L3 − 2L2 )

D’où la discussion :
– Si λ = −4 : alors le système n’a pas de solution lorsque c − a − 2b 6= 0, la matrice A n’est donc pas inversible.
– Si λ 6= −4 : le système admet une unique solution qui est :

a + 2b − c
y =


4+λ





−2a + λb + 2c
.
z =

4+λ






2a − λb + (λ + 2)c
x =
4+λ
MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

11

Changement de bases

Chapitre 21 : Matrices

Or on sait que cette unique solution est X = A−1 Y , on en déduit alors que :


2
−λ
λ
+
2
1 

2
−1  .
A−1 =
1
4 + λ −2 λ
2

c) soit T ∈ Mn (K) une matrice triangulaire supérieure, montrer que T ∈ GLn (K) ssi ses éléments
diagonaux sont tous non nuls, si c’est le cas, montrer que T −1 est également triangulaire supérieure.

 
x1
y
 .1 
.



Réponse : Supposons les coefficients diagonaux tous non nuls, soit X =  ..  et Y =  .. 
, lorsqu’on résout
yn
xn
le système T X = Y (d’inconnue X ) par substitutions remontantes, on obtient une solution de la forme :

x n = bn,n yn

 x n−1 = bn−1,n−1 yn−1 + bn−1,n yn
.
X=
..


.
x 1 = b1,1 y1 + · · · + b1,n yn


Il y a une seule solution, donc T est inversible, on sait alors que X = T −1 Y , donc les coefficients de la matrice
T −1 sont les coefficients bi, j ci-dessus, ce qui prouve que T −1 est triangulaire supérieure.
Réciproquement, si T est inversible, alors T −1 T = I n , notons ai j les coefficients de T −1 , alors on doit avoir :
a11 a1 = 1, donc a1 6= 0. Puis a21 a1 = 0 donc a21 = 0, puis a22 a2 = 1 donc a2 6= 0. On montre ainsi de proche
en proche que T −1 est triangulaire supérieure et que les coefficients diagonaux de T sont tous non nuls.

IV) Changement de bases
1)

Matrice de passage
DÉFINITION 21.11
Soit E un K-espace vectoriel, soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E , soit S = (x 1 , . . . , x p ) une famille
de vecteurs de E , on appelle matrice du système S dans la base B, la matrice A ∈ Mn,p (K) définie
par : ∀ (i, j) ∈ [[1..n]] × [[1..p]], ai, j est la coordonnée sur ei de x j . Autrement dit, pour j ∈ [[1..p]] ,
le j -ième vecteur colonne de A est C j (A) = coord(x j ). Cette matrice est notée PB,S et appelée matrice
B

.

de passage de B à S , elle exprime les vecteurs de
. S dans la base B :



PB,S

x1 · · ·
↓ ···

xp


→ vecteurs de S


a1,1 · · · a1,p → coordonnée sur e1 premier vecteur de B
 .
.. 

..
...
=
. 

an,1 · · · an,p → coordonnée sur en dernier vecteur de B

Exemples :
a) Soit B la base canonique de K3 , soit x 1 = (1, −1,
0) et
1

de la base B au système S = (x 1 , x 2 ) est PB,S = −1
0

x2 =
 (2, −1, 3), alors la matrice de passage
2

−1.
3

b) Soit B = (i, j, k) la base canonique de K3 , soit B0 = (i, i + j, i + j + k), on vérifie que B0 est une base
0
de K3 . Déterminons la matrice du système S précédent dans la base B
x 1 = i − j = 2i − (i + j)
 : on a 
2 3


et x 2 = 2i − j + 3k = 3(i + j + k) − 4(i + j) + 3i, on a donc PB0 ,S = 1 −4.
0 3
MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

12

Changement de bases

Chapitre 21 : Matrices

Interprétations de la matrice de passage :
a) Dans le cas où p =
6 n : soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E et soit S = (x 1 , . . . , x p ) une famille de
p vecteurs de E. Soit B0 = (u1 , . . . , u p ) la base canonique de K p , on définit l’application linéaire
f : K p → E en posant pour i ∈ [[1..p]], f (ui ) = x i , alors : PB,S = mat
( f ).
0
B ,B

b) Dans le cas où p = n : on a S = (x 1 , . . . , x n ), soit u ∈ L (E) défini par ∀ i ∈ [[1..n]], u(ei ) = x i , on a
alors : PB,S = mat(u).
B

THÉORÈME

21.13 (caractérisation des bases)

.
. ÐÐ Soit B une base de E , et soit B0 = (x , . . . , x ) une
famille de n vecteurs de E , alors B0 est une base
1
n
Ð
0
de E ssi la matrice de passage de B à B est inversible ,i.e. PB,B0 ∈ GLn (K).
Interprétation de la matrice de passage entre deux bases : Soient B et B0 deux bases de E, en considérant l’application id E : (E, B0 ) → (E, B) avec B0 comme base au départ et B comme base à l’arrivée, on
a la relation : PB,B0 = mat
(id E ).
0
B ,B

THÉORÈME

21.14 (application)

. ”

—−1
Ð Soient B, B0 , B00 trois bases de E , on a : P 0 = P
et PB,B00 = PB,B0 × PB0 ,B00 .
B ,B
B,B0

2) Formules du changement de bases
Soient B et B0 deux bases de E, pour tout vecteur x ∈ E on peut calculer ses coordonnées dans la base
B : X = Coord(x), ou bien ses coordonnées dans la base B0 : X 0 = Coord(x), on cherche le lien entre X et
X 0.

B0

B

Considérons l’identité : id E : (E, B0 ) → (E, B), on sait que mat
(id E ) = PB,B0 , mais on a id E (x) = x,
0
B ,B

d’où Coord(id E (x)) = PB,B0 × Coord(x), ce qui donne la relation : X = PB,B0 × X 0 , et donc X 0 = PB0 ,B ×
B
B0
”
—−1
X = PB,B0
× X , on peut donc énoncer :
THÉORÈME

21.15 (formules du changement de bases)

Ð
0
(x), on a les
. pose X = Coord(x) et X 0 = Coord
. ÐÐ Soient B et B deux bases de E , soit x ∈ E , on
B
B0
Ð
Ð formules suivantes : X = PB,B0 × X 0 et X 0 = PB0 ,B × X .
Exercice : soit B la base canonique de K3 [X ], on pose B0 = (1, X , X (X − 1), X (X − 1)(X − 2)), montrer
que B0 est une base de K3 [X ] et pour P ∈ K3 [X ] calculer coord
(P).
0


B


1 0 0
0


0 1 −1 2 
Réponse : La matrice de passage de B à B0 est A = 
, cette matrice est triangulaire et ses
0 0 1 −3
0 0 0
1
éléments diagonaux sont tous non nuls, elle est donc inversible, ce qui prouve que B0 est une base
On a
deK3 [X
].
x
a
   
 y   b
−1
−1
la relation Coord
(P)
=
A
×
Coord
(P),
il
faut
donc
calculer
A
,
on
peut
résoudre
l’équation
A
×
  =  , ce
B
B0
z  c
t
d
MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

13

Changement de bases

Chapitre 21 : Matrices


a
1

b+c+d
0

, on en déduit que A−1 = 
c + 3d
0
d
0

a


b + c + d
alors Coord
(P)
=

.
B0
 c + 3d 
d


x
 y
qui donne
 z
t

3)

=
=
=
=


0
1
0
0

0
1
1
0


0

1
. Finalement, si P = a + bX + cX 2 + d X 3 ,
3
1

Changement de bases et applications linéaires

Soient E et F deux K-espaces vectoriels, soit B1 une base de E et soit B2 une base de F . Si u ∈ L (E, F )
on peut calculer A = mat (u). Si on prend une autre base dans E : B01 et une autre base dans F , B02 , alors
B1 ,B2

on peut calculer A0 = mat
(u), on cherche le lien entre ces deux matrices.
0
0
B1 ,B2

Soit x ∈ E et y = u(x), on pose X = Coord(x), Y = Coord(u(x)), X 0 = Coord(x) et Y 0 = Coord(u(x)).
B1

B2

0

0

B01

B02

On a la relation Y = A × X = A × PB1 ,B01 × X , d’autre part Y = PB02 ,B2 × Y , d’où finalement Y 0 =

PB02 ,B2 × A × PB1 ,B01 × X 0 , c’est à dire Y 0 = PB−1,B0 × A × PB1 ,B01 × X 0 , mais de plus Y 0 = A0 × X 0 , l’égalité
2

2

ayant lieu pour toute colonne X 0 , on a : A0 = PB−1,B0 × A × PB1 ,B01 , on peut donc énoncer :
2

THÉORÈME

2

21.16 (effet d’un changement de bases sur la matrice d’une application

Ð linéaire)

Ð Soient B1 , B01 deux bases de E et P = PB1 ,B0 la. matrice de passage, soient B2 , B02 deux bases de F
1

Ð et soit Q = PB ,B0 la matrice de passage, soit u ∈ L (E, F ), on pose A = mat (u), A0 = mat (u), on a
2
Ð
2
B1 ,B2
B01 ,B02
Ð
Ð
Ð alors la relation : A0 = Q−1 × A × P.

THÉORÈME

21.17 (cas des endomorphismes)

Ð
0
. ÐÐ Soient B, B deux bases de E et soit P = PB,B.0 la matrice de passage, soit u ∈ L (E), si on pose
Ð
(u), alors on a la relation : A0 = P −1 × A × P.
Ð A = mat(u) et A0 = mat
0
B

B

‚
Exercice : soit B = (i, j) la base canonique de K2 et soit u ∈ L (K2 ) défini par mat(u) =
B

0

Œ
2 −1
. On
−1 2

pose e1 = (1, 1) et e2 = (1, −1), montrer que B = (e1 , e2 ) est une base de K , et calculer la matrice de u
dans la base B0 . En déduire l’expression de un (x, y).
2




1 1 1
1
,
, cette matrice est inversible et P −1 =
−1
2 1 −1


1 0
on en déduit que B0 est bien une base de K2 et que mat
(u) = A0 = P −1 × A × A =
. On en déduit que
0 3
B0




1 1 + 3n 1 − 3n
1 0
0n
n
0
−1 n
0n
−1
n
A =
, or
, on a alors A = [P × A × P ] = P × A × P ce qui donne : A =
n
1 + 3n
0 3n
2 1−3
n
n
A = mat(u ), par conséquent :


Réponse : La matrice de passage de B à B0 est P =

1
1

B

∀ (x, y) ∈ K2 , un (x, y) =

1
2


(1 + 3n )x + (1 − 3n ) y; (1 − 3n )x + (1 + 3n ) y .

DÉFINITION 21.12

.

. B sont semblables ssi il existe une matrice carrée
Soient A, B ∈ Mn (K), on dit que les matrices A et
−1
inversible P ∈ GLn (K) telle que A = P × B × P .

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

14

Rang d’une matrice

Chapitre 21 : Matrices

Remarques :
• Les matrices d’un endomorphisme dans deux bases sont semblables.
• Deux matrices sont semblables lorsque ce sont deux matrices d’un même endomorphisme exprimées
dans deux bases (P étant la matrice de passage).
• La relation « ..est semblable à .. » est une relation d’équivalence dans Mn (K).

4)





Trace d’un endomorphisme

THÉORÈME

21.18

THÉORÈME

21.19 (conséquence)

.
Soient A, B ∈ Mn (K), on a la propriété : tr(A × B) = tr(B × A).

.
Si A ∈ Mn (K) et si P ∈ GLn (K), alors : tr(A) = tr(P −1 × A × P).

Soit E un espace vectoriel de dimension n, soient B et B0 deux bases de E, et soit u ∈ L (E), on note
(u), on sait alors que A0 = P −1 × A × P avec P = PB,B0 la matrice de passage,
A = mat(u) et A0 = mat
0
B

B

d’après le théorème précédent, on peut affirmer que tr(A) = tr(A0 ).

DÉFINITION 21.13
.

. trace de l’endomorphisme u le scalaire noté tr(u)
Soit u ∈ L (E) et soit B une base de E , on appelle
et défini par : tr(u) = tr(mat(u)), ce scalaire est indépendant de la base B choisie.
B

THÉORÈME

21.20

Ð
. ÐÐ L’application trace, tr : L (E) → K, est une forme. linéaire non nulle sur L (E), qui vérifie :
Ð
Ð
∀ u, v ∈ L (E), tr(u ◦ v) = tr(v ◦ u).
Exercice : soit E un espace vectoriel de dimension n, et soit p ∈ L (E) un projecteur, montrer que tr(p) =
rg(p).
Réponse : Soit r = rg(p), on a E = Im(p) ⊕ ker(p), soit (e1 , . . . , e r ) une base de Im(p) et soit (e r+1 , . . . , en ) une
base de ker(p), alors B = (e1 , . . . , en ) est une base de E et il est clair que mat(p) = Jn,n,r (car Im(p) = ker(p − id E )),
d’où tr(p) = tr(Jn,n,r ) = r = rg(p).

V)
1)

B

Rang d’une matrice
Définition
DÉFINITION 21.14

.

. la matrice A, le rang dans Kn du système constitué
Soit A ∈ Mn,p (K) une matrice, on appelle rang de
par ses p vecteurs colonnes, notation : rg(A) = rg(C1 (A), . . . , C p (A)).

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

15

Opérations élémentaires sur les matrices

THÉORÈME

Chapitre 21 : Matrices

21.21

.

Ð Soit u ∈ L (E, F ), soit B une base de E , soit B0 une base de F , et soit A = mat0 (u), alors rg(u) = rg(A).
B,B

THÉORÈME

21.22 (conséquence)

Ð
. ÐÐ Soit E un espace vectoriel de dimension n, soit. S = (x 1 , . . . , x p ) une famille de p vecteurs de E et
Ð soit B une base de E , alors le rang de la famille S est égal au rang de la matrice de ce système
Ð
dans la base B.

Calculer le rang d’une application linéaire, ou d’une famille de vecteurs,
revient à calculer le rang d’une matrice.

2)

Propriétés du rang d’une matrice
Les propriétés suivantes découlent de celles du rang des applications linéaires.
a) Soit f ∈ L (E, F ), soit B une base de E avec dim(E) = p, soit B0 une base de F avec dim(F ) = n, et
soit A = mat0 ( f ) ∈ Mn,p (K), on a :
B,B

i) rg(A) ¶ min(n, p).
ii) rg(A) = n ⇐⇒ f est surjective.
iii) rg(A) = p ⇐⇒ f est injective.
b) Si A ∈ Mn (K), alors A ∈ GLn (K) ⇐⇒ rg(A) = n.
c) Si A ∈ Mn,p (K), B ∈ M p,q (K), alors rg(A × B) ¶ min(rg(A), rg(B)).
d) Si A ∈ GLn (K), B ∈ Mn,p (K), alors rg(A × B) = rg(B).
e) Si A ∈ Mn,p (K), B ∈ GL p (K), alors rg(A × B) = rg(A).



THÉORÈME

21.23

.
Soit A ∈ Mn,p (K), alors : rg(A) = r ⇐⇒ ∃ U ∈ GLn (K), ∃ V ∈ GL p (K), UAV = Jn,p,r .

Exercice : montrer qu’une matrice A ∈ Mn,p (K) et sa transposée ont le même rang.
Réponse : Il existe U ∈ GLn (K), V ∈ GL p (K) telles que UAV = Jn,p,r avec r = rg(A). On a alors tV tAtU = tJn,p,r =
J p,n,r , ce qui donne le résultat.

VI) Opérations élémentaires sur les matrices
1)

Définition
DÉFINITION 21.15
Soit A ∈ Mn,p (K), on appelle opérations élémentaires sur A les opérations suivantes :

.

• Permuter deux lignes de A (ou deux colonnes), notation : L i ↔ L j (respectivement Ci ↔ C j ).
.
• Multiplier une ligne (ou une colonne) par un scalaire non nul, notation : L i ← αL i (respectivement Ci ← αCi ).
• Ajouter à une ligne (ou une colonne) un multiple d’une autre ligne (respectivement une autre
colonne), notation : L i ← L i + αL j , avec i 6= j (respectivement Ci ← Ci + αC j )).

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

16

Opérations élémentaires sur les matrices

THÉORÈME

21.24

THÉORÈME

21.25

Chapitre 21 : Matrices

Ð
.
A ∈ Mn,p (K) revient à multiplier A à gauche
. ÐÐ Effectuer une opération élémentaire sur une matrice
Ð par une matrice inversible pour les opérations sur les lignes (à droite pour une opération sur les
Ð
colonnes).



.
Les opérations élémentaires conservent le rang de la matrice.

2) Calcul pratique du rang d’une matrice
La méthode découle du résultat qui dit que si U × A × V = Jn,p,r avec U, V inversibles, alors rg(A) = r.
La méthode consiste à transformer la matrice A en la matrice Jn,p,r à l’aide des opérations élémentaires
sur les lignes ou les colonnes (méthode de Gauss), à chaque étape, la matrice obtenue a le même rang
que A, plus précisément, à chaque étape la nouvelle matrice s’écrit sous la forme Uk × A × Vk avec Uk , Vk
inversibles.
À l’étape n˚k, le principe est le suivant :
a) On choisit un pivot (i.e. un coefficient non nul) dans les lignes L k à L n et dans les colonnes Ck à C p .
b) On amène le pivot à sa place, c’est à dire sur la ligne L k dans la colonne Ck en échangeant éventuellement deux lignes et/ou deux colonnes.
c) On fait des éliminations en dessous du pivot et au-dessus du pivot pour faire apparaître des 0, avec
les opérations du type : L i ← L i + αL k .
Le processus s’arrête lorsqu’il n’y a plus de pivot, il reste alors à diviser
correspondant (s’il yen a un) pour
faire apparaître un 1 à la place.
3 1
1


2 
Exemple : soit A =  1 0
−1 2 −12
Étape 1 : premier pivot : 1 (ligne L1 colonne C2 )



1 3
1
1



0
1
2
C1 ↔ C2 donne 
 , L3 ← L3 − 2L1 donne 0
2 −1 −12
0

chaque ligne par le pivot


3
1

1
2 .
−7 −14

Étape 2 : deuxième pivot : 1 (ligne L2 colonne C2 )




1 0 −5
1 0
−5




2  , L3 ← L3 + 7L2 donne 0 1 2  .
L1 ← L1 − 3L2 donne 0 1
0 0 0
0 −7 −14
Étape 3 : pas de troisième pivot.



1 0 0
1 0 0




donne 0 1 2 , C3 ← C3 − 2C2 donne 0 1 0 .
0 0 0
0 0 0


C3 ← C3 + 5C1

Donc rg(A) = 2, on remarquera que les deux dernières opérations ne sont pas indispensables pour
conclure.
Exercice : avec la matrice A précédente, déduire de la méthode deux matrices inversibles U et V telles que
UAV = J3,3,2 .

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

17

Opérations élémentaires sur les matrices

Chapitre 21 : Matrices

Réponse : On a effectué les opérations suivantes :

 
 


1 0 0
1 −3 0
1 0 0
0

 
 


0
1
0
0
1
0
0
1
0
×
×
×
A
×

 
 

1
0 7 1
0 0 1
−2 0 1
0
Ce qui donne :



1

U = 0
−2

−3
1
7

1
0
0



0
0


0 et V = 1
1
0

 
0
1
 
0 ×  0
1
0

0
1
0

 
5
1
 
0 ×  0
1
0

0
1
0


0

−2 .
1


−2

5 .
1

1
0
0

Remarque : Pour inverser les matrices U et V , il suffit de reprendre les opérations à l’envers.

Exemple : variante. Il peut être parfois avantageux de n’effectuer que des transformations sur les colonnes,
les éliminations se font alors à gauche et à droite du pivot avec les opérations du type Ci ← Ci + αCk (à
l’étape k). Voici quel peut être l’intérêt :
Soit B = (i, j, k) une base de E et soit u ∈ L (E) défini par mat(u) = A (la matrice précédente), calculons
B

le rang de A (donc le rang de u) en utilisant la variante :
Étape 1 : premier pivot 1 (ligne L1 colonne C2 )


1 3
1


2 
C1 ↔ C2 donne 0 1
2 −1 −12




1 0
1
1 0
0




2  , C3 ← C3 − C1 donne 0 1
2 .
C2 ← C2 − 3C1 donne 0 1
2 −7 −12
2 −7 −14
Étape 2 : deuxième pivot 1 (ligne L2 colonne C2 )


1 0 0


C3 ← C3 − 2C2 donne 0 1 0 , (on termine avec L3 ← L3 − 2L1 puis L3 ← L3 + 7L2 ).
2 −7 0
À l’étape 1, la première matrice obtenue est celle du système (u( j), u(i), u(k)), la deuxième est la matrice
du système (u( j), u(i − 3 j), u(k)) et la troisième est celle du système (u( j), u(i − 3 j), u(k − j)). À la fin de
l’étape 2 on a la matrice du système (u( j), u(i − 3 j), u(−2i + 5 j + k)), on en déduit que non seulement




le rang de u est égal à 2, mais en plus ker(u) = Vect −2i + 5 j + k et Im(u) = Vect u( j), u(i − 3 j) =


Vect u( j), u(i) .

3)

Calcul pratique de l’inverse d’une matrice

Soit A ∈ Mn (K), supposons qu’en r opérations sur les lignes de A on obtienne la matrice I n , on a alors
une relation du type G r × · · · × G1 × A = I n , où Gi est la matrice correspondant à l’opération numéro i.
On peut alors en déduire que la matrice A est inversible et que son inverse est A−1 = G r × · · · × G1 , pour
obtenir cette matrice, il suffit d’effectuer les mêmes opérations (dans le même ordre) sur la matrice I n en
même temps que sur A. La méthode consiste donc à écrire la matrice A suivie de la matrice I n :
a1,1
..
.
an,1

A
···
···

In
a1,n
..
.

1

an,n

O

O
..

.
1

Les opérations sont effectuées sur toute la longueur de chaque ligne. L’objectif est d’obtenir la matrice
I n à la place de A, alors on pourra conclure que A est inversible, et là où il y avait I n on aura A−1 , on utilise
la méthode de Gauss-Jordan1 :
À l’étape k :
1

JORDAN Camille (1838 – 1922) : mathématicien français dont l’œuvre considérable touche tous les domaines des mathématiques.
MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

18

Opérations élémentaires sur les matrices

Chapitre 21 : Matrices

• On choisit un pivot (i.e. un coefficient non nul) dans les lignes L k . . . L n et dans la colonne Ck .
• On amène le pivot à sa place : ligne L k (en échangeant éventuellement deux lignes).
• On fait les éliminations (pour faire apparaître des zéros) en dessous et au-dessus du pivot avec les
opérations : L i ← L i + αL k .
Il y a donc au plus n étapes.
Il y a deux cas possibles au cours du processus :
• Si à chaque étape on peut trouver un pivot, alors après l’étape n, il ne reste plus qu’à diviser chaque
ligne par le pivot correspondant pour obtenir la matrice I n : c’est le cas où la matrice A est inversible.
• Si au cours de l’étape k on ne peut pas trouver de pivot dans la colonne Ck et dans les lignes L k . . . L n ,
alors on est dans la situation suivante, à l’issue de l’étape k − 1 :
∗ ··· ··· ∗
..
..
0
0
.
.
..
..
..
.
pk−1 ∗ ∗ ∗ .
.
..
..
..
.
0
0 ∗ ∗ .
.
..
..
.. .. .. ..
..
.
.
. . . .
.
0 ···
0
0 ∗ ∗ ∗ ··· ··· ∗
p1 , . . . , pk−1 désignent les pivots des k − 1 étapes précédentes, ces pivots étant non nuls, il est facile
de voir qu’avec des opérations sur les colonnes, on peut faire apparaître des zéros dans la colonne
k sur les lignes L1 . . . L k−1 , sans changer les coefficients des lignes L k . . . L n de cette même colonne.
La matrice ainsi obtenue possède une colonne nulle, donc son rang est inférieur ou égal à n − 1, or
cette matrice 
a le même rang
 que A, donc nous sommes dans le cas où A est non inversible.
2 4 2
2 4 2 1 0 0


Exemple : soit A = 0 1 1 , appliquons la méthode de Gauss-Jordan : 0 1 1 0 1 0 .
2 2 -1 0 0 1
2 2 −1
Étape 1 : pivot p1 = 1, ligne L1 colonne C1 , éliminations : L3 ← L3 − L1 , ce qui donne :
p1

0
..
.

0


..
.


..
.

2 4
2
0 1
1
0 −2 −3


..
.

1 0 0
0 1 0
−1 0 1

Étape 2 : pivot p2 = 1, ligne L2 , colonne C2 , éliminations : L1 ← L1 − 4L2 et L3 ← L3 + 2L2 , ce qui donne :
2 0 −2
0 1 1
0 0 −1

1 −4 0
0
1 0
−1 2 1

Étape 3 : pivot p3 = −1, ligne L3 , colonne C3 , éliminations : L1 ← L1 − 2L3 et L2 ← L2 + L3 , ce qui donne :
2 0 0
0 1 0
0 0 −1

3 −8 −2
−1 3
1
−1 2
1


3/2 −4 −1


1 .
En conclusion, la matrice A est inversible et son inverse est : A−1 =  −1 3
1 −2 −1


MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

19

Exercices

Chapitre 21 : Matrices

VII) Exercices
ÆExercice 21.1
Soit E = R4 [X ], soit f : E → E définie par f (P) = (X − 1)P 0 − P.
a) Vérifier que f est linéaire et calculer sa matrice dans la base canonique de E.
b) Calculer, le rang de f , une base de ker( f ), une base de Im( f ).
c) Déterminer f 2 , une base de ker( f 2 ), une base de Im( f 2 ).
ÆExercice 21.2



Soient E = R3 , F = Vect [[] −
e→
1 ] où e1 = (1, 1, 1), et G le plan d’équation 2x − y + z = 0. Montrer
que F et G sont supplémentaires et déterminer la matrice dans la base canonique de la projection
sur G parallèlement à F , puis la matrice de la symétrie par rapport à G et parallèlement à F .

ÆExercice 21.3
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3, soit
 f
0

qu’il existe une base B de E telle que mat( f ) = 1
B
0


0
0
0

2
L (E)
 telle que f 6= 0 et f = 0. Montrer
0

0 .
0

ÆExercice 21.4
a) Soit E = { f : x 7→ P(x)e x / P ∈ Kn [X ]}, on note B la base naturelle de E. Calculer la matrice
de la dérivation dans la base B, étudier son inversibilité.
2

b) Étudier les polynômes P de degré inférieur ou égal à 3 tels que la fonction x 7→ P(x)e x ,
2
admette une primitive de la forme x 7→ Q(x)e x où Q désigne un polynôme.
ÆExercice 21.5


a − b b − c 2c


a + b −b / a, b, c ∈ K}, montrer que E est un K-espace vectoriel, calculer
Soit E = { 2a
b
c
a
sa dimension. Est-ce une algèbre ?
ÆExercice 21.6



a b c


Soit E = {0 a b / a, b, c ∈ K}, montrer que E est une K-algèbre, calculer sa dimension.
0 0 a
Déterminer U(E) le groupe des inversibles de E. Pour M ∈ E, calculer M n (n ∈ N).

ÆExercice 21.7


0 −2 −2
1

a) Soit A = 2 0 −1, on pose B = A2 , C = A3 , U = A4 . Montrer que ({U, A, B, C}, ×) est
3
2 1
0
un groupe multiplicatif. Montrer que ces quatre matrices ont le même rang.


b) Soit G une partie de Mn (K), on suppose que (G, ×) est un groupe, on note E son élément
neutre. Montrer que E est un projecteur. Montrer que les endomorphismes canoniquement
associés aux éléments de G ont tous le même noyau, la même image et que ces deux s.e.v
sont supplémentaires dans Kn .

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

20

Exercices

Chapitre 21 : Matrices

ÆExercice 21.8
On considère trois suites réelles (an ), (bn ) et (cn ) qui vérifient pour tout entier n ∈ N :

 an+1 = bn + cn
b
= an + cn . Déterminer l’expression de an , bn et cn en fonction de a0 , b0 , c0 et de n.
 n+1
cn+1 = an + bn


0 1 1


On pourra introduire les matrices : A = 1 0 1, et B = A + I3 .
1 1 0
ÆExercice 21.9
Soient A, B ∈ Mn (K) définies par ai, j = δi+1, j et bi, j = δi, j + δi+1, j . Calculer Ap , en déduire B p .
ÆExercice 21.10
Soit F = Tns (K) l’ensemble des matrices triangulaires supérieures dans Mn (K). Montrer que F est
une sous-algèbre de Mn (K), calculer sa dimension, et déterminer le groupe des inversibles.
ÆExercice 21.11
Soit ϕ une forme linéaire sur Mn (K) qui vérifie :
∀ A, B ∈ Mn (K), ϕ(A × B) = ϕ(B × A).
Montrer qu’il existe un scalaire λ tel que ∀ A ∈ Mn (K), ϕ(A) = λtr(A).
ÆExercice 21.12



a

Pour a, b, c ∈ C, on note M (a, b, c) =  c
b
{M (a, b, c, ) / a, b, c ∈ C}.

b
a
c




c
0 1 0



b, on pose I = I3 J = 0 0 1, et E =
a
1 0 0

a) Calculer J n pour n ∈ N. Montrer que E est un C-espace vectoriel de dimension 3 et que
B = (I, J, J 2 ) est une base de E.
b) Montrer que E est une sous-algèbre commutative de M3 (C).
c) Soit P ∈ C[X ], montrer qu’il existe a, b, c ∈ C tels que P(J) = M (a, b, c), en déduire que
E = {M ∈ M3 (C) / ∃ P ∈ C[X ], M = P(J)}.
Soient U la base canonique de C3 , et u l’endomorphisme de C3 canoniquement associé à J.
d) Montrer que ker(u−id), ker(u− jid) et ker(u− j 2 id) sont trois droites vectorielles, on les note
respectivement D1 , D2 , D3 . Pour i ∈ [[1..3]], on pose −
e→
i le vecteur de Di dont la première






0
composante vaut 1, et on pose U = (e1 , e2 , e3 ). Montrer que U 0 est une base de C3 .
e) Soit P la matrice de passage de U à U 0 , sans calculer P −1 , déterminer D la matrice de u dans
la base U 0 .
f) Montrer que P −1 × M (a, b, c) × P est une matrice diagonale, en déduire [M (a, b, c)]n , pour
n ∈ N, en fonction de a, b, c, n et P.
g) Montrer que la matrice M (a, b, c) est inversible ssi les complexes 1, j, j 2 ne sont pas racines
du polynôme a + bX + cX 2 .
h) Montrer que M (a, b, c) est inversible ssi PGCD(a + bX + cX 2 , X 3 − 1) = 1. En déduire que
lorsque M (a, b, c) est inversible, alors son inverse est dans E.

MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC

Fradin
c
Patrick (http://mpsi.tuxfamily.org)

21



Télécharger le fichier (PDF)










Documents similaires


c b g 1 alglin l1
techniques de reduction d une matrice d ordre 3
matrice 4eme eco
matrice et systeme 4eme eco 1
chap21 0910
serie n 2 matrice

Sur le même sujet..