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Nom original: sobolev0.pdf
Titre: sobolev.pdf
Auteur: KiNG

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et on le munit du produit scalaire (u | v) = (u | v)L2 + (u0 | v 0 )L2 . La norme
associée est
1/2
kukH 1 = kuk2L2 + ku0 k2L2
,

qui est équivalente à kukW 1,2 .

Proposition 2.4 W 1,p est un espace de Banach séparable. Il est réflexif pour
1 < p < +∞.
H 1 (I) est un espace de Hilbert séparable.
Preuve. 1) Si (un )n>1 est une suite de Cauchy dans W 1,p (I), alors (un )n>1 et
Lp

Lp

n→+∞

n→+∞

(u0n )n>1 sont de Cauchy dans Lp (I). Donc un −→ u et u0n −→ v. Pour toute
ϕ ∈ D 1 (I) :
hu, ϕ0 i = lim hun , ϕ0 i = − lim hu0n , ϕi = −hv, ϕi ;
n→+∞

n→+∞

donc u a une dérivée faible et u0 = v.
2) Soit
T : W 1,p (I) → Lp (I) × Lp (I)
u
7→ T (u) = (u, u0 ).
T est une isométrie, et Lp (I) × Lp (I) est séparable, et, pour 1 < p < +∞, est
réflexif ; donc W 1,p (I) aussi.


2.3

Théorèmes d’immersion

Théorème 2.5 (Sobolev, 1935) Pour toute fonction u ∈ W 1,p (I), avec
1 6 p < ∞, il existe une fonction u
˜ continue sur I¯ dont la restriction à
I est un représentant de u. De plus :
Z y
u0 (t) dt , ∀x, y ∈ I.
u
˜(y) − u
˜(x) =
x

On identifiera par la suite u à son représentant continu, de sorte que l’on
peut écrire :
¯ .
W 1,p (I) ⊆ C (I)
Remarque. Il se passe ici un phénomène un peu particulier. En dimension
supérieure N > 2, et en remplaçant l’intervalle I par un ouvert “régulier” Ω ⊆
¯ seulement pour p > N .
RN , on a W 1,p (Ω) ⊆ C (Ω)
Preuve. Fixons x0 ∈ I et posons :
Z
uo (x) =

x

u0 (t) dt ,

x0

5

¯
∀x ∈ I.

• Pour p = 1, il est clair que cela a un sens et que u0 est continue, par le
Théorème de convergence dominée.
• Pour 1 < p < +∞, cette définition a un sens car si J ⊆ I¯ est un intervalle
de longueur finie, on a Lp (J) ⊆ L1 (J). De plus, comme
Z x
u0 (x) − u0 (y) =
u0 (t) dt , ∀x, y ∈ I ,
y

la fonction uo : I → R est uniformément continue, par l’inégalité de Hölder :
|u0 (x) − u0 (y)| 6 |x − y|1/q ku0 kp 6 |x − y|1/q kukW 1,p .
¯
On peut donc la prolonger en une fonction uniformément continue sur I.
Notons qu’en particulier u0 est intégrable sur tout sous-intervalle J de I de
longueur finie.
Maintenant, pour toute ϕ ∈ D 1 (I), on a :
Z Z x

u0 (t) dt ϕ0 (x) dx
hu0 , ϕ0 i =
I

=−

Z

a

x0
x0 Z x

= −

= −

Z

ϕ∈D 1

=−

x0

a
x0

0

u (t) dt ϕ (x) dx +

x0

Z

Fubini



0

Z

x0

x0

a

u0 (t)[ϕ(t) − ϕ(a)
] dt +

Z

x

x0

b

Z

Z t
ϕ0 (x) dx dt +
u0 (t)

a

Z

b

Z


u0 (t) dt ϕ0 (x) dx

Z
u0 (t)

t

b


ϕ0 (x) dx dt

b

u0 (t)[ϕ(b)
− ϕ(t)] dt

x0

b

u0 (t)ϕ(t) dt = −hu0 , ϕi = hu, ϕ0 i.

a

Remarquons ensuite que
{ϕ0 ; ϕ ∈ D 1 (I)} = {ψ ∈ D 0 (I) ;

Z

ψ(t) dt = 0} .

I

En
si supp (ϕ) ⊆ [a, b], on a ϕ(a) = ϕ(b) = 0 et, puisque ϕ0R est continue,
R effet,
0
ϕ (t) dt = ϕ(a) − ϕ(b) = 0. Inversement, si supp (ψ) ⊆ [a, b] et I ψ(t) dt = 0,
I
Rx
on pose ϕ(x) = a ψ(t) dt. Comme ψ est continue, ϕ est continûment dérivable
et ϕ0 = ψ. De plus ϕ(x) = 0 pour x 6 a (car ψ(t) = 0 pour t 6 a) et ϕ(x) = 0
R
Rb
pour x > b, parce que, d’une part a ψ(t) dt = I ψ(t) dt = 0, et, d’autre part,
ψ(t) = 0 pour t > b.
Considérons alors les formes linéaires
J1 :
et

J2 :

D 0 (I) −→ RR
ψ
7−→ I ψ(t) dt
D 0 (I) −→ RR

ψ
7−→ I u(t) − u0 (t) ψ(t) dt .
6

Les égalités précèdentes disent que ker J1 ⊆ ker J2 . Il existe donc c ∈ R tel que
J2 = cJ1 . Cela veut dire que
Z

u(t) − u0 (t) − c ψ(t) dt = 0 , ∀ψ ∈ D 0 (I).
T

C’est en particulier vrai pour toute ψ ∈ D 1 (I), et l’on a vu qu’alors u−u0 −c = 0
presque partout sur I.
Ainsi u est presque partout égale sur I à la fonction u0 + c, qui est continue
¯
sur I.


Théorème 2.6 (Théorème de Rellich-Kondrachov) Pour 1 < p < +∞
et si l’intervalle I =]a, b[ est borné, l’injection naturelle
j:

¯
W 1,p (I) −→ C (I)

est compacte.
Remarques. 1) En particulier, j est continue :


uk −→ u dans W 1,p (I) ⇒ uk −→ u uniformément sur I¯ .
k→+∞

k→+∞

¯ reste vraie même si I n’est
2) En fait, la continuité de j : W 1,p (I) → Cb (I)
pas borné et si p = 1.
Preuve. On utilise le Théorème d’Ascoli.
• D’abord, j BW 1,p ) est équicontinue car pour kukW 1,p 6 1, on a :
Z

|u(x) − u(y)| =

y

x



u0 (t) dt 6 ku0 kLp |x − y|1/q 6 kukW 1,p |x − y|1/q .

• Ensuite, j BW 1,p ) est bornée. En effet, l’inégalité précédente montre que :
|u(x)| 6 |u(y)| + |x − y|1/q 6 |u(y)| + (b − a)1/q ;
d’où, en intégrant par rapport à y :
(b − a) |u(x)| 6 kukL1 + (b − a)1+1/q 6 kukLp (b − a)1/q + (b − a)1+1/q ,
et donc :
kuk∞ 6

h
i
1
1
1/q
p + (b − a)
1
+
(b

a)
.
kuk
6
L
(b − a)1/p
(b − a)1/p

7




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