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Devoir Maison : Homoth´eties
I


efinitions et propri´
et´
es fondamentales


efinition L’image d’un point M par homoth´
etie de centre O et de rapport

k (k ̸= 0) est le point M tel que
−−→′
−−→
OM = k OM .
Traditionnellement, on note cette homoth´etie hO,k .
Remarque Cette d´efinition est valable dans le plan et l’espace.
Exemple Dans chacun des cas ci-dessous, construire l’image de la figure par l’homoth´etie de centre O et de rapport k. Pr´eciser s’il s’agit d’un agrandissement ou
d’une r´eduction.
−−→
−→
• k = 2, on ´ecrira les relations de colin´earit´e du type OA′ = 2OA.

B
O

C
A

• k=

1
2
A

B
O

D

C

• k = −2
A
O
B

1

Th´
eor`
eme Dans une homoth´etie, un point, son image et le centre sont . . . . . . .
.......

Th´
eor`
eme Si une homoth´etie de rapport k transforme M en M ′ et N en N ′ alors
on a
−−−

−−→
M ′N ′ = kM N .

Corollaire
• Une homoth´etie transforme une droite en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Une homoth´etie ne conserve pas les distances, elle . . . . . . . . . . . . . . . . .
triangle en un triangle semblable.

II
1

Propri´
et´
es
Propri´
et´
es de conservation

L’homoth´etie conserve :
• l’alignement ;
• les angles orient´es ;
• les relations de colin´earit´e ;
• le barycentre (en particulier les milieux).
Exercice Construire les images des points A, B, I et C par l’homoth´etie de centre
1
O et de rapport − .
2
C
B
I
A
O

2

2

Image par une homoth´
etie

Une homoth´etie h de rapport k transforme :
• un segment [M N ] en un segment [M ′ N ′ ] parall`ele tel que M ′ N ′ = |k|M N ;
• un cercle C de centre O et de rayon r en un cercle C ′ de centre h(O) de rayon
|k|r ;
• un triangle (isoc`ele, ´equilat´eral, rectangle) en un triangle de mˆeme nature ;
• un quadrilat`ere (parall´elogramme, losange, rectangle, carr´e) en un quadrilat`ere
de mˆeme nature.

III

Applications

Exercice ABCD est un trap`eze de bases [AB] et [CD].
Les droites (AD) et (BC) se coupent en O.
I est le milieu de [AB] et J celui de [CD].
1. Faire une figure.
2. D´emontrer `a l’aide d’une homoth´etie que les points O, I et J sont align´es.
Exercice C est le cercle de diam`etre [AB].
A tout point M de C distinct de A et B, on associe le centre de gravit´e G du
triangle ABM .
1. Faire une figure.
2. Quel est le lieu du point G lorsque M d´ecrit le cercle C priv´e de A et B (Vous
utiliserez une homoth´etie de centre O) ?

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