Livret 1S GICS .pdf



Nom original: Livret 1S GICS.pdf

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par TeX / MiKTeX pdfTeX-1.40.11, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 03/07/2011 à 13:41, depuis l'adresse IP 82.247.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1524 fois.
Taille du document: 738 Ko (18 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


Table des matières
I

Séances de Mathématiques
Énigmes de logique . . . . . . . . . . .
Modélisation Mathématique . . . . . .
Olympiades de Maths . . . . . . . . .
Factorielles & Symboles . . . . . . . .
Coefficients binomiaux & Probabilités
Raisonnement par l’Absurde . . . . . .
Principe des Tiroirs . . . . . . . . . .
Relation de divisibilité . . . . . . . . .
Congruences & Modulo . . . . . . . .
Le nombre d’or . . . . . . . . . . . . .
Dérivation & Optimisation . . . . . . .
Structures fractales . . . . . . . . . . .

II

2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Séances de Physique

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

15

Homogénéité & Pertinence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Mécanique du skieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Quelques phénomènes optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1

Première partie

Séances de Mathématiques

2

Énigmes de logique
Idée pour débuter ou terminer une séance

Énigmes
– On a 7 billes de même masse sauf une plus lourde et une balance à plateaux, le but est de la trouver
en 2 pesées maximum. Faire de même avec 9 billes. (L’idée est de penser à laisser des billes sur le coté)
– On a 9 perles de même masse sauf une (mais on ne sait pas si elle est plus lourde ou plus légère), le
but est de la trouver en 3 pesées maximum. Faire de même avec 13 perles. (Il faudra commencer par
s’intéresser au cas d’égalité pour savoir combien de perles au maximum on peut laisser sur le coté)
– Dix sacs de 100 pièces d’or sont alignés devant vous mais il y a un sac de fausses pièces. Une vraie
pièce pèse 10 grammes et une fausse 11 grammes. On dispose d’une balance numérique, qui donne
donc un poids exact en grammes. Déterminer le sac de fausses pièces en une seule pesée. (Il suffit de
prendre 1 pièce dans le sac n˚1, 2 pièces dans le sac n˚2, . . ., 10 pièces dans le sac n˚10)
– Trois personnes sont en file indienne et une dernière est mise à l’écart et ne voit personne. Chacune
de ces personnes a un chapeau tiré au sort parmi deux chapeaux noirs et deux blancs. Le but est de
trouver la couleur d’au moins un chapeau, que va-t-il se passer ? (Il faut s’intéresser uniquement à la
2ème et la 3ème personnes, les autres ne peuvent rien trouver car ne voient aucun chapeau)
– On montre 7 rubans (2 rouges, 2 jaunes et 3 verts) à trois personnes puis on leur bande les yeux. On
fixe à chaque personne un ruban sur son chapeau, cache les autres et les débarrasse de leurs bandeau.
A la question : "Pouvez vous être sûr d’une couleur qui ne soit pas celle de votre ruban ?", la 1ère
personne répond non puis la 2ème fait de même. Que peut-on en déduire ? (Le 3ème ruban est vert)
– 100 prisonniers sont en file indienne et portent sur la tête un chapeau soit blanc, soit noir. Chaque
prisonnier trouvant sa couleur est libéré. Sachant qu’ils ont eu le droit de se concerter avant de mettre
leurs chapeaux, trouver une stratégie pour en sauver un maximum. (On en sauve 99, 5 si le premier
annonce blanc/noir en fonction de la parité du nombre de rubans blancs qu’il voit)
– Quatre musiciens veulent traverser un pont de nuit mais ils n’ont qu’une lampe et le pont ne peut
supporter que deux personnes à la fois. Sachant qu’ils mettent respectivement 1, 2, 5 et 10 minutes
pour le traverser, quel est le temps minimum nécessaire pour traverser ce pont ? (17 minutes en faisant :
1&2 traversent / 1 revient / 5&10 traversent / 2 revient / 1&2 traversent)
– Un chameau doit transporter 3000 pommes entre Le Caire et Damas, villes séparées de 1000 km. Il
ne peut transporter que 1000 pommes à la fois mais a la possibilité de s’arrêter en chemin pour en
déposer. Sachant qu’il mange 1 pomme/km, combien y en aura-t-il à l’arrivée ? (Tant qu’il a plus de
2000 pommes, il doit faire 3 allers et 2 retours, ce qui revient à consommer 5 pommes/km ; il apporte
2000 pommes à 200km de son départ. Ensuite sa consommation baisse à 3 pommes/km ; il apportera
1001 pommes à 533 km de son départ. Il laisse 1 pomme et finit avec le reste, ce qui sauve 533 pommes)
– Un berger possède un chou, une chèvre et un loup. Il souhaite traverser une rivière à l’aide d’une barque
ne pouvant contenir que deux êtres vivants. Sachant qu’il ne peut laisser le chou avec la chèvre ou la
chèvre avec le loup sans surveillance, trouver un moyen pour passer. (Voici un exemple de solution :
Berger&Chèvre / Berger / Berger&Loup / Berger&Chèvre / Berger&Chou / Berger / Berger&Chèvre)
– Le calife de Bagdad convoque un jour tous les hommes mariés de sa cité et leur dit : « Je veux que
chacun tue sa femme à minuit s’il sait qu’elle le trompe et il y a au moins une femme infidèle ». Chaque
mari sait uniquement si les autres femmes sont infidèles. Sachant que le treizième jour à minuit, tous
les maris cocus exécutèrent leurs femmes, combien y en avait-il ? (Tester avec 1 jour, 2 jours, . . .)
– On surprend une discussion entre un professeur de maths et son facteur : « Trouvez l’âge de mes trois
filles si la somme des âges est égal au numéro de la maison d’en face et le produit vaut 36. », « Il me
manque une information pour pouvoir répondre. », « Mon aînée est blonde. ». Et le facteur lui donne
l’âge de ses filles. Pas bête le facteur ! Au fait, qu’elle est l’âge de ses filles ? (9 ans, 2 ans et 2 ans)
– Un homme croise deux bergers qui s’apprêtent à manger. Il leur demande s’il peut partager leur repas.
Les bergers acceptent. Le premier berger a 7 fromages, et le deuxième en a 5. Ils s’installent tous les
trois et mangent chacun 4 fromages. Pour les dédommager, le promeneur leur donne 12 francs. Le
premier prend 7 francs et le deuxième prend 5 francs. Le partage est-il équitable ? (Non)
3

Modélisation Mathématique
Peu de prérequis, variables selon les énigmes

Énigmes
– Dans ce collège, le quart des élèves ne fait pas d’allemand, le tiers ne fait pas d’anglais, 300 pratiquent
les deux, et un douzième aucune des deux langues. Combien d’élèves étudient seulement l’allemand ?
– Sept cars, pleins de touristes aux deux-tiers se dirigent vers Sète. À Troyes, un quart des touristes en
descend. Peut-on alors mettre les trois quarts restant dans trois cars ? Et les trois quarts ?
– Les montres de Rachid et Mohammed ne sont pas à l’heure. Celle de Rachid indique 19h mais elle
avance de 10 minutes par heure, celle de Mohammed indique 17h mais retarde de 10 minutes par
heure. Quelle heure est-il sachant que ces montres ont été mises à l’heure au même instant.
– Karim et Mehdi cultivent chacun leur jardin rectangulaire. Celui de Karim a la plus grande longueur
et la plus grande surface. Qu’en est-il du périmètre ? Si Karim avait celui ayant la plus grande longueur
et le plus grand périmètre, serait-il sûr d’avoir la plus grande surface ?
– Cinq pirates doivent se partager un trésor de 12 lingots d’or. Le plus vieux a l’initiative de proposer
le partage. L’ensemble des pirates effectue alors un vote : si la stricte majorité des pirates accepte le
partage, le partage s’effectue, sinon le plus vieux est tué et le processus recommence avec le deuxième
plus vieux. Quel partage doit proposer le plus vieux, sachant que tous les pirates sont intelligents et
avides. (Les pirates préfèrent se débarrasser des plus vieux s’ils ne leur servent à rien)
– Un chat et une souris décident de jouer à pile ou face. Mais ils se disent que ce n’est pas très intéressant
comme jeu donc ils compliquent un peu la règle. Chacun choisit une combinaison de trois résultats (ex.
Pile, pile, face). Ils lancent la pièce plusieurs fois, le premier qui voit sa combinaison apparaître dans
les trois derniers lancers gagne. Ils ne peuvent pas choisir la même combinaison. Le chat, étant plus
fort décide de choisir sa combinaison en premier, et la souris étant intelligente le laisse faire. Existe-t-il
une stratégie pour maximiser l’espérance du gain d’un des deux joueurs ?
– Mustapha se trouve sur le bord d’une piscine circulaire, dans l’eau. Juste à coté en dehors de l’eau, se
trouve Sofiane un méchant qui veut attraper cette personne. Sofiane court 4.5 plus vite que Mustapha
nage. Comment Mustapha peut-il s’en sortir ? (Problème très difficile)

Modélisation & Solutions







Anglais : 2/3 Pas Anglais : 1/3
Allemand : 3/4
300
?
Il s’agit de faire un tableau selon les langues :
Pas Allemand : 1/4
?
1/12
14
Ici, il suffit de traduire l’énoncé sans s’affoler. La proportion de touristes est de 2×7
3 = 3 , puis elle
3
14
7
diminue d’un quart pour devenir 4 × 3 = 2 . Ce nombre est supérieur à 3 mais pas à 4 donc on ne
peut pas mettre tous les touristes restant dans trois cars mais les trois quarts c’est possible.
La méthode simple, consiste à remarquer qu’il s’agit d’un problème barycentre. La véritable heure est
égale au barycentre de l’heure affichée sur la montre de Rachid et celle de Mohammed où le coefficient
est le retard pris respectivement par la montre de l’autre personne. Ici, on fait l’isobarycentre : 18h.
Dans les deux cas la réponse est non. Il suffit de trouver un contre-exemple.

– S’il n’y avait qu’un pirate, il aurait 12 lingots. S’il y a deux pirates, qu’importe le partage du plus
vieux, le deuxième sera contre et le partage ne se fera pas. Ainsi s’il y a trois pirates, le plus vieux a
juste besoin de proposer 1 lingot au second plus vieux pour qu’il soit d’accord : il peut donc garder 11
lingots. On continue de réfléchir de cette manière (basée sur la récurrence) pour trouver que le plus
vieux peut avoir 9 lingots lorsqu’il y a 5 pirates. (Partage 2/0/1/0/9)
– Dans cet exercice, la disjonction des cas est l’idée à introduire. Si le chat joue P/P/P ou P/P/F, la
souris aura plus de chances d’avoir F/P/P. De même en regardant les autres cas, la souris gagne.
– Tout d’abord Mustapha peut rejoindre le centre de la piscine, l’action de Sofiane a peu d’importance.
Là, s’il essaye de rejoindre le bord, il se fera prendre. Il doit donc tourner en spirale, en étant en
permanence à l’opposé de Sofiane par rapport au centre. Ceci n’est possible que tant que la vitesse
angulaire de Mustapha est inférieure à celle de Sofiane (càd tant que Mustapha ne s’éloigne pas de
plus d’ 92 du rayon du centre. Après il faut encore trouver une autre stratégie pour gagner du terrain...
4

Olympiades de Maths
Aucun prérequis, assez difficile

Présentation
Chaque année, il est organisé un concours dans de nombreuses matières pour les premières : il s’agit
des Olympiades académiques. Les meilleurs élèves passent ensuite les Olympiades nationales voir même
les Olympiades internationales. Les annales des Olympiades de mathématiques offrent une quantité d’exercices difficiles mobilisant très peu de prérequis. Pour des élèves motivés, ces problèmes concis nécessitent
systématiquement la mise en place d’un raisonnement. En voici quelques exemples.

Exercice 1
10 personnes sont assises autour d’une table ronde. 10 jetons portant les numéros de 1 à 10 sont distribués
au hasard à ces 10 personnes. Chaque personne gagne une somme égale en euros au total du numéro de son
propre jeton, de celui du voisin de gauche et de celui du voisin de droite.
1. Donner un exemple de répartition des jetons. Indiquer le gain de chaque personne et la moyenne.
2. Prouver qu’on a toujours au moins une des dix personnes avec un gain supérieur ou égal à 17 euros.
3. Donner un exemple où tous les gains sont inférieurs ou égaux à 18 euros.
4. Prouver qu’on a toujours au moins une des dix personnes avec un gain supérieur ou égal à 18 euros.
1. On peut proposer la répartition 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6 − 7 − 8 − 9 − 10. Dans l’ordre les individus gagnent
13 − 6 − 9 − 12 − 15 − 18 − 21 − 24 − 27 − 20. La moyenne est de 165
10 = 16, 5.
2. Un jeton est compté trois fois dans les gains (pour celui qui l’a, celui à sa droite et celui à sa gauche).
Au total, tous les jetons sont comptés trois fois donc la somme des gains vaut 3 × (1 + . . . + 10) = 165
donc la moyenne est toujours de 16, 5. Il y a alors toujours un gain supérieur à 17.
3. Exemple 1−10−6−2−9−5−4−8−3−7 dont les gains sont 18−17−18−17−16−18−17−15−18−11.
4. Si ce n’est pas le cas, tous les gains sont inférieurs ou égaux à 17 mais la moyenne est de 16, 5 donc au
moins 5 personnes gagnent 17. En fait, il y en a exactement 5 car sinon deux voisins auront le même
gain ce qui est absurde. Ainsi les gains sont de 16 et de 17. En s’intéressant ensuite aux voisins de la
personne possédant le jeton valant 10, on tombe à chaque fois sur une absurdité.

Exercice 2
On dit qu’un nombre entier supérieur ou égal à 2 est bon s’il peut s’écrire comme la somme de nombres
entiers naturels non nuls, distincts ou non, dont la somme des inverses est égale à 1. Ainsi 2 n’est pas bon
car la seule décomposition de 2 en somme d’entiers est 1 + 1 mais 11 + 11 n’est pas égal à 1.
1. Déterminer les bons nombres entre 3 et 11 inclus.
2. Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est bon.
3. Montrer que si n est bon, alors 2n + 2 et 2n + 9 sont bons.
4. Généraliser ce résultat.
1. Les seuls nombres bons entre 3 et 11 sont 4 = 2 + 2, 9 = 3 + 3 + 3, 10 = 2 + 4 + 4 et 11 = 2 + 3 + 6.
2. On a n2 = n
+n+
. . . + n} et n1 +
{z
|
|
n fois

1
n

+ ... +

1
n

{z

}

n fois

=1

3. n est bon donc s’écrit comme somme de nombres dont la somme des inverses vaut 1, ainsi 2n s’écrit
comme somme de nombres dont la somme des inverses vaut 12 . Donc 2n + 2 est bon car 12 + 12 = 1.
(Tout comme 2n + 9 car 9 s’écrit 3 + 6 et on 31 + 16 = 12 )
4. On peut généraliser ainsi : si n est bon et m s’écrit comme somme de nombres dont la somme des
inverses est de la forme 1 − k1 alors kn + m est bon. En effet, il suffit de s’inspirer de la question 3.
pour remarquer que kn s’écrit comme somme de nombres dont la somme des inverses est k1 .
5

Factorielles & Symboles
Aucun prérequis, on ne fait que des sommes et des multiplications, assez simple

Factorielles
On appelle n factorielle et on note n! = 1 × 2 × . . . × n. Par définition, 0! = 1.On remarque que pour
tout n ∈ N, on a (n + 1)! = (n + 1) × n!. On pourra dresser ce tableau de comparaison :
n
n2
n3
n!
Calculer

Signe

3! 6! 99! 1000!
4! , 5! , 100! , 999!

0
0
0
1

puis taper

1
1
1
1

2 3 4
5
6
7
4 9 16 25 36
49
8 27 64 125 216 343
2 6 24 120 720 5040

1000!
999!

à la calculatrice.

P
P

Le signe
est une facilité d’écriture pour écrire des sommes très longues. On l’utilise sous la forme
P in
suivante : fk=début
f (k) où f (k) est une expression qui dépend de k.
On a par exemple : nk=0 k = 1 + . . . + n. Qu’en est-il des autres sommes ?
– 1 + 4 + 9 + 16 + . . . + 49
– 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . . + 31
– 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . + 20
– 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + . . . + 5040
P

Simplifier les sommes télescopiques suivantes :


25
X

(k + 1) − k



k=0

Signe

10
X

(k + 1)! − k!



k=3

100
X
(k + 1)2 − k 2

k 2 (k

k=2

+



1)2

12
X

1
k(k + 1)
k=5

Q

On peut définir de même le symbole

Q

pour la multiplication...

Coefficients binomiaux
On pose

n
k

=

n!
k!(n−k)! ,

cela se lit "k parmi n". On pourra dresser ce tableau :
n/k
0
1
2
3
4
5
6
7

On a la formule (a + b)n =

0 1
1 X
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7

n k n−k
.
k=0 k a b

Pn

2
X
X
1
3
6
10
15
21

3
X
X
X
1
4
10
20
35

4
X
X
X
X
1
5
15
35

5
X
X
X
X
X
1
6
21

6
X
X
X
X
X
X
1
7

7
X
X
X
X
X
X
X
1

On parle du binôme de Newton.

Exercices difficiles
!

E( n
)
2

!

n
n
– Montrer que
=
.
k
n−k
!
!
!
n
n
n+1
– Montrer que
+
=
.
k
k+1
k+1
! n
!
!
n
n
X
X
n X
n
n k
k
– Calculer
,
(−1) et
2 .
k k=0 k
k
k=0
k=0
6

– Soit S1 =

X
k=0
E( n−1
)
2

n
2k

!

!

n
.
Soit S2 =
2k + 1
k=0
Calculer S1 + S2 et S1 − S2 .
En déduire S1 et S2 .
X

Coefficients binomiaux & Probabilités
Nécessite les factorielles, difficulté moyenne

Introduction au dénombrement
On considère un jeu de 52 cartes et on pioche 5 cartes. Si l’ordre des cartes compte, le nombre de ti52!
rages différents est de 52 × 51 × 50 × 49 × 48, soit (52−5)!
. Si par contre l’ordre des cartes ne compte plus,
il faut diviser le résultat
précédent
par
5!
(car
il
y
a
5!
moyens
pour ordonner le tirage). Ainsi, il y a au
52
52!
total (52−5)!5! = 5 tirages différents. De manière générale, si l’ordre ne compte pas, le nombre de tirages

différents de k éléments dans un ensemble de n éléments vaut nk .
Combien y a-t-il de mains contenant le valet de cœur ? Et qui contiennent au moins un valet quelconque ?
– Choisir une main de 5 cartes contenant le valet de cœur revient à choisir une main de 4 cartes (car la
dernière est déjà fixée) et la position du valet de cœur. Il y en a donc au total 5 × 52
4 .
– Pour calculer ce nombre de mains, il faut calculer le nombre
de mains ne contenant aucun valet. Il y
52
48
en a au total 48
.
Le
résultat
attendu
est
donc

.
5
5
5
Un entraîneur de foot dispose de 6 défenseurs, 5 milieux, 4 attaquants et 3 gardiens. Il veut composer
une équipe de 11 joueurs comportant 4 défenseurs, 4 milieux, 2 attaquants et 1 gardien. Combien y a-t-il
d’équipes possibles
? Qu’en est-il si l’on tient compte
des positions des joueurs ?


– Il y a 64 choix de défenseurs possibles, 54 choix de milieux possibles, 42 choix d’attaquants possibles





et 31 choix de gardiens possibles. Au total, il y a 64 × 54 × 42 × 31 équipes possibles.
– Si on tient compte des positions des joueurs, on se ramène dans un cas de tirage où l’ordre compte.
5!
4!
3!
On a donc au total 6!
4! × 4! × 2! × 1! = 6 × 5 × 5 × 4 × 3 × 3 × 2 dispositions différentes.

Poker & Probabilités
Au poker à 5 cartes, il est important de savoir calculer des probabilités. Au premier tour, on pioche
5 cartes parmi 52 cartes. Au deuxième tour, on a le droit de changer 1 à 5 cartes de son jeu. Le but est
d’avoir la meilleure combinaison parmi les suivantes : rien, une paire, deux paires, un brelan, une quinte,
une couleur, un full, un carré, une quinte flush.
1. Quel est la probabilité d’avoir une paire dès le premier tour ?
– Pour
déterminer une main, il faut choisir notre
paire (13 choix possibles), la couleur de notre paire


( 42 choix possibles), les trois autres cartes ( 12
choix
possibles) et leurs couleurs (43 choix possibles).
3
13×(42)×(12
×43
3)
On obtient une probabilité de :
= 1098240
52
2598960 ≈ 0, 42.
(5)
2. Quel est la probabilité d’avoir deux paires dès le premier tour ?
– Pour déterminer une main, il faut choisir les deux paires ( 13
2 choix possibles), la couleur de chacune
(

4 2
2

choix possibles) et la dernière carte (11 choix possibles) avec sa couleur (4 choix possibles). On
2
(13)×(4) ×44
123552
obtient une probabilité de : 2 522
= 2598960
≈ 0, 04.
(5)
3. Quel est la probabilité d’avoir une couleur dès le premier tour ?

– Pour déterminer une main, il faut choisir la couleur (4 choix possibles) et les cartes ( 13
5 choix
possibles) mais il ne faut pas oublier de soustraire les 40 quintes flush possibles. On obtient une
4×(13
−40
5108
5)
= 2598960
≈ 0, 002.
probabilité de
(52
)
5
4. Quel est la probabilité d’améliorer une paire en changeant 3 cartes au second tour ?
– Pour améliorer une paire, on peut soit obtenir une paire supplémentaire, soit obtenir une carte
transformant notre paire en brelan, soit obtenir deux cartes transformant notre paire en carré, soit
obtenir un brelan transformant notre paire en full, soit obtenir une paire supplémentaire et une
carte transformant notre paire en brelan. Il faudra dénombrer pour chaque cas les tirages possibles.
On pourra ensuite poursuivre en s’intéressant à une autre variante de poker avec la plus célèbre (le Texas
Hold’em) ou au contraire leur en faire découvrir de nouvelles (l’Omaha, le Stud, ...).
7

Raisonnement par l’Absurde
Aucun prérequis, difficulté moyenne

Définition & Exemples
Le raisonnement par l’absurde (ou apagogie) est une forme de raisonnement logique, philosophique,
scientifique consistant soit à démontrer la vérité d’une proposition en prouvant l’absurdité de la proposition
complémentaire (ou contraire), soit à montrer la fausseté d’une autre proposition en en déduisant logiquement des conséquences absurdes. Pour fait simple, pour montrer qu’une proposition est vraie, on suppose
que c’est son contraire qui est vrai jusqu’à aboutir à une contradiction lors du raisonnement.
Exercice : Existe-t-il une fonction affine f telle que f (2) = 0, f (3) = 1 et f (5) = 2 ?
2
Solution : Supposons
que f existe,
alors on a (a,


b) ∈ R , pour toutx ∈ R, f (x) = ax
 + b.










f (2) = 0
2a + b = 0
b = −2a
b = −2a
b = −2a
Alors on a : f (3) = 1 ⇔ 3a + b = 1 ⇔ 3a − 2a = 1 ⇔ a = 1
⇔ a=1










f (5) = 2
5a + b = 2
5a − 2a = 2
3a = 2
a = 2
3

Absurde.

Énigme : Un prisonnier doit choisir entre deux cellules, contenant soit une princesse, soit un tigre. La
cellule 1 dit la vérité s’il y a une princesse et ment s’il y a un tigre (le contraire pour la 2). On lit sur ces
cellules : "Les deux cellules contiennent des princesses". Quelle porte choisir ? (On supposera tout d’abord
qu’elles disent la vérité pour aboutir à une contradiction, on en déduit qu’elles mentent et on conclut)

Descente infinie
Le principe de descente infinie (également appelé principe de Fermat) est basé sur une propriété simple :
toute partie non vide de N admet un plus petit élément. À partir de là, on en déduit qu’il n’existe pas de
suite strictement décroissante d’entiers positifs.
Si à partir d’une solution entière, on peut en fabriquer une autre strictement plus petite mais toujours
en nombres entiers et que l’on peut recommencer sans condition, alors il n’y a pas de solution.
Exercice : Résoudre dans N∗ l’équation diophantienne (à coefficients entiers) x3 + 2y 3 = 4z 3 .
Solution : Soit (x, y, z) une solution. On a x3 = 4z 3 − 2y 3 donc x3 est pair donc x aussi, ainsi x = 2x0 . Alors
on a y 3 = 2z 3 − 4x03 donc
y 3 est pair ainsi y est pair. En réitérant de la sorte, z est également pair. On

trouve alors que x2 , y2 , z2 est solution, ce qui est absurde par le principe de descente infinie.
Existe-t-il un principe de montée infinie ?

Racine carré de deux


A-t-on 2 ∈ Q ? Supposons que 2 = pq avec p et q premiers entre eux alors p2 = 2q 2 . On en déduit que
p2 est pair et donc que p est pair. Mais alors p = 2p0 et q 2 = 2p02 d’où q 2 est pair et donc q également. En
simplifiant p et q par 2, on obtient un couple plus petit donc la fraction n’est pas irréductible. Absurde.


On dit que le nombre 2 est irrationnel. Néanmoins, on peut tracer un segment de longueur 2 à l’aide
de Pythagore (cela permet d’introduire l’escargot de Pythagore). Savez-vous où l’on trouve ce nombre dans
la vie ? Partout ! En effet, il est sur tous vos cours, ou plus précisément
sur toutes vos feuilles de cours. Toutes

les feuilles présentent un rapport de longueur/largeur égale à 2. Mais on le retrouve également dans le
rapport de fréquences de la quarte augmentée en musique, ou dans le rapport de la tension efficace/maximale
du courant alternatif en électricité, ou encore dans le rapport entre les valeurs d’ouverture du diaphragme
d’un appareil photo. Nous sommes envahis par ce nombre, et ce n’est pas fini !
La recherche d’une valeur approchée de ce nombre a été un problème pendant des siècles et les résultats
permirent d’énormes progrès informatiques. Mais bien avant, au Ve siècle av J.C., l’étude de ce nombre
permit aux Grecs de mettre au point les raisonnements précédents.
8

Principe des Tiroirs
Aucun prérequis, le principe est simple mais les applications sont parfois peu évidentes

Énoncé du principe
Le principe est simple, si l’on place plus de n objets dans n tiroirs, au moins un des tiroirs contiendra
plus d’un objet. On peut améliorer ce principe, si l’on place plus de kn objets dans n tiroirs, au moins un
des tiroirs contiendra plus de k objets. On peut même le généraliser, si l’on place plus de k objets dans n
tiroirs, au moins un des tiroirs contiendra plus de d nk e.
Point culture : Le nom de ce principe diffère selon les pays. Tandis qu’en France ou en Allemagne, il
s’appelle "Principe des tiroirs" (ou "Schubfachprinzip"), en Angleterre, il s’appelle "Principe des casiers" (du
vrai nom "Pigeonhole Principle"). En Russie par contre, ce principe est associé au mathématicien Dirichlet.

Applications directes
Soient 1 6 n1 < . . . < n55 6 100 des entiers distincts. Montrer qu’il est toujours possible d’en sélectionner deux qui différent de 9 (puis de 10, de 12 et de 13).
– On a 1 6 n1 < . . . < n55 6 100 (∗) et 10 6 n1 + 9 < . . . < n55 + 9 6 109 (∗∗). Les relations (∗) et (∗∗)
donnent 110 entiers naturels non nuls tous inférieurs à 109. D’après le principe des tiroirs, un entier
ni de (∗) coïncide avec un entier nj + 9 de (∗∗) soit ni − nj = 9.
– Le même raisonnement ne fonctionne pas pour 10, il faut en trouver un autre. Soient A1 = {1, 11},
. . ., A10 = {10, 20}, A11 = {21, 31}, . . ., A41 = {81, 91}, . . ., A50 = {90, 100}. Le principe des tiroirs
nous dit qu’il existe au moins un ensemble Ai contenant 2 entiers parmi les 55 choisis, CQFD.
– On peut réitérer le même raisonnement pour 12 et pour 13 en changeant les ensembles.
– Il reste à voir pourquoi le nombre 11 échappe à la règle. La raison en est fort simple : 55 = 5 × 11.
Il suffira par exemple de prendre n1 = 1, ..., n11 = 11, n12 = 23, ..., n22 = 33, ..., n45 = 89, ..., n55 = 99.
Soient 1 6 n1 6 . . . 6 n51 6 100 des entiers distincts. Montrer qu’il existe un couple (ni , nj ) tel que ni
divise nj . Quel est le nombre minimal d’entiers à prendre pour que cette propriété soit vérifiée ?
– On écrit tous les nombres nk de la forme 2ak (2bk + 1). Comme il n’y a que 50 nombres impairs, on a
par le principe des tiroirs un couple (i, j) tel que ai 6 aj et bi = bj et donc ni divise nj .
– Cette propriété, n’est bien sûr pas toujours vérifiée si l’on prend moins de 51 entiers. En effet, l’ensemble
{51, 52, 53, 54, 55, . . . , 95, 96, 97, 98, 99, 100} le montre.

Pour aller plus loin
– On s’intéresse à un tapis (cf l’image de droite) cousu avec uniquement du fil blanc
et du fil noir. Montrer qu’il existe au moins 2 fils situés à exactement 1 mètre qui
possèdent la même couleur. (Il suffit de prendre un triangle équilatéral)
– Le 93 comporte 1 500 001 (eh oui, je viens d’arriver) habitants, chacun possédant au plus 150 000
cheveux. Trouver le plus grand n pour lequel il y a au moins n personnes avec le même nombre de
500 001
cheveux. (n = d 1150
001 e = 10 et non pas 11, car il y a des chauves !)
– En admettant que tout le monde est inscrit sur Facebook, démontrer qu’au moins deux personnes sur
Terre ont le même nombre d’amis. (Il y a N personnes sur Terre et chacun peut avoir entre 0 et N − 1
amis, comme on ne peut avoir à la fois quelqu’un avec N − 1 amis et quelqu’un d’autre avec aucun
ami, le nombre de tiroirs est réduit : on peut donc conclure par le principe des tiroirs)
– On prend un Rubik’s Cube fini sur lequel on effectue la même manipulation encore et toujours.
Démontrer que l’on finit par se retrouver avec ce Rubik’s Cube de nouveau terminé. (Il suffit de
démontrer que le nombre de positions est fini, inférieur à un certain N pour ensuite conclure par le
principe des tiroirs qu’au bout de N + 1 manipulations, deux étapes seront identiques)
9

Relation de divisibilité
Aucun prérequis, la notion de diviseur est bien acquise, niveau moyen

Notions sur la divisibilité
Soit (a, b) ∈ Z2 , on dit que a divise b s’il existe k dans Z tel que ak = b. Avec les quantificateurs, on a
a|b ⇔ ∃k ∈ Z, ak = b. On dit alors que a est un diviseur de b et que b est un multiple de a.
Propriétés :
– Tout entier relatif a au moins 4 diviseurs. (1, −1, lui-même et son opposé)
– a|b et b|a ⇒ |a| = |b|.
– a|b et b|c ⇒ a|c.
– a|b et a|c ⇒ ∀(u, v) ∈ Z2 , a|bu + cv.
Remarque : On peut restreindre la divisibilité sur N, quelles propriétés sont modifiées ?
Soit (a, b) ∈ Z2 , le plus grand commun diviseur de a et b, abrégé en général PGCD(a, b), est le plus grand
entier naturel qui divise simultanément ces deux entiers. De même, on définit le plus petit commun multiple
de a et b, abrégé en général PPCM(a, b), comme le plus petit entier naturel qui est divisé simultanément
par ces deux entiers.
Propriétés :
– c|a et c|b ⇒ c|PGCD(a, b).
– PGCD(ac, bc) = |c|PGCD(a, b).
– Si a = bq + r alors PGCD(a, b) = PGCD(b, r).
– PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = |ab|.

Exercices
Vrai
– Si
– Si
– Si

ou faux ?
d divise a et d divise b alors d divise a − b et d divise a + b.
d divise 3a alors d divise a. Contre-exemple ?
d divise a ou d divise b alors d divise ab. Réciproque ?

1. Trouver tous les couples (x, y) de N2 tels que xy = 105.
2. Avec l’algorithme d’Euclide calculer PGCD(2002, 1155).
3. Trouver 100 entiers consécutifs qui ne soient pas premiers.

Les nombres premiers
Un nombre premier est un nombre indivisible, ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Il existe une infinité
de nombres premiers (on peut le démontrer par l’absurde) et il s’avère que tous les nombres peuvent s’écrire
comme produit de nombres premiers. Leur étude est donc très importante ! (On pense au code RSA)

1
11
21
31
41

Pour
2
12
22
32
42

les trouver, on peut utiliser le crible d’Ératosthène.
3 4 5 6 7 8 9 10
2
13 14 15 16 17 18 19 20
11
23 24 25 26 27 28 29 30

33 34 35 36 37 38 39 40
31
43 44 45 46 47 48 49 50
41

3
13
23
43

5

7
17

19
29

37
47

Pour aller plus loin
Si l’on restreint la notion de divisibilité sur N, elle vérifie la réflexivité (Propriété 1), l’antisymétrie
(Propriété 2) et la transitivité (Propriété 3). Il s’agit donc d’une relation d’ordre. On parle de relation
d’ordre partielle car si on prend deux entiers au hasard, on n’en a pas toujours un qui divise l’autre.
10

Congruences & Modulo
Nécessite la divisibilité, assez difficile

Approche intuitive
– Il est 10h du matin, quelle heure sera-t-il dans 54 heures ?
– Nous sommes le mardi 9 février 2010. Quelle jour sera-t-on le 9 février 2011 ? 2015 ?
– Je fais une rotation d’angle 780 degrés et de centre O. Comment tracer l’image d’un point ?
Soient treize bâtons. Chacun des 2 joueurs a le droit de prendre 1, 2, 3 bâtons à tour de rôle. Celui qui
prend le dernier bâton a perdu. Jouer avec les élèves (la technique consiste à jouer en second et à compléter
le nombre de bâtons pris par l’adversaire pour l’amener à un total de 4 car 13 ≡ 1 [4]). Laisser les élèves
élaborer une stratégie pour 31 bâtons et une prise de 1 à 4 bâtons à tour de rôle.

Notions sur les congruences
Soient (a, b) ∈ Z2 et n ∈ N. On dit que a ≡ b [n] si n|(a − b). En particulier a ≡ r [n] si r est le reste de
a par la division euclidienne par n. En français, on lit "a congru à b modulo n".
Propriétés :
– Si a ≡ b [n] et b ≡ c [n] alors a ≡ c [n].
On en déduit que a ≡ b [n] si et seulement si a et b ont le même reste dans la DE par n.
– Si a ≡ b [n] et a0 ≡ b0 [n] alors a + a0 ≡ b + b0 [n].
– Si a ≡ b [n] et a0 ≡ b0 [n] alors aa0 ≡ bb0 [n].
Petit théorème de Fermat : Soient p premier et a premier avec p, alors ap−1 ≡ 1 [p].
On pourra en profiter pour raconter la grande histoire du grand théorème de Fermat.
(Pour rappel, énoncé par Pierre de Fermat au milieu du XVIIe siècle, démontré en 1995 par Wiles)

Applications
2011

Quel est le dernier chiffre et la somme de la somme de ... de la somme des chiffres de 22002

?

Pour déterminer le dernier chiffre, on travaille modulo 10. On a 25 ≡ 2 [10] donc il suffit d’étudier la
puissance de 2 modulo 4. Comme 2002 ≡ 2 [4] et 23 ≡ 2 [4] il suffit d’étudier la puissance de 2002 modulo
2011
2. On a 2011 ≡ 1 [2] donc 20022011 ≡ 2 [4] et 22002
≡ 22 [10]. Le dernier chiffre est donc 4.
Pour déterminer une somme de chiffres, on travaille modulo 9. On a 27 ≡ 2 [9] donc on continue modulo
6. Comme 2002 ≡ 4 [6] et 42 ≡ 4 [6] on a 20022011 ≡ 4 [6] ainsi le résultat voulu vaut 24 ≡ 7 [9].

Exercices
Exercices réalisables à l’aide d’un tableau de congruence (bien insister sur leur utilité) :
– Soit n ∈ N. Démontrer que "n n’est pas multiple de 5" est équivalent à "n4 − 1 est un multiple de 5.
– Soit n ∈ N et p ∈ N∗ . Démontrer que np+4 et np ont le même chiffre des unités.
– Résoudre l’équation 3x ≡ 4 [7].
Exercices plus difficiles, réalisables à l’aide d’astuces basées sur la factorisation :
– Soit n ∈ N. Montrer que 3n+3 − 44n+2 est divisible par 11.
– Soit n ∈ N. Montrer que (n + 1)n − 1 est divisible par n2 .

Pour aller plus loin
Soit n ∈ N. Alors quels que soient les entiers a et b, on a a ≡ a [n] et a ≡ b [n] ⇒ b ≡ a [n] (on parle de
réflexivité et de symétrie). De plus, la première propriété nous indique que la relation de congruence vérifie
la transitivité, on en déduit qu’il s’agit d’une relation d’équivalence.

11

Le nombre d’or
Nécessite les polynômes et les suites, difficulté moyenne

Présentation
Le nombre d’or est la proportion, définie initialement en géométrie, comme
l’unique rapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme des
deux longueurs a + b sur la plus grande a soit égal à celui de la plus grande a sur
a
la plus petite b c’est-à-dire lorsque a+b
a = b . Le découpage d’un segment en deux
longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en extrême
et moyenne raison. Le nombre d’or est maintenant souvent désigné par la lettre ϕ
en l’honneur du sculpteur Phidias qui l’aurait utilisé pour concevoir le Parthénon.
Le Parthénon s’inscrit dans un rectangle doré, c’est-à-dire tel que le rapport de
DC
la longueur à la hauteur était égal au nombre d’or. Sur la figure on a DE
= ϕ et
GF
=
ϕ.
Le
rectangle
GBF
H
est
appelé
rectangle
Parthénon.
GI

Approximation du nombre d’or
En posant x = ab , on a ϕ l’unique racine positive de x2 − x − 1. Calculer ϕ (Pour rappel, ϕ =
Montrer également que ϕ = 1 + ϕ1 . Nous allons déterminer une approximation de ce nombre.
On définit la suite (an )n∈N par an+1 = 1 +
1. Montrer que pour tout n ∈ N,
2. Déduire que |an+1 − ϕ| 6

4
9 |an

3
2

1
an


1+ 5
2 ).

pour n > 0 et a0 = 2.

6 an 6 2.

− ϕ| puis que |an − ϕ| 6 ( 49 )n .

3. Conclure que lim an = ϕ et donner une approximation à la 6ème décimale près de ϕ.
+∞

Suite de Fibonacci
On recherche l’expression de la suite (un )n∈N vérifiant un+2 = un+1 + un (∗) et u0 = u1 = 1.
1. Expliquer pourquoi les conditions sur u0 et u1 donnent l’unicité de la suite.
2. Montrer que (rn )n∈N solution ⇔ r = ϕ ou r = 1 − ϕ.
3. Montrer que les suites de la forme vn = αϕn + β(1 − ϕ)n sont solutions de (∗).
4. Trouver α et β tels que v0 = v1 = 1. En déduire l’expression de un .

5. Montrer que lim 5 × un = ϕ puis en déduire lim uun+1
= ϕ.
n
+∞

+∞

La suite de Fibonacci est une suite d’entiers très connue. Elle doit son nom à un mathématicien italien
du XIIIe siècle connu sous le nom de Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans un de
ses ouvrages, le Liber Abaci, décrit la croissance d’une population de lapins : Un homme met un couple de
lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque
couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?

Pour aller plus loin
On a ϕ = 1 +

1
ϕ

et ϕ2 = 1 + ϕ soit ϕ =

1
ϕ=1+ =1+
ϕ

1

1



1 + ϕ. En réinjectant à chaque fois l’expression de ϕ, on a :

12

1+ϕ=

q

r
p

1+

1+ϕ=

q



1 + ...
1
1
1+
1+
ϕ
1 + ...
Le premier développement est une preuve de l’irrationalité de ϕ et on peut utiliser la même démonstration
pour π ou e. En effet, un réel présente un développement en fraction continue si et seulement si il est
irrationnel. De plus, il est algébrique si ce développement présente une période (transcendant sinon).
=1+

et ϕ =

p

1+

1+

Dérivation & Optimisation
Nécessite les fonctions, la dérivation et la trigonométrie, assez difficile

Une autoroute pour 4 villes

Soient A, B, C et D, 4 villes que l’on veut relier par une autoroute
de la façon suivante : ABCD représente un carré de côté 1 et x
\ = DAE
\ =F
\
\
représente l’angle ADE
BC = F
CB. L’autoroute
est formée des branches AE, DE, BF , CF et EF . Déterminer
la longueur minimale de l’autoroute et l’angle x correspondant.

On a cos(x) =

0.5
AE

x
0
0
f (x)

3
f (x)
&

π
3

0.5
DE

1
2 cos(x) . De plus, si on note I le
JF
milieu de AD et J le milieu de BC, on a EF = 1 − IE + F J et tan(x) = IE
0.5 = 0.5 soit EF = 1 − tan(x).
2
+ 1 − tan(x).
En notant f (x) la longueur de l’autoroute associée à la valeur x, on trouve f (x) = cos(x)
2 sin(x)
2 sin(x)−1
1
0
Cette fonction est dérivable et sa dérivée vérifie f (x) = cos(x)2 − cos(x)2 = cos(x)2 . Elle a donc le signe
de x 7→ 2 sin(x) − 1 qui est positive quand sin(x) > 12 soit x ∈ [ π3 , π4 ]. (Car ici x varie entre 0 et π4 )

=

=

π
4

0.5
BF

=

0.5
CF

soit AE = DE = BF = CF =

Pour finir de compléter ce tableau de variation, il√ ne reste plus qu’à
calculer a et b. On a = f ( π3 ) et comme cos( π3 ) = 23 et tan( π3 ) = √13 ,


on obtient a = √43 + 1 − √13 = 3 + 1. Puis comme b = π4 , cos π4 ) = 22

et tan( π4 ) = 1, on obtient b = √42 + 1 − 1 = 2 2. (On a bien b > a)

+
b
%
a

Sphères & Cylindres
Soit une sphère de rayon R et de centre O. Soit un cylindre de base un disque
de rayon r et de hauteur h. Quels sont les dimensions du cylindre inscrit
dans la sphère qui permettent de maximiser son volume ? (On trouvera une
relation entre r et h pour exprimer le volume comme fonction de la hauteur)
2

Par Pythagore, on a R2 = r2 + ( h2 )2 , soit r2 = R2 − h4 . Si on note V (h) le volume du cylindre de hauteur
2
2
h inscrit dans la sphère, on a donc V (h) = πr2 h = π(R2 − h4 )h de dérivée V 0 (h) = π(R2 − 3h4 ). Cette
2R
dérivée est positive lorsque 43 h2 6 R2 , soit h 6 √
. (On a également 0 6 h 6 2R)
3
h

2R

3

0

V 0 (h)

+

2R


Pour finir de compléter ce tableau de variation, il ne reste plus qu’à
2
2
2
2R
calculer a. Pour h = √
, h2 = 4R3 donc R2 − h4 = 2R3 . Ainsi on
3

&

obtient a = V (h) = π 2R3

a
%

V (h)
0

2

2R

3

3

√ .
= π 34R
3

0

Sphères & Cônes
Faire de même en remplaçant le cylindre par un cône.
Cette fois-ci, on a R2 = r2 +(h−R)2 par Pythagore, soit r2 = 2Rh−h2 . Si on note V (h) le volume du cône
de hauteur h inscrit dans la sphère, on a alors V (h) = π3 r2 h = π3 (2R − h)h2 de dérivée V 0 (h) = π3 (4R − 3h)h.
Cette dérivée est positive lorsque 3h 6 4R, soit h 6 43 R. (On a également 0 6 h 6 2R)
Avec un tableau de variation, on trouve que le volume est maximum pour h = 43 R. Il ne reste plus qu’à
32
2
3
calculer la valeur de ce volume, il s’agit de V ( 34 R) = π3 (2R − 43 R) 16
9 R = 81 πR .

13

Structures fractales
Nécessite les suites, difficulté moyenne

Introduction
On nomme "fractale" une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des
règles aléatoires impliquant une homothétie interne. Le terme est un néologisme créé à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier. Ces figures surprenantes ont beaucoup apporté aux mathématiques
en développant des théories de dimension non-entière.

Flocon de Von Koch
On considère un triangle équilatéral de côté 1. On divise chaque côté en trois segments de longueur identique et on remplace celui du milieu par un triangle équilatéral dont on ne garde que les côtés nouvellement
ajoutés. On réitère cette opération plusieurs fois : on passe de la figure n à la figure n + 1 en effectuant cette
démarche pour chaque segment du dessin. On s’intéresse à la longueur et l’aire de la courbe :
1. Représenter la figure obtenue pour n = 0, n = 1 et n = 2.
2. On note a(n) le nombre de segments formant la courbe au rang n. Calculer a(n).
3. On note b(n) la longueur d’un segment au rang n. Calculer b(n).
4. En déduire la longueur l(n) de la courbe au rang n. Que dire de sa limite ?
5. On note A(n) l’aire de la figure au rang n. Que représente A(n + 1) − A(n) ? Faites un dessin.
6. Calculer A(n + 1) − A(n). En déduire l’expression de A(n). Que dire de sa limite ?

Triangle de Sierpinski
Refaire de même avec le triangle de Sierpinski. À chaque étape, la longueur de l’ensemble augmente
(elle est multipliée par 23 ) tandis que l’aire de l’ensemble diminue (elle est multipliée par 43 ). On obtient
finalement une courbe de longueur infinie délimitant une surface nulle (ce qui est encore plus surprenant).

Application
Les domaines d’application des fractales sont très nombreux, on peut citer en particulier :
– en biologie : répartition des structures des plantes, bactéries, feuilles, branches d’arbres, ...
– en géologie : étude du relief, côtes et cours d’eau, structures de roches, avalanches, ...
– en paléontologie : loi de puissance des apparitions et extinctions d’espèces, ...
– en morphologie animale : structures des invertébrés, plumes d’oiseaux, ...
– en médecine : structure des poumons, intestins, battements du cœur, ...
– en météorologie : nuages, vortex, banquise, vagues scélérates, turbulences, structure de la foudre, ...
– en volcanologie : prévision d’éruptions volcaniques, tremblements de terre, ...
– en astronomie : structures de l’univers, cratères sur la Lune, répartition des galaxies, ...
– en sciences humaines : structure urbaine, évolution de la démographie, ...
– en économie et finance : prévision des krachs boursiers (théorie des fractales), ...
– en électronique : antennes larges bandes des téléphones portables, ...

14

Deuxième partie

Séances de Physique

15

Homogénéité & Pertinence
Aucun prérequis, assez simple

Introduction
Lors d’une égalité A = B, en physique nous avons une information de plus qu’en mathématique. Pour
avoir un résultat pertinent en physique, il faut qu’il soit homogène, c’est à dire que A et B possèdent la
même dimension (autrement dit, on peut les ramener à la même unité). Il faut également que l’argument à
l’intérieur des fonctions sin, cos, exp, ln, ... soit sans unité. Cette analyse des dimensions est très importante
pour vérifier ses résultats (par exemple, si on trouve une vitesse en mètre, c’est forcément faux) mais peut
aussi permettre de les trouver. On peut faire de même avec les ordres de grandeur, à condition de les
connaître et d’avoir le sens physique qui va avec (par exemple, obtenir 3 mètres pour une distance entre
deux planètes parait absurde). C’est pour cela que les professeurs de physique sont des adorateurs de la
vérification de l’homogénéité et la pertinence des résultats, alors faites comme eux !

Théorème des 7 dimensions
On peut exprimer toutes les grandeurs qui existent sur Terre avec seulement 7 grandeurs de base :
– la masse M (en kg)
– la longueur L (en m)
– le temps T (en s)
– la température Θ (en K)
– l’intensité électrique I (en A)
– l’intensité lumineuse J (en cd) – la quantité de matière N (en mol)
A partir de là, il faut exprimer toutes les autres grandeurs en fonction des grandeurs de base...

Méthode pour les autres grandeurs
Le but est d’utiliser des formules de physique pour obtenir des relations entre les grandeurs :
– Accélération = Dérivée de la Vitesse ⇒ A = TL2 .
L
– Sommes des forces = Masse × Accélération ⇒ F = M
.
T2
2
ML
2
– Énergie = Masse × Vitesse ⇒ E = T 2 .
2
– Puissance = Dérivée de l’Énergie ⇒ P = MTL3 .
M
– Pression = Force/Surface ⇒ P a = LT
2.
L2
– Puissance = Tension × Intensité soit Tension = Puissance/Intensité ⇒ U = M
.
IT 3
M L2
– Tension = Résistance × Intensité soit Résistance = Tension/Intensité ⇒ R = I 2 T 3 .
Typiquement, si vous vous retrouvez avec un exercice introduisant une masse m, deux rayons r1 et r2 ,
un courant i et un temps t0 et dont la question est "Exprimez la tension u en fonction de m, r1 , r2 , i et t0 "
alors comme la réponse se doit d’être homogène à une masse fois une longueur au carré sur une intensité
2 )r2
fois un temps au cube, la seule solution valable est mrit13r2 ou m(r1 t−r
(on poursuit avec de la symétrie).
3
0

0

Exercices
Trouver l’unité du champ de pesanteur g, de la constante gravitationnelle G et la constante des gaz
parfaits R. Connaissez vous une valeur approchée de ces constantes ?
– Un corps de masse m est soumis au poids mg qui est une force. Nous savons qu’une force s’exprime
en kg · m · s−2 donc g s’exprime en m · s−2 . Il s’agit d’une accélération.
– Soient deux corps de masses respectives m1 et m2 éloignés de la distance d. Alors le premier corps
2
. Nous savons qu’une force s’exprime en kg · m · s−2 donc G s’exprime en
est soumis à la force G md1 m
2
3
−1
−2
m · kg · s . Pour information, cette constante vaut 6, 67... · 10−11 SI.
– Pour un volume V contenant n moles de gaz parfait à la pression P et la température T , la loi des
gaz parfaits donne P V = nRT soit R = PnTV . P s’exprime en kg · m−1 · s−2 , V s’exprime en m3 , n en
mol et T en K. Ainsi R s’exprime en kg · m2 · s−2 · mol−1 · K −1 et cette constante vaut 8, 3... SI.
On pourra continuer en proposant des calculs numériques (par exemple avec le jeu "Le compte est bon")
sans calculette, ce qui gène extrêmement les élèves. On commencera par donner des méthodes de calcul.
16

Mécanique du skieur
Nécessite la mécanique, difficulté moyenne

Énoncé du 1er problème
On s’intéresse aux forces agissant sur un skieur lorsqu’il emprunte une remontée mécanique. On considérera alors que le skieur est en translation rectiligne
uniforme et on négligera les forces de frottement de
l’air et de la piste sur le skieur. On assimilera la perche
à un ressort de grande constante de raideur.
Données du problèmes :
– La masse m du skieur est de 77, 5kg.
– La tension T de la perche sur le skieur est de 300N .
– L’angle α entre la piste et l’horizontale est de 20˚.
– L’angle β entre la perche et la piste est de 30˚.

1er Problème
1.
2.
3.
4.

Quelles sont les forces extérieures agissant sur le système étudié ?
Quelle relation existe-t-il entre ces différentes forces ?
Déterminer l’intensité de la réaction de la piste sur le skieur.
La perche s’allonge de 2, 00m en tractant le skieur. Déterminer la constante de raideur de la perche.

Le temps de montée est d’environ 10min pour une dénivelée (différence d’altitude entre le départ et
l’arrivée de la remontée mécanique) de 250m. On suppose que la piste est une pente régulière de 20, 0˚
d’inclinaison.
5. Déterminer la distance parcourue par le skieur lors de la montée. Calculer sa vitesse moyenne.
6. Calculer le travail des différentes forces exercées sur le skieur entre le départ et l’arrivée.
7. Calculer la puissance instantanée de la force exercée par la perche sur le skieur.

Enoncé du 2ème problème
On s’intéresse désormais aux forces agissant sur un
skieur lorsqu’il descend cette piste. On considérera
alors que le skieur est en translation rectiligne uniforme et on négligera les forces de frottement de l’air
et de la piste sur le skieur.

2ème Problème
1. Quelles sont les forces extérieures agissant sur le système étudié ?
2. Pour chaque portion de la piste, déterminer qualitativement quelles sont les forces qui "travaillent".
Préciser pour chaque force, s’il s’agit d’un travail moteur ou d’un travail résistant.
3. Déterminer la variation d’énergie cinétique entre A et B, B et C puis C et D.
4. Quelle est est l’énergie potentielle de pesanteur du skieur en A si l’origine est en B ?
5. Comparer cette énergie potentielle de pesanteur (qui représente la différence d’énergie potentielle entre
A et B) à la variation d’énergie cinétique du skieur entre les points A et B. Que peut-on conclure ?
6. Sur quelle portion de la piste la vitesse du skieur est-elle maximale ? La calculer.
7. Que peut-on dire du résultat précédent ? Les forces de frottement peuvent-elles être négligées ?
17

Quelques phénomènes optiques
Nécessite l’optique et la trigonométrie, difficulté moyenne

Lentille
Une lentille est un élément homogène, isotrope, transparent, traditionnellement en verre, dont au moins
l’une des faces n’est pas plane et destiné à faire converger ou diverger la lumière. Le symbole en double
flèche est utilisé dans le cas des lentilles minces, qui permet de simplifier les constructions grâce à certaines
approximations lorsque l’on respecte les conditions de Gauss, c’est à dire lorsque les rayon qui frappent la
lentille frappent à proximité du centre optique de la lentille et que leur direction est proche de l’axe optique.
Après avoir expliqué les méthodes de construction
de l’image d’un objet par une lentille, on présentera la notion de distance algébrique puis on démontrera les formules de conjugaison et de grossissement :
0B0
0
0
1
1
1
= OA
= OB
.
– AAB
– OA
− OA
= OF
.
0
0
OA
OB
2

– F 0 A0 · F A = −OF 0 .



A0 B 0
AB

0

0

= − FOFA0 =

OF 0
.
FA

Déviation de la lumière par un prisme
Du point de vue de l’optique géométrique, un prisme est l’association de deux dioptres plans non parallèles. On suppose le
prisme placé dans l’air (indice 1) et on note n l’indice du prisme.
On commencera par démontrer mathématiquement les formules :
– D = i + i0 − A
– A = r + r0
Puis on montrera à l’aide des lois de Snell - Descartes :
– sin(i) = n sin(r)
– sin(i0 ) = n sin(r0 )
On note arcsin la fonction réciproque de sin. Pour x ∈ [−π, π], on a sin(x) = y ⇔ x = arcsin(y). On a alors
D = i+i0 −A = i+arcsin(n·sin(r0 ))−A = i+arcsin(n·sin(A−r))−A = i+arcsin(n·sin(A−arcsin( sin(i)
n )))−A.
On constate expérimentalement l’existence d’un minimum de la valeur de D lorsqu’on fait varier l’angle
d’incidence. On note Dm ce minimum de déviation. Le retour inverse de la lumière montre alors simplement
que la configuration pour ce minimum est nécessairement symétrique. Ceci a donc lieu quand i = i0 et r = r0 .
On en déduit que r = A2 et i = Dm2+A puis que n · sin( A2 ) = sin( Dm2+A ), ainsi Dm = 2 arcsin(n · sin( A2 )) − A.
Les prismes sont utilisés pour dévier ou réfléchir la lumière dans différents dispositifs
optiques (les jumelles, par exemple) ; ils sont une alternative aux miroirs. En ce qui
concerne la propriété de dispersion des couleurs, en spectroscopie, les prismes ont
souvent été remplacés par des réseaux. (Parfois on utilise les deux)

Fibres optiques
Entourée d’une gaine protectrice, la fibre optique peut être utilisée pour conduire de la lumière entre
deux lieux distants de plusieurs centaines, voire milliers, de kilomètres. Le signal lumineux codé par une
variation d’intensité est capable de transmettre une grande quantité d’informations. En permettant les
communications à très longue distance et à des débits jusqu’alors impossibles, les fibres optiques ont constitué
l’un des éléments clefs de la révolution des télécommunications optiques. Leurs propriétés sont également
exploitées dans le domaine des capteurs (température, pression, ...), dans l’imagerie et dans l’éclairage.

18


Aperçu du document Livret 1S GICS.pdf - page 1/18
 
Livret 1S GICS.pdf - page 3/18
Livret 1S GICS.pdf - page 4/18
Livret 1S GICS.pdf - page 5/18
Livret 1S GICS.pdf - page 6/18
 




Télécharger le fichier (PDF)


Livret 1S GICS.pdf (PDF, 738 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP




Documents similaires


moisiliana14 nouveau7
livret 1s gics
arithmetiques
olympiades 2001 2005
exo pre rentree
171930 c05 prof corriges

Sur le même sujet..




🚀  Page générée en 0.359s