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Titre: Microsoft Word - CH1.DOC
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1

Chapitre-1
Propagation d'une onde
1.1- Définition
Lorsqu'une source émet un signal et crée une perturbation locale d'une grandeur physique, cette
perturbation se transmet de proche en proche constituant ainsi une onde qui se propage dans le
milieu environnant.
La source détermine la nature physique et temporelle de la perturbation; le milieu conditionne la
propagation de l'onde.
La grandeur physique qui se propage peut être de nature vectorielle (le champ électrique par
exemple) ou scalaire (pression sonore ou intensité d'un courant par exemple).
L'onde se propage avec une vitesse v sans qu'il y ait transport de matière entre la source et le
point atteint par la perturbation. Pourtant une onde transporte de l'énergie: chaque point atteint
par l'onde sert de relais entre le point précédent et le point suivant.

S

M
x

s(x0, t0)

s(x, t)

Figure-1 :La
grandeur s a la
même valeur en S et
M

Dans le cas idéal, le signal, qui se propage, n'est ni atténué ni déformé par le milieu de
propagation. Un point quelconque M , atteint par l'onde, va alors subir une perturbation identique
à celle qu'engendre la source S à l'instant t mais retardé de t 0 :
s ( x, t ) = s ( x 0 , t − τ )

τ représente le temps nécessaire à la propagation du signal depuis le point source S jusqu'au
point M . Pour un milieu homogène et isotrope on a:
v=

x − x0

τ

La vitesse de propagation v dépend du milieu de propagation et des caractéristiques de la
source, éventuellement de la direction de propagation (milieu anisotrope ) et du point atteint par
l'onde (milieu inhomogène ).
Si on fixe x 0 et t 0 , s est une fonction f de la variable t −

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x
:
v

2

s ( x, t ) = s ( x 0 , t −

x x0
x
+ ) = f (t − )
v v
v

s ( x, t ) est appelée fonction d’onde, solution de l’équation de propagation.

1.2- Equation de propagation
La fonction d’onde s ( x, t ) est telle que :

∂2
1 ∂2

s=0
s
∂x 2
v 2 ∂t 2

(1-1)

Plus généralement la fonction d’onde s (r , t ) satisfait à l’équation de propagation :
1 ∂2s
∆s − 2 2 = 0
v ∂t
Où ∆ =

(1-2)

∂2
∂2
∂2
+
+
est l’opérateur Laplacien.
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

1.3- Résolution de l’équation de propagation
♦L’équation de propagation est linéaire par rapport à s .Toute combinaison linéaire de solutions
est aussi une solution de l’équation.
♦Nous allons étudier trois types de solutions classiques : onde plane, onde sphérique et onde
stationnaire.

1.3.1- Solution onde plane
Une onde est plane si sa fonction d’onde s ne dépend que de l’abscisse sur l’axe de propagation,
appelons-le Ox , et du temps. La fonction d’onde s a alors même valeur à un instant donné
quelconque en tout point d’un plan quelconque perpendiculaire à la direction de propagation

Ox . Un tel plan s’appelle le plan d’onde. Dans ces conditions, on montre que la solution de
l’équation de propagation à une dimension (I-1) est sous la forme :
x
x
s ( x, t ) = f (t − ) + g (t + )
v
v
f se propage dans le sens positif de l’axe des x avec la célérité v , tandis que g est une onde de
même type se propageant en sens inverse. Les ondes f et g sont des ondes planes
progressives.

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3
On peut éliminer dans la fonction d’onde s le choix de l’axe de coordonnées

r
x

Figure-2 :

O
u

x = u.r

x

s = f (t −

u.r
u.r
) + g (t −
)
v
v

Un cas particulier important d’onde plane progressive est celui des ondes sinusoïdales :

s = s m cos(ω (t −

u.r
) + Φ ) = s m cos(ωt − k .r + Φ )
v

(1-3)

s m est l’amplitude de l’onde et (ωt − k .r + Φ ) sa phase.
-

le vecteur d’onde : k =

ω
v

u est appelé vecteur d’onde qui est colinéaire à la direction

de propagation.
La fonction d’onde s a une double période :


-

la période temporelle T =

-

la période spatiale qui est la longueur d’onde λ = vT =

ω

k

La longueur d’onde dépend de la vitesse de propagation dans le milieu.
- la surface d’onde : par définition on appelle surface d’onde la surface sur laquelle
l’onde a une même phase (ω t -k.r +Φ) à instant donné quelconque. Pour une onde plane, le
qualificatif « plane » vient du fait que ses surfaces d’onde sont des plans perpendiculaires à la
direction de propagation.
- Représentation complexe de la fonction d’onde :
A la fonction sinusoïdale s on associe la fonction complexe s telle que

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4

s = Re

[ s ] = 1 ( s + s* )
2

où s * est le complexe conjugué de s tel que :

s = s m exp i (ωi (ωk.r )

avec

 s m = s m exp iΦ

 sm f 0

Dans la suite on utilisera souvent la notation complexe.

1.3.2- Solution onde sphérique
On a une onde sphérique lorsque sa fonction d’onde s dépend seulement du temps et de la
distance r à un centre fixe O, soit s (r , t ). En exprimant le laplacien en coordonnées sphériques
et en éliminant les dérivées partielles par rapport aux variables θ et ϕ , l’équation de propagation
se réduit sous la forme suivante :
1 ∂ 2 (rs ) 1 ∂ 2 s
− 2 2 =0
r ∂r 2
v ∂t
r et t sont des variables indépendantes. Par conséquent :

∂ 2 ( sr ) 1 ∂ 2 (rs )
− 2
=0
∂r 2
v ∂t 2

rs satisfait à l’équation des ondes planes. D’où :
s(r , t ) =

1
r 1
r
f (t − ) + g (t + )
r
v r
v

g se propage vers le centre O et f du centre vers l’extérieur.
Remarquons que si l’onde sphérique est sinusoïdale ses surfaces d’ondes sont des sphères de
centre O.

1.3.3- Solution onde stationnaire
L’onde est stationnaire si sa fonction d’onde est sous la forme

s (r , t ) = g (r ) f (t )

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(1-4)

5
les variables d’espace ( x, y, z ) sont séparées de la variable temps dans la fonction d’onde. En
reportant dans l’équation de propagation (I-2)
∆( gf ) −

f " (t )
=v
f (t )

1
gf "
v2
2 ∆g ( r )

g (r )

Ce rapport est indépendant du temps et de l’espace.

Examinons le cas où ce rapport est négatif : − ω 2
f "+ω 2 f = 0 ⇔ f (t ) = a cos(ωt + ϕ )
∆g +

ω

g =0
v2
Cette équation ne se résout simplement que dans le cas des ondes planes, g étant fonction de la
seule variable x et posons k =

ω

v
g "+ k g = 0 ⇔ g ( x) = a cos kxt + φ )
La solution de l’équation de propagation est alors :
2

s ( x, t ) = A cos(ωt + ϕ ) cos(kx + φ )

(1-5)

Figure-3 : Amplitude de l’onde stationnaire
s

ventre

nœud

A

x

O
-A

λ/2

λ/2

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6

♦Les points de l’espace où l’amplitude de l’onde est nulle s’appellent les nœuds de l’oscillation
de l’onde stationnaire :
1
λ  2n + 1
1 Φ λ
 
kx + Φ = (n + )π

x=

Φ
=
n
+

π
 
2
2π  2
2 π  2
Les nœuds sont équidistants de

λ
2

.

♦Les points de l’espace où l’amplitude de l’onde est maximale s’appelle les ventres de
l’oscillation de l’onde stationnaire :
λ
kx + Φ = nπ ⇒
[nπ − Φ ] = n − φ  λ
x=

 π2
Les nœuds sont aussi équidistants de

λ
2

♦Un nœud et un ventre consécutifs sont séparés par

λ
4

On peut montrer qu’une onde stationnaire est une superposition de deux ondes planes
sinusoïdales progressives de même pulsation et de même amplitude se propageant en sens
contraire. Pour ce faire transformons (I-5) en somme :
s ( x, t ) =

A
A
cos[ωt − kx + ϕ − φ ] + cos[ωt + kx + ϕ + φ ]
2
2

Inversement Une onde plane sinusoïdale progressive est la superposition de deux ondes
stationnaires en quadrature
s ( x, t ) = s 0 cos(ωt − kx + ϕ )
= s 0 cos ωt cos(kx − ϕ ) + s 0 sin ωt sin(kx − ϕ )

La solution générale de l’équation de propagation en onde plane de direction donnée étant une
superposition d’ondes sinusoïdales progressives, c’est aussi une superposition d’ondes
sinusoïdales stationnaires.
.Le cas où le rapport est positif ou nul :
La fonction f (t ) est alors soit une combinaison de fonctions exponentielles réelles, soit une
fonction affine du temps. Elle ne peut exister comme telle sur l’intervalle ]− ∞,+∞[ car f (t ) est
nécessairement bornée.

1.41.4- Solution de l’équation d’onde avec conditions aux limites
Le domaine de propagation est limité par une frontière. La fonction d’onde doit y satisfaire à des
conditions aux limites.

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Dans de nombreux cas les conditions aux limites imposent à l’onde d’être nulle où d’avoir une
dérivée par rapport aux temps nulle sur les frontières du domaine.
Traitons le cas d’ondes planes dans un domaine limité par deux plans parallèles au plan d’onde.
Si on décompose l’onde en ondes stationnaires, ces mêmes propriétés doivent être vérifiées par
les ondes composantes. Ces plans limites sont donc soit des plans de nœuds de l’onde ( onde
nulle), soit des plans de ventres (dérivée nulle).
♦ Si les conditions aux limites sont les mêmes la distance d de ces plans doit vérifier :
λ
d = m
avec m = 1,2 , .... ;
2
2d
c
c
λm =
νm =
= m
Les modes qui peuvent exister sont :
;
m
λm
2d
♦ Si les conditions aux limites sont différentes :
λ
d = ( 2m − 1 )
avec m = 1,2 , .... ;
4

Les modes qui peuvent exister sont :

λm =

4d
;
( 2m-1 )

νm =

c
c
= ( 2m-1 )
λm
4d

Les fréquences ν m ainsi obtenues sont les fréquences propres de la cavité comprise entre les
deux plans. Les ondes stationnaires correspondantes sont les modes propres d’oscillation.
Les fréquences ν m ainsi obtenues sont les fréquences propres de la cavité comprise entre les
deux plans. Les ondes stationnaires correspondantes sont les modes propres d’oscillation.

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Complément
Influence de la dispersion. Vitesses de groupe et de
phase
On appelle relation de dispersion la relation liant le vecteur d’onde k et la pulsation ω . Dans
un milieu de propagation non dispersif la vitesse de phase des ondes sinusoïdales est
indépendante de la fréquence et nous avons k et ω proportionnelles : k =

ω

. Il y a dispersion
v
lorsque la célérité des ondes est fonction de la fréquence ; dans ces conditions k et ω ne sont pas
proportionnelles : k (ω ) =

ω
v(ω )

Une onde quelconque est une superposition d’ondes sinusoïdales qui satisfait chacune à une
équation de propagation du type (I-2).
Lorsque la célérité dépend de la fréquence, les diverses ondes d’un paquet d’ondes se propagent à
des vitesses différentes. Il se produit des décalages entre elles qui varient au cours de la
propagation et le maximum d’amplitude obtenu par superposition de ces ondes se déplace par
rapport à celle-ci. Pour illustrer ce que nous venons de dire considérons l’exemple ci-dessous.

Cas discret de trois ondes :
Commençons par comprendre qualitativement le comportement de s ( x, t ) dans le temps, en
x = 0 , en étudiant un cas particulier très simple : s ( x = 0, t ) est la somme de trois ondes planes,
seulement :

s1 (0, t ) = a1 exp− iωt

avec

∆ω
)t
2
∆ω
s3 (0, t ) = a 3 exp− i (ω +
)t
2

s 2 (0, t ) = a 2 exp− i (ω −

avec
avec

a1 = 1
1
2
1
a3 =
2
a2 =

s (0, t ) = s1 (0, t ) + s 2 (0, t ) + s 3 (0, t ) = exp iωt [ a1 + a 2 + a 3
= exp iωt

(I-6)

]

[ 1 + cos( ∆ω t ) ]
2

On voit que s (0, t ) est maximal lorsque t = 0 ; Ce résultat est dû au fait que, lorsque t prend
cette valeur, les trois ondes sont en phase et interfèrent constructivement, comme le montre la

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9

figure-4. Au fur et à mesure que le temps s’écoule les ondes se déphasent l’une par rapport à
l’autre, et s (0, t ) décroît. L’interférence devient destructive lorsque le déphasage entre l’onde 1
et l’onde 2 et 3 est égal à t = ±

∆t
, ∆t étant donné par :
2
∆t ∆ω = 4π

L’intervalle de temps ∆t est d’autant plus grand que la largeur de ∆ω et plus petite.

s (0, t ) est périodique, et présente donc une série de maximums et minimums. Ceci provient du
fait que s (0, t ) est la superposition d’un nombre fini d’ondes (ici trois) ; pour une superposition
continue d’une infinité d’ondes un tel phénomène ne se produit pas, et s (0, t ) peut n’avoir qu’un
seul maximum.

P a q u e t d 'o n d e s p la n e s e n x = 0

0

1

2

3
t (s )

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4

5

6

7

10

Figure-4 : nous avons représenté les parties réelles des trois ondes 1, 2 et 3 respectivement du
haut vers le bas. En x = 0 , les trois ondes sont en phase et interfèrent constructivement ; lorsque
le temps s’écoule elles se déphasent les unes par rapport aux autres et interfèrent
∆ω
destructivement pour t = ±
.
2
Sur la partie inférieure de la figure, on a représenté Re[s (t )] . La courbe en pointillé correspond
∆ω 

à la forme 1 + cos
t qui, d’après (I-6), donne Re[s (t )] (c’est à dire la forme du paquet
2 

d’ondes).
On voit que s (0, t ) est maximal lorsque t = 0 ; ce résultat est dû au fait que, lorsque t prend
cette valeur, les trois ondes sont en phase et interfèrent constructivement, comme le montre la
figure-4. Au fur et à mesure que le temps s’écoule les ondes se déphasent l’une par rapport à
l’autre, et s (0, t ) décroît. L’interférence devient destructive lorsque le déphasage entre l’onde 1
∆ω
.
2
s (0, t ) est périodique, et présente donc une série de maximums et minimums. Ceci provient du

et l’onde 2 et 3 est égal à t = ±

fait que s (0, t ) est la superposition d’un nombre fini d’ondes (ici trois) ; pour une superposition
continue d’une infinité d’ondes un tel phénomène ne se produit pas, et s (0, t ) peut n’avoir q’un
seul maximum.

Cas d’un continuum d’ondes

Figure-5 :Courbes
dispersion.
k
Milieu dispersif :

k=

ω

km

ω
v

Milieu non dispersif
km
2

∆ω
ω

ω1

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ωm

ω2

de

- Dans un milieu non dispersif
k est proportionnel à ω .
- Lorsque le milieu est
dispersif la vitesse de phase de
l’onde est fonction de la
fréquence. Supposons que les
variations de k en fonction de
ω présente un pic en ω m et
une largeur à demi-hauteur
∆ω .

11
Traitons maintenant un paquet d’ondes général. Supposons que la courbe de dispersion,
représentée dans figure-5, présente un pic de largeur ∆ω et centré en ω = ω 0 .
La fonction complexe associée à l’onde peut s’écrire en choisissant l’axe des x dans la direction
de propagation :
ω2

s ( x, t ) = ∫ a (ω ) exp

j(ωt − kx)



ω1

Lorsque ∆ω est suffisamment petit, on peut développer k (ω ) au voisinage de k 0 :k

 dk 
k − k m ≈ (ω − ω m )

 dω  m
s ( x, t ) = exp

j (ω mt −km x)

ω2

∫ a(ω ) exp

j (ω −ω m )[t −(

dk
)m x ]



ω1

j[ω t − k x]
m
m
exp
s ( x, t ) =
144
42444
3
Onde sinusoidale

de periode Tm =

dk
j[(ω − ω ) [t − ( ) x] ]
m
dω m

+∞



d(ω − ω m )
a '(ω − ω m ) exp
1444444444442444444444443
C' est une fonction
−∞

ωm

A [ t-(

qui se propage à la célérité

ω

v = m
m k

dk
)m ]


m

2π A étant la transformée de Fourier de a'
Les fonctions ± 2π A forment une enveloppe des ondes de pulsation ω m .Ces ondes se
propagent en restant à l’intérieur de l’enveloppe à la célérité v m .
L’enveloppe elle-même se déplace à la vitesse :
vg = (


)m
dk

appelée vitesse de groupe du paquet d’ondes. C’est la vitesse de phase des ondes composantes.

Le maximum de l’amplitude de l’onde résultante se déplace à la vitesse de groupe. C’est ce
maximum qui transporte de l’énergie et donc détecté par les appareils.

Y. Marouan/2005-06



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