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Points rationnels sur les courbes elliptiques
Jordan Launay
2011

Table des matières
1 Introduction

2

2 Principe et définitions
2.1 Les cubiques non singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Intersections de courbes algébriques . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
3

3 Loi
3.1
3.2
3.3

de groupe : naissance des courbes elliptiques
Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Définition de l’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courbes et Fonctions elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
7
7
12

4 Points d’ordre fini
13
4.1 Points d’ordre 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Points rationnels : le théorème de Nagell-Lutz . . . . . . . . . . . 15
4.3 Les points rationnels d’ordre fini sont à coordonnées entières . . 16
1

1

Introduction

Nous connaissons tous le fameux théorème de Pythagore qui énonce que si
a, b et c désignent les longueurs des côtés d’un triangle, c étant la plus grande,
alors le triangle est rectangle si et seulement si a2 + b2 = c2 .
Il est clair qu’il existe une infinité de triangle rectangles, mais qu’en est-il de
ceux dont les côtés ont tous des longueurs entières ?
Il n’est pas trop difficile de trouver des premiers exemples de tels triangles
rectangles, par exemple le triangle rectangle dont les côtés ont pour longueur
3, 4 et 5 ou encore 5, 12 et 13. Mais en quelle quantité peut-on trouver de tels
triplets, dits triplets Pythagoriciens ?
Cette question d’ordre géométrique se ramène à la résolution d’une équation
diophantienne, ie une équation algébrique dont on cherche les solutions entières,
puisqu’il s’agit de déterminer les triplets d’entiers (x, y, z) tels que x2 + y 2 = z 2
En divisant chaque membre par z, nous sommes amenés à chercher les solutions rationnelles de l’équation X 2 + Y 2 = 1. Nous reconnaissons l’équation
du cercle unité. Ainsi, la recherche des triplets pythagoriciens se ramène à la
recherche des points du cercle unité dont les coordonnées sont rationnelles. Un
tel point est naturellement appelé "point rationnel" du cercle unité. Plus généralement, un point rationnel d’une courbe algébrique est un point de la courbe
dont les coordonnées sont des nombres rationnels.
Dans cet exposé, nous allons étudier les points rationnels non pas sur des
coniques comme le cercle, mais sur des cubiques, en définissant une arithmétique sur ces dernières, qui prennent alors le nom de courbes elliptiques. Plus
particulièrement, nous étudierons des points rationnels particuliers, dits d’ordre
fini.

2

Principe et définitions

Nous allons munir les cubiques non-singulières d’une structure de groupe
additif, en construisant de façon géométrique la somme de deux points.
Dans un premier temps, nous commençons par faire quelques rappels sur les
cubiques :

2.1

Les cubiques non singulières

On appelle cubique une courbe algébrique de degré 3, ie définie dans l’espace projectif P1 (C) par une équation P (X, Y, Z) = 0 où P ∈ C[X, Y, Z] est
homogène de degré 3.
Une cubique est donc donnée par une équation générale de la forme :
a1 Z 3 + a2 ZY 2 + a3 ZX 2 + a4 ZXY + a5 Z 2 X + a6 Z 2 Y + a7 X 3 + a8 Y 3 +
a9 X 2 Y + a10 XY 2 = 0
Pour certaines cubiques, nous pouvons affiner cette forme pour arriver à la
forme de Weierstrass. Pour cela, nous avons besoin que la cubique admette au
moins un point rationnel, ce que nous supposerons toujours par la suite.
2

On a bien
32 + 42 = 52 et
52 + 122 = 132

Nous choisissons donc un point O sur la cubique C. Prenons alors pour axe
des Z la tangente à C passant par O. Cette dernière recoupe la cubique en un
certain point. Nous prenons pour axe des X la tangente à C passant par celui-ci.
Finalement, nous choisissons pour l’axe des Y n’importe quel axe passant par
O.
Ce choix des axes ainsi fait, nous effectuons la transformation projective
suivante :
x=

X
Y

et t =

Y
Z.

qui permet d’envoyer la courbe dans un plan (x, y).
Tous calculs effectués, nous obtenons une nouvelle forme pour l’équation de
C :
xt2 + (ax + b)xt = cx2 + dx + e
En posant y = xt et en complétant le carré à gauche, on obtient finalement
la forme réduite :
y 2 = P (x3 ) où P ∈ C3 [X]
Quitte à poser Y = k 2 x et X = kx où k est le coefficient de x3 dans P , nous
pouvons nous ramener à une première forme réduite :
y 2 = x3 + ax2 + bx + c
On peut éliminer le terme en x2 , par le changement de variable affine x 7→
x − 13 a et obtenir la forme réduite suivante, dite de Weierstrass :
y 2 = x3 + ax + b
Nous choisirons, en précisant à chaque fois, l’une des deux formes réduite
trouvées précédemment. Nous appelons cubique rationnelle (resp. entière)
une cubique dont les coefficients dans la forme de Weierstrass sont rationnels
(resp. entiers).
Les cubiques qui vont nous intéresser par la suite sont les cubiques nonsingulières, qui correspondent à celles dont le discriminant ∆ = 4a3 + 27b2 est
non nul. Cette condition correspond au fait que le polynôme P dans l’équation
y 2 = P (x) n’a que des racines simples.
A présent, nous allons résumer quelques résultats qui serviront de base aux
deux parties principales de l’exposé :

2.2
2.2.1

Intersections de courbes algébriques
Le théorème de Bezout

Nous allons comme dit précédemment munir les courbes elliptiques d’une
structure de groupe. Pour cela, nous aurons besoin de considérer dans nos démonstrations des intersections de cubiques. Nous allons énoncer deux résultats
importants.
Théorème 2.1. (de Bezout)
Soient P et Q deux polynômes de C[X, Y, Z] homogènes et de degrés respectifs
p et q, sans facteurs irréductibles communs, alors :
3

Figure 1 – Une cubique
card{(X, Y, Z) ∈ C3 , P (X, Y, Z) = Q(X, Y, Z) = 0} ≤ pq
Nous pouvons reformuler ce théorème d’un point de vue géométrique :
Théorème 2.2. (de Bezout, version géométrique)
Deux courbes algébrique de degrés 1 p et q se croisent soit en une infinité de
points, soit en pq points.
Précisons que dans ce théorème, les points peuvent être à coordonnées complexes et sont comptés avec multiplicité. Nous ne démontrons pas ce théorème,
dont la preuve est longue et technique, puisque nous n’aurons besoin que d’un
cas très particuliers dont la démonstration est, elle, évidente.
Le cas qui nous intéresse dans cet exposé est celui des cubiques, c’est à dire
le cas p = q = 3 le théorème disant alors pour des cubiques sans composantes
communes :
deux cubiques se croisent en 9 points
En réalité, le résultat qui va vraiment nous intéresser est le cas où l’une des
deux cubiques est la réunion de trois droites. Si une droite coupe une cubique en
deux points, elle la coupera en un troisième point, quitte à ce qu’il soit confondu
avec un des deux autres, qui prend alors l’appelation de "point double". Nous
avons déjà utilisé ce résultat pour arriver à la forme de Weierstrass de l’équation
1. rappel : Une courbe algébrique de degré n est définie par une équation P (X, Y, Z) = 0
où P est homogène de degré n p et q

4

Figure 2 – cubique avec un point singulier
d’une cubique, il découle du fait que la recherche des points d’intersection d’une
droite et d’une cubique conduit à la résolution d’une équation de degré 3, qui a
donc bien 3 solutions complexes à multiplicité près.
Ainsi, une droite coupant une cubique en 3 points, la réunion de 3 droites
(distinctes) va la couper en 9 points, et on obtient bien le cas particulier du
théorème de Bezout qui va nous être utile par la suite.
2.2.2

Le théorème des huits points

Nous disposons aussi du théorème suivant :
Théorème 2.3. (des huits points)
Si une cubique passe par huit des neufs points d’intersection de deux autres
cubiques, alors elle passe aussi par le neuvième point.
Démonstration. La preuve repose sur une constatation simple :
5

Figure 3 – Intersection de deux cubiques
Pour construire une cubique passant par un certain nombre de points, on
a besoin de 10 coefficients. Comme l’équation n’est pas modifiée lorsqu’on la
multiplie par une constante, on a en réalité 9 coefficients à trouver. Autrement
dit, l’espace des cubiques est de dimension neuf.
Imposer à une cubique de passer par un point fournit une équation linéaire
de ces neufs coefficients. Ainsi, la famille des cubiques qui passent par 8 points
données est de dimension un.
Notons alors C1 et C2 nos deux cubiques définies respectivement par des
équations P (x, y) = 0 et Q(x, y) = 0, qui se rencontrent en neuf points d’après
le théorème de Bezout
Pour trouver une cubique passant par huit de leur neufs points d’intersection,
il suffit de prendre une combinaison linéaire λP (x, y) + µQ(x, y). Alors, comme
la famille des cubiques passant par ces huit points choisis est de dimension un,
on en déduit que toute cubique de cette famille a une équation de la forme
λP (x, y) + µQ(x, y) = 0.
Et puisque les coordonnées du neuvième point d’intersection annulent P et Q,
elles annulent aussi leurs combinaisons linéaires. Le neuvième point appartient
donc à toute cubique passant par les huit autres points.
2.2.3

Intersections de courbes rationnelles

Une fois les cubiques structurées, nous allons étudier leurs points rationnels.
Les remarques suivantes seront alors utiles :
Proposition 2.1.
Si une droite contient deux points rationnels, alors on peut en trouver une équation à coefficients rationnels.
Démonstration. le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine s’écrivent comme
somme et produit des coordonnées des deux points considérés
Proposition 2.2.
6

Si une droite passe par deux points rationnels d’une cubique rationnelle, alors
le troisième point d’intersection est rationnel.
Démonstration. Les trois points d’intersections sont les trois solutions d’une
équation du troisième degré à coefficients rationnels, ainsi, si deux solutions sont
rationnelles, la troisième l’est aussi puisque leur somme est égal au coefficient
du monôme de degré 2.

3
3.1

Loi de groupe : naissance des courbes elliptiques
Préliminaires

Si l’on veut donner un sens à l’addition de deux points P et Q sur une cubique, il semble assez naturel de décider que leur somme est le troisième point
issu de l’intersection entre la cubique et la droite formée par les deux points
qu’on veut additionner. Notons le P ⊕ Q

Figure 4 – Pseudo-somme
Le problème de cette définition est que, de manière évidente, la loi ⊕ n’admet
aucun élément neutre, et donc a fortiori, ce ne peut être une loi de groupe.
Pour rectifier cela, nous pouvons modifier la construction précédente comme
nous allons le voir dans la section suivante

3.2

Définition de l’addition

On choisit arbitrairement un point O sur la cubique . Soient P et Q les deux
points que l’on veut sommer.

7

Figure 5 – construction géométrique de la somme
Définissons sur la cubique la loi + par P + Q = O ⊕ (P ⊕ Q).
Nous pouvons alors énoncer le théorème fondamental suivant :
Théorème 3.1. La loi + confère à toute cubique non-singulière une structure
de groupe abélien. La donnée d’une cubique et de sa loi de groupe s’appelle
courbe elliptique
Pour prouver ce théorème, il suffit de démontrer les axiomes qui définissent
une loi de groupe abélien : caractère interne, associativité, existence d’un neutre,
commutativité.
Seule l’associativité est délicate à obtenir. Commençons par démontrer les
choses simples :
1. Caractère interne de la loi :
Immédiat par construction
2. Existence d’un élément neutre :
C’est le point O qui joue le rôle de neutre : P + O = O ⊕ (P ⊕ O) = O
3. Commutativité :
La définition de P + Q ne dépend uniquement que de P ⊕ Q qui, par
construction, ne dépend pas de l’ordre de P et Q :
P + Q = O ⊕ (P ⊕ Q) = O ⊕ (Q ⊕ P ) = Q + P
Avant de démontrer le caractère associatif de la loi, donnons une méthode
pour calculer l’opposé d’un point P quelconque :
Construction de −P : Soit P un point de la cubique. Construisons la tangente à cette dernière en O et notons I le deuxième point d’intersection entre
cette cubique et la tangente. Alors −P = P ⊕ I.
En effet :
P + (P ⊕ I) = O ⊕ (P ⊕ (P ⊕ I)) = O ⊕ I = O
A présent, passons au point le plus difficile :
8

Figure 6 – Construction géométrique de l’opposé
3.2.1

Démonstration de l’associativité

Soient P , Q et R trois points distincts de la cubique. Nous souhaitons montrer que :
(P + Q) + R = P + (Q + R)
Tout d’abord, remarquons qu’il suffit de montrer que (P + Q) ⊕ R = P ⊕
(Q + R), puisqu’alors :
(P + Q) + R = O ⊕ [(P + Q) ⊕ R] = O ⊕ [P ⊕ (Q + R)] = P + (Q + R)
Ceci dit, considérons alors les neufs points O, P , Q, R, P ⊕ Q, P + Q, Q ⊕ R
et Q + R.
On trace toutes les droites possibles joignant deux à deux ces points, qu’on
divise en deux ensembles de trois droites, comme sur le dessin suivant.
Les droites joignant respectivement P et Q + R, et R et P + Q s’intersectent en un point. Comme elles croisent toutes les deux la cubiques en les
points (P + Q) ⊕ R et respectivement P ⊕ (Q + R), il suffit de montrer que
l’intersection des deux droites est sur la cubique, ce qui prouvera bien que
(P + Q) ⊕ R = P ⊕ (Q + R).
Considérons alors la réunion des trois droites pleines comme premier ensemble et la réunion des trois droites en pointillé comme deuxième. La réunion
de trois droites formant une cubique, on obtient ainsi deux cubiques dégénérées
avec neufs points d’intersections.
La cubique originale passe par huit de ces points. D’après le théorème des
huits points, elle passe donc aussi par le neuvième point, ce qu’il fallait démontrer.
Nous avons finalement bien démontré que la loi + était une loi de groupe.
Cependant, nous avons vu dans sa construction qu’elle dépendait du choix du
neutre O.
Le choix du neutre influe sur les calculs, mais pas sur la structure, comme
l’énoncé la proposition évidente suivante :
9

Figure 7 – Associativité de l’addition
Proposition 3.1. Soit C une cubique et + et ∗ deux additions sur C ayant
pour neutre deux points distincts O et O′ . Alors les courbes elliptiques (C, +) et
(C, ∗) sont isomorphes, via l’isomorphisme :
P 7→ P + (O′ − O)
Nous faisons alors le choix, pour la suite de l’énoncé, de prendre le point
O à l’infini, les droites passant par O étant alors les droites verticales.
Nous donnons maintenant le principe des calculs explicites de coordonnées :
3.2.2

Calculs analytiques

Nous étudions les cubiques dont l’équation peut se mettre sous la forme
normale C : y 2 = x3 + ax2 + bx + c. Comme nous l’avons vu, ce sont les cubiques
qui admettent au moins un point rationnel.
coordonnées de −P
Si (x, y) sont les coordonnées de P , alors les coordonnées de −P sont (x, −y)
coordonnées de P + Q pour P 6= Q
Posons P (x1 , y1 ) et Q(x2 , y2 )
– Si x1 = x2 , alors P + Q = 0
– Si x1 6= x2 :
−y1
et µ = yi − λxi
La droite (P Q) a pour équation y = λx + µ avec λ = xy22 −x
1
quel que soit i ∈ {1, 2}
Posons (x3 , y3 ) les coordonnées de P ⊕ Q, les coordonnées de P + Q étant
alors (x3 , −y3 ).
Alors, par définition :

10

Figure 8 – Le neutre est pris à l’infini
(
y32 = x33 + ax2 + bx + c
y3 = λx3 + µ
Ainsi :
(λx3 + µ)2 = x33 + ax23 + bx3 + c
d’où :
x3 + (a − λ)2 x2 + (b − 2λµ)x + c − µ2 = 0
x1 , x2 et x3 étant les trois racines de cette équation, on en déduit d’après
les relations racines/coefficient chez les polynômes que :
x3 + x2 + x1 = λ2 − a
c’est à dire :
x3 = λ2 − a − x1 − x2 et y3 = λx3 + µ

Coordonnées de 2P
Le principe est le même que pour le calcul précédent, à l’exception que la
droite (P Q) est remplacée par la tangente en P , qui a alors pour coefficient
directeur :
λ=

dy
dx

=

11

f ′ (x)
2y

où y = f (x) = x3 + ax2 + bx + c
En substituant λ par cette valeur dans la formule trouvée dans le paragraphe
ci-dessus, on obtient :
x2P =

[f ′ (x)]2
4y 2

− a − 2x1

Après réduction et en remplaçant y 2 par x3 + ax2 + bx + c, on obtient la
formule explicite :

x2P =

x4 −2bx2 −8cx+b2 −4ac
4x2 +4ax2 +4bx+4c


Pour clore cette section, nous allons donner brièvement le lien entre les
courbes elliptiques et les fonctions elliptiques, à travers ce qu’on appelle l’uniformisation :

3.3

Courbes et Fonctions elliptiques

Soient deux complexes ω1 et ω2 non proportionnels, nous considérons le
groupe L = Zω1 + Zω2 = {nω1 + mω2 , (n, m) ∈ Z2 } appelé réseau.
Nous définissons alors sur C la fonction ℘ de Weierstrass par

℘(z) =

X
1
1
1
+
− 2
2
z2
(z

ω)
ω

ω∈L

Cette fonction est méromorphe, ses pôles étant les points du réseau L. Nous
ne le prouverons pas, mais cette fonction est doublement périodique :
∀z ∈ C, ℘(z + ω1 ) = ℘(z + ω2 ) = ℘(z)
Ainsi :
∀z ∈ C, ∀ω ∈ L, ℘(z + ω) = ℘(z)
Une telle fonction s’appelle fonction elliptique. On peut montrer que d’une
certaine façon, toutes les fonctions elliptiques s’obtiennent à l’aide de la fonction
de Weierstrass.
En outre, quelques calculs permettent de montrer que ℘ satisfait une équation différentielle de la forme :
(℘′ )2 = 4℘3 − g2 ℘ − g3
On reconnait l’équation d’une cubique. Ainsi, à un certain réseau du plan
complexe donné est associée une cubique donnée.
Réciproquement, une cubique sous forme de Weierstrass peut s’écrire sous
la forme :
y 2 = 4x3 − g2 x − g3
12

à cette cubique est associée un certain réseau Zω1 + Zω2 où ω1 et ω2 . Plus
précisément, nous avons le théorème d’uniformisation suivant :
Théorème 3.2. (Uniformisation) Soit Γ(C) l’ensemble des points complexes
d’une cubique C. Il existe à homothétie près un unique réseau L ⊂ C tel que
l’application :
φ : z 7→ (℘(z), ℘′ (z), 1) si z 6= 0
φ(0) = (0, 1, 0)
est un isomorphisme du groupe C/L sur Γ(C)
Nous pouvons donc étudier les courbes elliptiques en adoptant deux points
de vue différents.
A présent, étudions les points rationnels d’ordre fini :

4

Points d’ordre fini

Maintenant que nous avons une loi de groupe sur nos cubiques, nous pouvons
donc y définir la notion d’ordre :
Définition. Un point P est dit d’ordre fini n si :
nP = P + ... + P = 0 et mP 6= 0 dès que m < n
|
{z
}
nf ois

Nous commençons par étudier le cas particulier des points d’ordre 2 et
d’ordre 3.

4.1

Points d’ordre 2 et 3

Le but de cette section de le montrer la proposition suivante, qui donne la
structure des points d’ordre 2 et 3 :
Proposition 4.1. Soit C une courbe elliptique non singulière d’équation y 2 =
x3 + ax2 + bx + c.
Alors :
1. Un point P est d’ordre 2 si et seulement si son ordonnée est nulle.
Il y a exactement 3 éléments d’ordre 2, qui forment avec O un groupe
d’ordre 4, isomorphe à Z/2Z × Z/2Z
2. Un point P est d’ordre 3 si et seulement si sont abscisse x vérifie :
3x4 + 4ax3 + 6bx2 + 12cx + (4ac − b2 ) = 0
Il y a exactement 8 éléments d’ordre 3, qui forment avec O un groupe
d’ordre 9, isomorphe à Z/3Z × Z/3Z
Montrons ces deux points.

13

4.1.1

Points d’ordre 2

On cherche les points P distincts de O tels que 2P = O, ou de manière
équivalente, tels que P = −P
Comme nous l’avons vu dans la section précédente, si (x, y) sont les coordonnées de P , celles de −P sont (x, −y).
Ainsi, P = −P si et seulement si y = −y, autrement dit, y = 0. Les points
d’ordre 2 sont donc les trois points de la cubique d’ordonnée nulle.
Ce sont les théorèmes de théorie des groupes qui nous permettent d’avoir la
structure de l’ensemble des points d’ordre 2 :
– l’ensemble des points d’ordre 2, plus le neutre, forment un groupe d’ordre
4
– Tout ses éléments sont d’ordre au plus 2, c’est donc le produit direct de
deux groupes cycliques d’ordre 2.
On a bien prouvé le point 1. de la proposition.
Remarque :
Nous pouvons essayer de rechercher les points d’ordre 2 en regardant la
courbe elliptique comme un quotient C/L comme nous l’avons vu dans la section
précédente.
En effet, chercher un point d’ordre 2 sur la cubique revient à chercher un
complexe z ∈
/ L, où L = Zω1 + Zω2 est le réseau associé à la cubique, tel que
2
2z ∈ L. Modulo L, on obtient naturellement les trois points ω21 , ω22 et ω1 +ω
2
4.1.2

Points d’ordre 3

Cette fois-ci, on cherche les points P distincts de O tels que 3P = O et
2P =
6 O.
L’égalité 3P = O se réécrit 2P = −P .
Ainsi :
xP = x−P = x2P
Réciproquement, si xP = x2P , soit P = O, ce qui est exclu, soit 3P = O, ce
qu’on veut.
D’après les calculs analytiques de la section précédente, on en déduit que les
points de la cubique d’ordre 3 sont ceux dont l’abscisse x vérifie l’équation :
x=

x4 −2bx2 −8cx+b2 −4ac
4x3 +4ax2 +4bx+4c

qui est bien équivalente à l’équation
3x4 + 4ax3 + 6bx2 + 12cx + (4ac − b2 ) = 0
Pour terminer la preuve de la proposition, il reste à déterminer le nombre de
points solutions. Pour cela, nous affirmons dans un premier temps que l’équation
ci-dessus a 4 solutions complexes distinctes.
En effet :

2
3
2
L’abscisse de 2P pouvant aussi s’écrire [f4f(x)]
(x) − a − 2x, où f (x) = x + ax +
bx + c.
Ainsi, l’équation définissant l’abscisse x d’un point d’ordre 3 s’écrit encore :

14

x=

[f ′ (x)]2
4f (x)

− a − 2x

Et comme f ′′ (x) = 6x + 2a , on est ramené à chercher les racines de :
2f (x)f ′′ (x) − [f ′ (x)]2 = 0
Posons φ(x) = 2f (x)f ′′ (x) − [f ′ (x)]2
La cubique étant non-singulière, f et f ′ n’ont pas de racine commune. Il en
va alors de même pour φ et φ′ , car φ′ (x) = 2f (x)f ′′′ (x) = 12f (x). Une racine
commune à φ et φ′ serait alors une racine commune à 2f (x)f ′′ (x) − [f ′ (x)]2 et
12f (x), donc par combinaison linéaire, une racine commune de f et f ′ ce qui
est absurde.
Ainsi, l’équation a bien 4 solutions complexes distinctes α1 , ..., αp
n , et on
f (αi ))
obtient bien les 8 points
d’ordre
3,
dont
les
coordonnées
sont

,
±
i
p
pour i ∈ {1, ..., 4} ( f (αi ) désignant une racine complexe quelconque de αi )
Ces huit points sont bien distincts car aucun f (αi ) ne peut être égal à 0. En
effet, si c’était le cas, le point serait d’ordre 2.
Pour finir, ce sont encore les théorèmes de la théorie des groupes qui nous
permet d’affirmer qu’un groupe d’ordre 9 dont tous les éléments sont d’ordre
divisant 3 est le produit direct de deux groupes cyclique d’ordre 3.
La preuve de la proposition à présent finie, nous allons terminer cet exposé
en démontrant un des théorèmes essentiel sur les points rationnels des courbes
elliptiques.

4.2

Points rationnels : le théorème de Nagell-Lutz

Dans toute la suite, on suppose que la cubique est entière.
Rappel : Le discriminant Avant d’aller plus loin, nous rappelons que le
discriminant ∆ de l’équation y 2 = x3 + ax2 + bx + c est donné par ∆ = −4a3 c +
a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27c2
Si a = 0 on retrouve bien le discriminant ∆ = −4b3 − 27c2 .
Il sera aussi utile pour la suite de remarquer que, en notant f (x) = x3 +
ax + bx + c, que comme f et f ′ sont premiers entre eux, il existe d’après le
théorème de Bezout deux polynômes P et Q tels que :
2

∆ = P (x)f (x) + Q(x)f ′ (x)
On peut en fait donner explicitement P et Q :
P (x) = (18b − 6a2 )x − 4a3 + 15ab − 27c
et
Q(x) = (2a2 − 6b)x2 + (2a3 − 7ab + 9c)x + (a2 b + 3ac − 4b2 )f ′ (x)
En particulier, si f est à coefficients entiers, il en va de même pour P et Q
Nous allons à présent énoncer le théorème essentiel de cette section et dont
la suite et fin de l’exposé sera consacré à la démonstration.

15

Théorème 4.1. (de Nagell-Lutz) Si un point d’une cubique entière est rationnel
et d’ordre fini, alors ses coordonnées sont entières, et soit y = 0 - et le point est
d’ordre 2 - soit y divise le discriminant ∆ de la cubique
La partie la plus difficile à prouver de ce théorème est le fait que les coordonnées doivent être entières. Une fois ce résultat prouvé, la suite en découlera.
En effet, on dispose de la proposition suivante :
Proposition 4.2. Soit P (x, y) un point d’une cubique à coefficients entiers, tel
que les coordonnées de P et 2P soient entières. Alors y = 0 ou bien y divise le
discriminant ∆ de la cubique
Démonstration. Soient (x′ , y ′ ) les coordonnées de 2P . Supposons y non nul. On
a que :
2x + x′ = λ2 − a, avec λ =

f ′ (x)
2y

Comme x, x′ et a sont des entiers, il s’ensuit que λ l’est aussi, donc que
2y|f ′ (x) et donc y|f ′ (x)
Mais puisque y 2 = f (x), on a aussi y|f (x). D’après les rappels sur le discriminant, il existe deux polynômes P et Q à coefficients entiers tels que ∆ =
P (x)f (x) + Q(x)f ′ (x).
Comme y divise f (x) et f ′ (x), il s’ensuit que y divise ∆, et on obtient bien
la conclusion souhaitée.
Il est alors clair que la première partie du théorème implique la deuxième,
puisque si P est rationnel et d’ordre fini, il en va de même pour 2P et donc
P et 2P seraient à coordonnées entières, ce qui implique la deuxième partie du
théorème d’après la proposition.
Nous allons maintenant démontrer la première partie du théorème de NagellLutz.

4.3

Les points rationnels d’ordre fini sont à coordonnées
entières

Principe de la preuve : Pour montrer que les coordonnées rationnelles (x, y)
d’un point d’ordre fini sont entières, nous allons montrer que les dénominateurs
de x et y, écrits sous forme irréductible, ne sont divisibles par aucun autre entier
que 1, ce qui prouvera bien que x et y sont entiers.
Remarquons tout d’abord que tout nombre rationnel peut se mettre sous la
ν
forme m
n p où p est un nombre premier, ν un entier relatif et m et n des entiers
premiers à p.
S’en suit la notation suivante :
Notation. On appelle valuation p-adique d’un rationnel xy , qu’on note vp ( xy ),
ν
l’entier relatif ν dans la décomposition xy = m
n p décrite précédemment.
ν
Ainsi vp ( m
n p ) = ν lorsque m et n sont premiers à p.

16

4.3.1

Preuve partie I

Soient (x, y) un point rationnel d’une cubique d’équation y 2 = x3 + ax2 +
bx + c où a, b et c sont des entiers et p un diviseur premier du dénominateur de
x.
k
m
On pose x = np
ν et y = lpµ avec k, l, m et n premiers à p, ν un entier
strictement positif et µ un entier quelconque.
Par appartenance à la cubique, on obtient la relation :
k2

l2 p2µ

=

m2 +am2 npν +bmn2 p2ν +cn3 p3ν
n3 p3ν

De cette égalité, et du fait que p ne divise ni k ni l, et a fortiori, ni k 2 ni n
l , on en déduit que
2

2

vp ( l2kp2µ ) = −2ν
De plus,

vp ( m

2

+am2 npν +bmn2 p2ν +cn3 p3ν
)
n3 p3ν

= −3ν

puisque p ne divise pas pas m.
On obtient donc que 2µ = 3ν.
Il s’ensuit premièrement que µ est lui même strictement positif, ce qui signifie
que p divise aussi le dénominateur de y, et deuxièmement qu’il existe un entier
strictement positif λ tel que µ = 3λ et ν = 2λ.
Nous obtenons les mêmes conclusions en supposant que p est un diviseur
premier du numérateur de y plutôt que x.
Il est alors naturel, d’introduire les ensembles suivant :
Notation. On pose C(pλ ) l’ensemble des points (x, y) rationnels de la cubique
tels que vp (x) ≤ −2λ et vp (y) ≤ −3λ, auquel on ajoute le point neutre O
Autrement dit, C(pλ ) est l’ensemble des points rationnels de la cubique tels
que p2λ divise le dénominateur de x et p3λ divise le dénominateur y.
Pour montrer le théorème, il faut donc réussir à montrer que C(p) ne contient
aucun point rationnel d’ordre fini. Nous avons la chaine évidente C(p) ⊃ C(p2 ) ⊃
C(p3 ) ⊃ ..., tous étant inclus dans le groupe Γ(Q) des points rationnels de la
cubique. Nous allons maintenant passer au passage principal de la preuve qui
consiste à montrer que les C(pλ ) sont tous des sous-groupes de Γ(Q)
4.3.2

Preuve partie II

Très exactement, dans cette partie, nous allons démontrer la proposition
suivante :
Proposition 4.3. Soit p un nombre premier et Ap l’anneau des nombres rationnels dont le dénominateur est premier à p.
1. ∀λ ≥ 1, C(pλ ) est un sous-groupe de Γ(Q)
2. Les groupes quotient C(pλ )/C(p3λ ) et pλ Ap /p3λ Ap sont isomorphes via
l’isomorphisme (x, y) 7→ xy
17

Nous commençons par changer de coordonnées. Jusqu’ici, nous avons choisir de regarder la courbe de sorte à voir tous les points sauf le point à l’infini.
Pour cette démonstration, nous allons regarder la courbe de sorte à voir tous
les points, dont le neutre, sauf les points d’ordre 2.
Pour cela, posons le changement de variable :
t=

x
y

et s =

1
y

de sorte que l’équation y 2 = x3 + ax2 + bx + c de la cubique devienne
s = t3 + at2 s + bts2 + cs3
Les droites sont stables par ce changement de coordonnées, puisque si y =
λx + µ alors s = − µλ t + µ1 . Ainsi, nous additionnons les points de la même façon
avant ou après le changement de coordonnées.
Soit à présent (x, y) un point rationnel de la courbe avant le changement
de coordonnées, appartenant à un certain C(pλ ), pouvant donc s’écrire sous la
forme :
x=

m
np2(λ+i)

et y =

u
vp3(λ+i)

pour un certain i ≥ 0

Alors les nouvelles coordonnées vérifient :
t=

mv λ+i
nu p

et s =

v 3(λ+i)
u

Ainsi (t, s) ∈ C(pλ ) si et ssi t ∈ pλ Ap et s ∈ p3λ Ap .
Considérons P1 = (t1 , s1 ) et P2 = (t2 , s2 ) deux points distincts appartenant
à C(pλ ).
Si t1 = t2 , P1 + P2 = O qui est naturellement dans C(pλ ). Supposons donc
que t1 6= t2 et notons s = αt + β la droite passant par P1 et P2 .
Commençons par chercher des informations sur α et β :
3
2
1
Nous savons que α = st22 −s
−t1 . Comme P1 et P2 vérifient l’équation s = t + at s +
2
3
bts + cs , on obtient que :
s2 −s1 = (t32 −t31 )+a[(t22 −t21 )s2 +t21 (s2 −s1 )]+b[(t2 −t1 )s22 +t1 (s22 −s21 )]+c(s32 −s31 )
Alors après quelques calculs, on obtient l’expression :
α=

t22 +t1 t2 +t21 +a(t1 +t2 )s2 +bs22
1−at21 −bt1 (s1 +s2 )−c(s22 +s1 s2 +s21 )

Si l’on choisi P2 = P1 , on obtient que :
α=

ds
dt (t1 , s1 )

=

3t21 +2at1 s1 +bs21
1−at21 −2bt1 s1 −3cs21

18

qui correspond bien à l’expression trouvée précédemment en substituant t2 = t1
et s2 = s1
Regardons plus attentivement l’expression de α.
Son numérateur est dans p2λ Ap puisque t1 , s1 , t2 et s2 sont dans pλ Ap .
De la même façon, −at21 − bt1 (s2 + s1 ) − c(s22 + s1 s2 + s21 ) appartient aussi à

p Ap . Ainsi, la présence du 1 assure que le dénominateur de α est un rationnel
dont le numérateur et le dénominateur sont premiers à p. Il s’ensuit que α ∈
p2λ Ap .
En outre, puisque s1 ∈ p3λ Ap , t1 ∈ pλ Ap et β = s1 − αt1 , on obtient que
β ∈ p3λ Ap .
Nous en savons à présent un peu plus sur α et β, assez pour pouvoir décrire
le point P3 = (t3 , s3 ), troisième point d’intersection de la droite (P1 P2 ) avec la
cubique.
En effet, t1 , t2 et t3 sont les solutions de l’équation :
αt + β = t3 + at2 (αt + β) + bt(αt + β)2 + c(αt + β)3
En développant et réduisant suivant t, on obtient une équation du type :
0 = (1 + aα + bα2 + cα3 )t3 + (αβ + 2bαβ + 3cα2 β)t2 + ...
et d’après les relations entre les racines d’un polynôme et ses coefficients, on
obtient :
2

β
t1 + t2 + t3 = − αβ+2bαβ+3cα
1+aα+bα2 +cα3

Ainsi, nous avons obtenu les coordonnées (t3 , s3 ) de P1 ⊕ P2 . Pour obtenir
celles de P1 + P2 , il reste à tracer la droite passant par o et P1 ⊕ P2 et de prendre
le troisième point d’intersection.
Mais, d’une part, O se trouve être l’origine du nouveau repère, d’autre part
si (t, s) vérifie l’équation de la cubique, alors (−t, −s) aussi, si bien que les
coordonnées de P1 + P2 ne sont autre que (−t3 , −s3 )
Nous savons que α ∈ p2λ Ap et β ∈ p3λ Ap . Ainsi, le dénominateur 1 + aα +
2
bα + cα3 de t1 + t2 + t3 est un rationnel dont le numérateur et le dénominateur
sont premiers à p.
On a alors que :
t1 + t2 + t3 ∈ p3λ Ap
Comme t1 et t2 sont dans pλ Ap , il vient que t3 ∈ pλ Ap et donc −t3 ∈ pλ Ap
Nous avons donc prouvé que si les abscisses de P1 et P2 sont dans pλ Ap , il
en va de même pour l’abscisse de P1 + P2 . Il est en outre clair que si l’abscisse
de P est dans pλ Ap , il en va de même de l’abscisse de −P , qui est l’opposée de
la première.
Nous avons donc montré que C(pλ ) était stable par addition, passage à
l’opposé et il contient par construction le point neutre O. C’est donc bien un
sous-groupe de Γ(Q).
En réalité, nous avons prouvé le résultat plus fort :

19

tP1 +P2 ≡ tP1 + tP2 (mod p3λ Ap )
où tP désigne l’abscisse de P (dans le plan (t, s)).
Ainsi, l’application P 7→ tP est un morphisme de C(pλ ) dans le groupe quotient pλ Ap /p3λ Ap dont le noyau est C(p3λ ).
On en déduit que les groupes C(pλ )/C(p3λ ) et pλ Ap /p3λ Ap sont isomorphes
via P = (x, y) 7→ tP = xy

La proposition à présent prouvée. Nous allons conclure la preuve du théorème
de Nagell-Lutz
4.3.3

Preuve dernière partie

Prouvons le premier corollaire de la proposition 4.3 :
Corollaire 1. Quel que soit p premier, C(p) ne contient aucun point d’ordre
fini autre que O
Démonstration. En effet, soit P = (x, y) d’ordre m > 1. Supposons qu’il soit
contenu dans un certain C(p).
Comme le dénominateur de x ne peut être divisible par des puissances arbitrairement grandes de p, nous pouvons trouver un exposant λ > 0 tel que
P ∈ C(pλ ) et P ∈
/ C(pλ+1 ).
Supposons que m ne divise pas p. D’après ce que nous avons démontré dans
la partie précédente, on a que :
tmP ≡ tP +P +...+P ≡ m.tP mod p3λ Ap
Mais comme mP = 0, il s’ensuit que mtP ≡ 0 mod p3λ Ap . m étant premier
à p, c’est une unité de Ap si bien que mtP ≡ 0 ⇒ tP ≡ 0 mod p3λ Ap .
Mais P ne peut pas appartenir à C(p3λ ) sans appartenir à C(pλ+1 ). Contradiction.
Supposons à présent que m divise p. On se ramène au cas précédent en
posant n = m
p et en considérant le point Q = nP .
Ce dernier est d’ordre p. Puisque C(p) est un groupe et que P ∈ C(p), on
en déduit que Q ∈ C(p) aussi.
De la même façon que précédemment, on peut trouver λ > 0 tel que Q ∈
C(pλ ) et Q ∈
/ C(pλ+1 ). Alors :
p.tQ ≡ 0 mod p3λ Ap
et s’en suit que :
tQ ≡ 0 mod p3λ−1 Ap
Mais comme 3λ − 1 ≥ λ + 1 on obtient une contradiction avec le fait que
Q∈
/ C(p3λ+1 )
Nous pouvons alors conclure la démonstration de Nagell-Lutz :
20

Corollaire 2. Si P = (x, y) est un point rationnel d’ordre fini alors x et y sont
entiers
Démonstration. Ceci est maintenant évident avec tout ce qui a été dit :
Si P = (x, y) est un point d’ordre fini, il n’appartient à aucun des C(p), donc
les dénominateurs de x et y, écrits sous forme irréductible, ne sont divisibles
par aucun nombre premiers, par conséquent ces dénominateurs valent 1 et x et
y sont donc des entiers.
4.3.4

Conclusion

Notons que le théorème de Nagell-Lutz ne nous permet pas de montrer qu’un
point est d’ordre fini. Il est tout à fait possible qu’un point soit à coordonnées entières, dont l’ordonnée divise le discriminant, sans pour autant qu’il soit d’ordre
fini. Par contre, on peut en utilisant la contrapposée du théorème montrer qu’un
point est d’ordre infini.
Le théorème de Nagell-Lutz peut aussi nous permettre dans certains cas de
dresser une liste des points d’ordres finis sur la courbe.
Donnons un exemple en considérant la cubique d’équation
y 2 = x3 − x2 + x
On vérifie que le point P = (1, 1) est d’ordre 4. En outre 2P = (0, 0),
3P = (1, −1) qui est aussi d’ordre 4.
Le discriminant du polynôme de la forme de Weierstrass est ∆ = −3. Ainsi,
les valeurs possibles des ordonnées des points d’ordre fini sont ±1 et ±3.
Nous avons déjà montré que y = ±1 fournit deux points d’ordre 4. Il reste à
vérifier ce qu’il se passe pour y = ±3.
Ceci fournit l’équation :
x3 − x2 + x − 9 = 0
Les seules solutions entières de cette équation doivent diviser 9, mais on vérifie rapidement qu’aucun diviseur positif ou négatif de 9 ne vérifie l’équation.
Au final, notre cubique admet 4 points d’ordre fini, dont le neutre, un point
d’ordre 2 et deux points d’ordre 4.
Le groupe de ses points d’ordre fini est donc cyclique d’ordre 4.
Nous terminons alors cet exposé par citer, sans démonstration, ces deux
théorèmes de structure :
Théorème 4.2. (Mazur) Soit C une cubique non-singulière qui contient un
point rationnel d’ordre fini m.
Alors :
1 ≤ m ≤ 10 ou m = 12
L’ensemble des points rationnels d’ordre fini de C est
– Soit un groupe cyclique d’ordre N avec 1 ≤ N ≤ 10 ou N = 12
– Soit lei produt d’un groupe cyclique d’ordre 2 et d’un groupe cyclique
d’ordre 2N avec 1 ≤ N ≤ 4
Théorème 4.3. (Siegel)
Une courbe elliptique n’a qu’un nombre fini de points à coordonnées entières
21

Références
Joseph.H Silverman : The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 1986
Joseph.H Silverman & John Tate : Rational Points on Elliptic Curves,
Springer, 1992

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