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Cristaux .pdf


Nom original: Cristaux.pdf
Titre:
Auteur: Drocourt

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Cristaux
I55.

Constante d’Avogadro : N A = 6, 02 × 1023 mol−1 .
Masse molaire du niobium: M = 92, 0 g. mol−1 .
A température ordinaire, dans le niobium métallique, les atomes de niobium occupent les nœuds d’un réseau cubique
centré, dont la maille cubique a pour arête a = 0, 330 nm .
1) Déterminer le nombre d’atome de niobium par maille cubique.
2) Calculer la masse volumique du niobium en kg/m3.
3) On suppose que le cristal résulte d’un empilement de sphères dures en contact. Calculer le rayon de ces sphères,
qu’on appelle rayon métallique du niobium.
4) Définir et calculer la compacité de cette structure.

II72. Structure cristalline de la blende.
Le principal minerai de zinc est le sulfure de zinc ZnS de type blende. La
blende est la variété allotropique qui cristallise dans le système cubique. On se
propose d'étudier la structure cristalline de la blende dans le cadre du modèle
du cristal parfait de type ionique. Dans ce modèle, les ions constitutifs du
cristal ionique sont assimilés à des sphères dures.
Dans la blende, les ions S2– occupent les nœuds d’un réseau cubique à faces
centrées et les ions Zn2+ occupent la moitié des sites tétraédriques comme le
montre la figure ci-contre.
1) Déterminer le nombre d’atomes de zinc et de soufre par maille.
2) Déterminer la coordinence (nombre de plus proches voisins de signe
opposé) des ions Zn2+ et des ions S2–.
3) Etablir la condition de contact entre les ions Zn2+ et les ions S2– en
Maille représentative de la
fonction du paramètre de maille noté a et des rayons ioniques r(Zn2+) = 74 pm
2–
structure
de la blende ZnS : les ions
et r(S ) = 184 pm. En déduire la valeur du paramètre de maille a.
2–
sont
figurés
par les sphères
S
4) En réalité, la masse volumique de la blende ρ(ZnS) est égale à 4084
–3
–1
blanches,
les
ions
Zn2+ par les sphères
kg.m . Les masses atomiques sont M(Zn) = 65,4 g.mol et M(S) = 32,1
–1
23
–1
noires.
g.mol . La constante d’Avogadro est NA = 6,02.10 mol . Déterminer la
valeur du paramètre de maille a. Comparer cette valeur à celle obtenue
précédemment (question 3). Que peut-on en conclure quant à la nature de la liaison chimique assurant la cohésion de la
blende ?

Réponses
2M
a 3
π 3
I. 1) 2 atomes par maille ; 2) µ =
= 8500 kg. m−3 ; 3) R =
= 0,143 nm ; 4) ζ =
= 0, 68 .
3
4
8
N Aa

II. 1) 4 atomes de soufre et de zinc par maille ; 2) 4-4 ; 3) a = 4 ( r ( S 2− ) + r ( Zn 2 + ) ) / 3 = 596 pm ; 4)
⎡ 4 ( M ( S ) + M ( Zn ) ) ⎤1/ 3
a =⎢
= 541pm ; liaison partiellement covalente.

N Aρ
⎣⎢
⎦⎥

DS : cristaux, page 1

Corrigé
I.
1) Chaque maille possède un atome en son centre et huit atomes en ses sommets ; comme chaque sommet fait partie
1
de huit mailles, il compte pour 1/8 ; le nombre d’atome par maille est 1 + 8 × = 2 .
8
2M
2 × 92.10−3
=
= 8500 kg.m−3 .
2) µ =
3
N Aa 3
6, 02.1023 × ( 0, 33.10−9 )
3) Le plus proche voisin d’un atome au centre de la maille est un atome au sommet. La distance de leurs centres est la
demi diagonale d’un cube ; pour que les atomes se touchent, elle est le double du rayon, d’où :
0, 33 3
a 3
R=
=
= 0,143 nm .
4
4
4) La compacité est le rapport du volume occupé par les atomes, considérés comme des boules dures en contact, au
4
2 πR 3
π 3
=
= 0, 68 .
volume total. Elle vaut ζ = 3 3
8
a

II.
1) Les soufre occupent les sommets (8 par maille, chacun appartenant à 8 mailles) et les centres des faces (6 faces,
chacune appartenant à 2 mailles), soit 8/8+6/2 = 4 atomes de soufre par maille.
Les zinc occupent la moitié des huit sites tétraédriques, soit 4 atomes de zinc par maille.
2) Chaque ion a 4 plus proches voisins, de signe contraire.
3) La distance entre plus proches voisins est le quart de la diagonale de la maille :
a 3 / 4 = r ( S 2− ) + r ( Zn 2 + ) ⇒ a = 4 ( r ( S 2− ) + r ( Zn 2 + ) ) / 3 = 4 ( 184 + 74 ) / 3 = 596 pm .
⎡ 4 ( 65, 4 + 32,1 )10−3 ⎤
⎡ 4 ( M ( S ) + M ( Zn ) ) ⎤1/ 3
4 ( M ( S ) + M ( Zn ) )
⎥ m = 541 pm .
⇒a = ⎢
=⎢

3
⎢⎣ 6, 02.1023 × 4084 ⎥⎦
N Aρ
⎢⎣
⎥⎦
N Aa
Cette distance est plus courte car les nuages électroniques des ions s’interpénètrent : la liaison est partiellement
covalente.
On peut aussi considérer que les ions sont déformables et donc que leurs rayons sont plus petits pour la coordinence 4
que pour la coordinence 6 ou a fortiori 8.

4) ρ =

DS : cristaux, page 2


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