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mecanique changements referentiel .pdf



Nom original: mecanique_changements_referentiel.pdf
Titre: changements_référentiel.dvi

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MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef´erentiel

page 1/4

Changements de r´
ef´
erentiel

Peut-ˆetre consid´er´e comme solide, tout syst`eme dont les distances mutuelles des
´el´ements restent invariables au cours du temps.

Table des mati`
eres
1 R´
ef´
erentiel
1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
1

2 Vecteur rotation
2.1 D´eriv´ee d’un vecteur par rapport au temps . .
2.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Rotation uniforme autour d’un axe fixe
2.3 Composition des vecteurs rotation . . . . . . .

.
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2
2
2
2
2
3

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.

3
3
3
4
4
4

3 Composition des vitesses et des acc´
el´
erations
3.1 Vitesse d’entraˆınement . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Acc´el´erations d’entraˆınement et de Coriolis . .
3.3 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Rotation uniforme autour d’un axe fixe

1
1.1

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Le solide de r´ef´erence est immobile pour l’observateur comme si l’observateur faisait parti du solide.
L’origine et les vecteurs de base restent donc immobiles dans la description du
mouvement, ind´ependants du temps.

1.2

Exemple

Pour un observateur immobile sur le quai, le solide de r´ef´erence est le quai, notons
le r´ef´erentiel correspondant R1 .
Pour un observateur immobile dans un train, le solide de r´ef´erence est le train,
notons le r´ef´erentiel correspondant R2 .
Quelle est la vitesse d’un passager (rep´er´e par M) qui se d´eplace dans le train ?
La r´eponse sera diff´erente selon l’observateur.

Dans un probl`eme o`
u interviennent plusieurs r´ef´erentiels, il faudra toujours pr´eciser par rapport a` quel r´ef´erentiel on travaille.


ef´
erentiel

efinitions

La description d’un mouvement est relative : elle d´epend de celui qui observe le
mouvement.
Pour d´ecrire un mouvement, il faut donc pr´eciser l’observateur ou encore
le r´ef´erentiel.

Un r´ef´erentiel est l’ensemble d’un rep`ere (spatial) li´e a` un solide de r´ef´erence et
d’une chronologie dans ce rep`ere.
Damien DECOUT - Derni`
ere modification : f´
evrier 2007




d O1 M
v(M )R1 =
est la vitesse du passager par rapport au quai.
dt
R1

d O2 M
est la vitesse du passager par rapport au train.
v(M )R2 =
dt
R2
Quand on d´erive par rapport a` R1 , O1 et les vecteurs de la base de R1 sont
consid´er´es comme ind´ependants du temps puisque immobiles par rapport `
a R1
par d´efinition.
Quand on d´erive par rapport a` R2 , O2 et les vecteurs de la base de R2 sont
consid´er´es comme ind´ependants du temps puisque immobiles par rapport `
a R2
par d´efinition.

MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef´erentiel

2

Vecteur rotation

Soit R1 un r´ef´erentiel de base (ex1 ,ey1 ,ez1 ) et R2 un r´ef´erentiel de base
(ex2 ,ey2 ,ez2 ) en mouvement quelconque par rapport a` R1 .

2.1

page 2/4
Finalement, trois param`etres p, q, r suffisent `
a caract´eriser le mouvement
de R2 par rapport a` R1 ; ces trois param`etres d´efinissent le vecteur rotation :
ω R2 /R1 = p ex2 + q ey2 + r ez2



d ex 2
= r e y2 − q e z 2 = ω ∧ e x 2
dt R1


d e y2
= −r ex2 + p ez2 = ω ∧ ey2
dt R1


d ez 2
= q e x 2 − p e y2 = ω ∧ e z 2
dt R1


eriv´
ee d’un vecteur par rapport au temps

Soit A(t) un vecteur quelconque.
Exprimons A(t) dans la base de R2 et d´erivons par rapport a` R1 :
A(t) = Ax2 ex2 + Ay2 ey2 + Az2 ez2


dA
dt



= A˙ x2 ex2 + A˙ y2 ey2 + A˙ z2 ez2 + Ax2 e˙ x2 + Ay2 e˙ y2 + Az2 e˙ z2

R1



dA
dt



=
R1



dA
dt



Finalement


+ Ax2 e˙ x2 + Ay2 e˙ y2 + Az2 e˙ z2

R2

Exprimons les vecteurs e˙ x2 , e˙ y2 , e˙ z2 , qui caract´erisent le mouvement de R2 par
rapport a` R1 , dans la base de R2 :


d ex 2
= a11 ex2 + a12 ey2 + a13 ez2
dt R1


d e y2
dt



= a21 ex2 + a22 ey2 + a23 ez2



d ez 2
dt



= a31 ex2 + a32 ey2 + a33 ez2

R1

R1

2.2
2.2.1

ex2 .ey2 = 0 ⇒

dey2
dex2
. e y2 + e x 2 .
= 0 ⇒ a12 + a21 = 0 ⇒ a12 = −a21 = r
dt
dt

de mˆeme a23 = −a32 = p et a31 = −a13 = q

Damien DECOUT - Derni`
ere modification : f´
evrier 2007

=

R1



dA
dt



+ ω R2 /R1 ∧ A

R2

Cas particuliers
Translation



dex2
= 0 ⇒ a11 = 0
dt

de mˆeme a22 = a33 = 0



Si R2 est en translation par rapport `
a R1 , les axes de R2 gardent une direction
fixe par rapport a` ceux de R1






d e y2
d ex 2
d ez 2
=
=
= 0 ⇒ p = q = r = 0 ⇒ ω R2 /R1 = 0
dt R1
dt R1
dt R1

La base ´etant orthonorm´ee :
e2x2 = kex2 k2 = 1 ⇒ 2 ex2 .

dA
dt

2.2.2

dA
dt



R1

=



dA
dt



R2

=

dA
dt

Rotation uniforme autour d’un axe fixe

Si R2 est en rotation uniforme a` la vitesse angulaire ω autour d’un axe fixe de
R1 par exemple ez1 = ez2 = ez


d ex 2
= ω e y2
dt R1

MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef´erentiel


d e y2
dt



R1

ω = ω ez
Dans le cas d’une rotation uniforme autour d’un axe fixe, le vecteur rotation est
port´e par l’axe et a pour norme la vitesse angulaire.

Composition des vecteurs rotation

Soient R1 , R2 et R3






dA
dA
dA
=
+ ω R2 /R1 ∧ A =
+ ω R3 /R2 ∧ A + ω R2 /R1 ∧ A
dt R1
dt R2
dt R3
=

remarque :



dA
dt



R2



dA
dt



3.1

avec ve appel´e vitesse d’entraˆınement
ve = v(O2 )R1 + ω R2 /R1 ∧ O2 M
Pour calculer ve on peut aussi immobiliser M dans R2 en notant M ∗ la
position correspondante
v(M ∗ )R1 = v(M ∗ )R2 + ve = ve
La vitesse d’entraˆınement peut aussi se calculer comme la vitesse par rapport
a` R1 de M ∗ appel´e point co¨ıncident

3.2

Acc´
el´
erations d’entraˆınement et de Coriolis

+ (ω R3 /R2 + ω R2 /R1 ) ∧ A

ω R3 /R1 = ω R3 /R2 + ω R2 /R1


dA
=
− ω R2 /R1 ∧ A
dt R1

Composition des vitesses et des acc´
el´
erations

=








d O1 M
d O1 O2
d O2 M
v(M )R1 =
=
+
dt
dt
dt
R1
R1
R1




d O1 O2
d O2 M
=
+
+ ω R2 /R1 ∧ O2 M
dt
dt
R1
R2
= v(O2 )R1 + v(M )R2 + ω R2 /R1 ∧ O2 M
Damien DECOUT - Derni`
ere modification : f´
evrier 2007



R1

Calculons les trois termes s´epar´ement


d v(O2 )R1
= a(O2 )R1
dt
R1




d v(M )R2
d v(M )R2
=
+ ω R2 /R1 ∧ v(M )R2
dt
dt
R1
R2
= a(M )R2 + ω R2 /R1 ∧ v(M )R2

Vitesse d’entraˆınement


d v(O2 )R1
dt




d v(M )R1
dt
R1



d v(M )R2
d
ω R2 /R1 ∧ O2 M R
+
+
1
dt
dt
R1

a(M )R1 =

R3

ω R1 /R2 = −ω R2 /R1

3

v(M )R1 = v(M )R2 + ve

= −ω ex2

ce qui implique r = ω et p = q = 0

2.3

page 3/4




d ω R2 /R1
d O2 M
d
ω
∧ O2 M R =
∧ O2 M + ω R2 /R1 ∧
1
dt R2 /R1
dt
dt
R1
"
#

d ω R2 /R1
d O2 M
=
∧ O2 M + ω R2 /R1 ∧
+ ω R2 /R1 ∧ O2 M
dt
dt
R2
=



d ω R2 /R1
∧ O2 M + ω R2 /R1 ∧ v(M )R2 + ω R2 /R1 ∧ O2 M
dt

MPSI - M´ecanique II - Changements de r´ef´erentiel

page 4/4

En rassemblant les r´esultats

3.3.2

a(M )R1 = a(M )R2 + a(O2 )R1 +

d ω R2 /R1
∧ O2 M + ω R2 /R1 ∧ (ω R2 /R1 ∧ O2 M)
dt

Rotation uniforme autour d’un axe fixe

Si R2 est en rotation uniforme a` la vitesse angulaire ω autour d’un axe fixe de
R1 par exemple ez1 = ez2 = ez (O1 = O2 = O)
ω = ω ez

+2ω R2 /R1 ∧ v(M )R2
OM = OH + HM = r er + z ez
L’acc´
el´
eration d’entraˆınement est d´efinie comme l’acc´el´eration par rapport
a` R1 du point co¨ıncident M ∗
a(M ∗ )R1 = 0 + a(O2 )R1 +

d ω R2 /R1
∧ O2 M
dt

+ω R2 /R1 ∧ (ω R2 /R1 ∧ O2 M) + 0 = ae
ae = a(O2 )R1 +

d ω R2 /R1
∧ O2 M + ω R2 /R1 ∧ (ω R2 /R1 ∧ O2 M)
dt

L’acc´el´eration par rapport a` R1 est donc ´egale a` l’acc´el´eration par rapport a` R2
+ l’acc´el´eration d’entraˆınement + un troisi`eme terme appel´e acc´
el´
eration de
Coriolis
a(M )R1 = a(M )R2 + ae + ac
ac = 2ω R2 /R1 ∧ v(M )R2

3.3
3.3.1

Cas particuliers
Translation

Si R2 est en translation par rapport a` R1 , les axes de R2 gardent une direction
fixe par rapport a` ceux de R1 et
ω R2 /R1 = 0
ve = v(O2 )R1

ae = a(O2 )R1

Damien DECOUT - Derni`
ere modification : f´
evrier 2007

ac = 0

ve = ω R2 /R1 ∧ OM = ω ez ∧ (r er + z ez ) = rω eθ
ae = ω R2 /R1 ∧ (ω R2 /R1 ∧ OM) = ω ez ∧ (ω ez ∧ (r er + z ez )) = −rω 2 er
R´esultats que l’on retrouve facilement en utilisant le point co¨ıncident


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