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Nom original: 5 - Calcul de la position de l'univers.pdfTitre: Microsoft Word - Calcul de la position de l'univers.

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Nous nous proposons de calculer la position "moyenne" de notre univers, à son âge actuel
(13,7 milliards d'années selon les dernières estimations), sur le cycle… Soit un angle (exprimé
en radians). Posons les termes suivants :

RU = Rayon de l'Univers.

RH = Rayon de l'Hypertore.
VU = Volume de l'Univers.

t1 = Âge de l'univers à l'instant 1. Nous choisirons, pour bénéficier d'un moment connu,
l'époque de la "recombinaison" (lorsque l'univers est devenu transparent, et donc observable),
fixée couramment aux alentours de 380 000 ans.

t 2 = Âge de l'univers à l'instant 2… C'est-à-dire, ici, à son âge actuel.

a1 = Position angulaire à l'instant 1.
a 2 = Position angulaire à l'instant 2.
l = Rapport de ces deux positions sur l'hypertore entre les moments t1 et t 2 , =
k = Facteur de dilatation du rayon de l'univers entre ces deux moments.

Pour un âge de l'univers t , RU = RH (1- cos wt ) .
Le volume de l'univers correspond à la surface d'une hypersphère… Soit :
VU = 2 p 2 RU3 .
Û RU =

k =

RU 2
RU 1

3

VU
.
2p 2
3

=
3

VU 2

2p 2 =
VU 1
2p 2

3

VU 2
VU 1

´3

2p 2
=
2p 2

3

VU 2
VU 1

.

Egalement :
k =

RU 2
RU 1

=

RH (1 - cos wt2 ) 1 - cos wt2
1 - cos a 2
=
=
.
RH (1 - cos wt1 ) 1 - cos wt1
1 - cosa1

a ö
æ
Û 1 - cos a 2 = k (1 - cos a1 ) = k ç1 - cos 2 ÷ .
l ø
è
Passons des cosinus aux sinus.

a2
t
,= 2 .
a1
t1

1 - cos a = 2 sin 2

a2

Soit : 2 sin 2

a2

Û sin

2

2

.

= 2k sin 2

2

=

a

k sin

a2
2l

a2
2l

.

.

Décomposons, à présent, ces sinus en séries entières. Nous obtenons :
2 n +1

æa 2 ö
ç 2÷

è
ø
(
1
)
=
å
(
2
n
+
1)!
n=0
n

2 n +1
é
æa 2 ö ù
n
ç 2l ÷ ú
ê +¥
ø ú.
k êå (- 1) è
(
2
n
+
1)! ú
ên =0
êë
úû

Soit, pour n = 1 :

a2
2

-

a 23

=

48

æa
a3 ö
k çç 2 - 2 3 ÷÷ .
è 2l 48l ø

Lorsque n augmente, on s'aperçoit que les termes de la deuxième partie deviennent de plus en
plus petits très rapidement. On peut donc les négliger après " k ´

a2
2l

".

L'égalité devient alors :
2 n +1

æa 2 ö
ç 2÷

k
ø
(- 1) è
=
a2 .
å
(2n + 1)!
2l
n=0
n

En divisant les deux membres par "


a 22n

n

å (- 1)

2

n=0

2n

(2n + 1)!

=

a2
2

", on obtient :

k
.
l

On peut se ramener à un polynôme de degré "n" en posant : A = a 22 .


n

å (- 1)
n=0

An
k
=
.
2n
2 (2n + 1)!
l

Depuis la recombinaison, la densité de l'univers a décru d'un facteur 1 milliard et sa
température d'un facteur 1000. (Références : article "Big Bang" sur "Wikipedia"). Donc, k =
3

VU 2
VU 1

=

3

109 = 1000. (Le volume de l'univers, variant à l'inverse de la densité, a été

multiplié par 1 milliard, et son rayon par 1000)

l =

t2
13.700.000
=
= 36.053 » 36.000. (Les résultats des calculs seront arrondis au
t1
380.000

maximum à 3 chiffres significatifs en raison du manque de précision sur les données)
D'où :

k
= 8,8 ´ 10-4 .
l

Pour "n = 2", le trinôme du second degré obtenu ( -

A2
A
+
- 0,999.12 = 0 ) ne possède
1.920 24

malheureusement pas de solution réelle.
Passons donc à "n = 3".
Nous obtenons :

A3
A2
A æç
k ö÷
+
- ç1 = 0.
322.560 1.920 24 è
l ÷ø
Les racines de ce polynôme peuvent être déterminées en utilisant la méthode de Cardan.
On se ramènera, pour cela, au trinôme de degré 3 :
z 3 + pz + q = 0.
Soit :
ìa3 A3 + a2 A2 + a1 A + a0 = 0.
ï
a2
í
ï A = z - 3a .
î
3
3

2

æ
æ
æ
a ö
a ö
a ö
z + pz + q = a3 çç z - 2 ÷÷ + a2 çç z - 2 ÷÷ + a1 çç z - 2 ÷÷ + a0
3a3 ø
3a3 ø
3a3 ø
è
è
è
3

æ
æ
æ
3a
3a 2
a3 ö
2a
a2 ö
a ö
= a3 çç z 3 - 2 z 2 + 22 z - 2 3 ÷÷ + a2 çç z 2 - 2 z + 22 ÷÷ + a1 çç z - 2 ÷÷ + a0
3a3
9a3
27a3 ø
3a3
9a3 ø
3a3 ø
è
è
è
æ
a2
a3 ö æ
2a 2
a3 ö æ
aa ö
= çç a3 z 3 - a2 z 2 + 2 z - 2 2 ÷÷ + çç a2 z 2 - 2 z + 22 ÷÷ + çç a1 z - 1 2 ÷÷ + a0
3a3
27 a3 ø è
3a3
9a3 ø è
3a3 ø
è
æ
a2 ö æ
aa
2a23 ö
÷.
= a3 z 3 + çç a1 - 2 ÷÷ z + çç a0 - 1 2 +
3a3 ø è
3a3 27a32 ÷ø
è

En divisant par " a3 ", on trouve :
æa
a2 ö æ a a a
2a23 ö
÷ = 0.
z 3 + çç 1 - 22 ÷÷ z + çç 0 - 1 22 +
3 ÷
è a3 3a3 ø è a3 3a3 27 a3 ø

Soit :

ì
a1 a22
ïp = - 2 .
a3 3a3
ï
í
3
ïq = a0 - a1a2 + 2a2 .
ïî
a3 3a32 27 a33

322.560 322.5602
p =
= 13.440 - 9.408 = 4.032.
24
3 ´ 1.9202
æ k
ö
322.5602
2 ´ 322.5603
q = 322.560çç
- 1÷÷ +
3
è l
ø 3 ´ 24 ´ 1.920 27 ´ 1.920

(

)

(

= 322.560 8,8 ´ 10 -4 - 1 + 752.640 - 351.232 = 401.408 - 322.560 1 - 8,8 ´ 10-4

)

= 401.408 - (322.560 ´ 0,999.12) = 401.408 - 322.276 = 79.132.
4 p 3 = 2,62 ´ 1011 .
27q 2 = 1,69 ´ 1011 .
D = 4 p 3 + 27 q 2 = 4,31 ´ 1011 .

D = 656.500.
3 3 D = 3,41 ´ 106 .

u =

3

- 27 q + 3 3 D
=
2

3

6,35 ´ 105 = 86.

v =

3

- 27 q - 3 3 D
=
2

3

- 2,77 ´ 106 = - 140 .

z =

1
(u + v ) = - 18 .
3

A = z-

a2 =

a2
322.560
= - 18 +
= - 18 + 56 = 38.
3a3
3 ´ 1.920

A = 6,16 radians.

Valeur, hélas, dramatiquement élevée ! Car elle place notre univers très largement en zone de
contraction. Ce qui ne correspond pas, bien entendu, aux observations. Faut-il donc jeter ce
modèle à la poubelle ? Pas forcément, dans la mesure où les valeurs utilisées pour le calcul
sont celles fournies par le modèle standard. Problème… Laquelle, ou lesquelles, modifier ?
L'âge actuel de l'univers, estimé par plusieurs méthodes, ne fait pas l'objet de différences
énormes. Nous conserverons donc le chiffre de 13,7 milliards d'années.
Le taux d'expansion, et donc l'augmentation du rayon, depuis l'époque de la recombinaison
(un facteur 1000), ne me paraît pas non plus pouvoir être changé.

Il ne reste donc plus que l'âge de cette fameuse recombinaison. On peut le calculer pour qu'il
corresponde à une valeur particulière de a 2 . Pour " cosa 2 = a ", nous devons avoir :

a ö
æ
1 - a = k ç1 - cos 2 ÷ .
l ø
è
Pour " k = 1000", on obtient :
1 - a = 1000 - 1000 cos

a2

Û 999 + a = 1000 cos

a2

Û cos
Û

a2

a2
l

=

a2

Û l =

l

.
.

999 + a
.
1000

= Arc cos

l

l

999 + a
.
1000

999 + a
Arc cos
1000

.

En utilisant cette formule, on constate que le calcul précédent, bien que déjà compliqué, n'est
pas encore assez poussé et ne donne qu'un ordre de grandeur. Car, pour obtenir une valeur de
380 000 ans pour t1 , il faut prendre a 2 » 6,2777… Soit une valeur encore plus "catastrophique".
Nous obtenons, pour différentes valeurs de " a 2 ", les résultats suivants :
- a 2 = p / l = 49,664 66 / t1 = 275 850 000 ans.
- a2 =
- a2 =
- a2 =
- a2 =

p
2

p
4

p
8

/ l = 35,121 / t1 = 390 080 000 ans.
/ l = 32,449 6 / t1 = 422 193 000 ans.
/ l = 31,826 69 / t1 = 430 456 000 ans.

p
100

/ l = 31, 624 08 / t1 = 433 214 000 ans.

- a 2 = 10-6 p / l = 31, 622 78 / t1 = 433 232 000 ans.
Il existe donc une différence d'un ordre de grandeur de 1000 avec la valeur de t1 donnée par le
modèle standard. Ce qui est important, certes, mais ne me paraît pas rédhibitoire. On pourrait
introduire aussi, comme dans le modèle standard, l'idée de l'inflation (gommée partiellement,

dans son énormité, par la très lente accélération de l'expansion au tout début). Et cette
différence diminuerait sans doute notablement. Mais l'un des intérêts de ce modèle n'est-il
pas, justement, tout en expliquant cette accélération sans faire appel à une mystérieuse
"énergie sombre", de ne pas nécessiter non plus d'inflation pour homogénéiser le rayonnement
fossile ?


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