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preuvedivisibilite24 .pdf


Nom original: preuvedivisibilite24.pdf

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Divisibilit´
e de la somme des diviseurs par 24

Proposition 1. Soit n un entier naturel. Alors n2 + 1 n’est pas divisible par 3.
D´emonstration. Soit n ∈ N.
Cas 1 : le reste de la division euclidienne de n par 3 est 0. Dans ce cas, il existe q ∈ N tel que
n = 3k. On a alors n2 + 1 = 3 × 3k 2 + 1 qui n’est pas divisible par 3.
Cas 2 et cas 3 : se d´emontrent de mani`ere similaire en prenant n = 3k + 1 et n = 3k + 2.
Proposition 2. Soit n un entier naturel tel que 24 divise n + 1. Alors 24 divise la somme des
diviseurs de n.
D´emonstration. Soit n un entier naturel tel que 24 divise n + 1. D’apr`es la proposition 1., on
peut dire que n n’est pas un carr´e.

On note p1 , p2 , ..., pr les diviseurs de n strictement inf´erieurs√`a n dans l’ordre croissant. On
note q1 , q2 , ..., qr les diviseurs de n strictement sup´erieurs a` n dans l’ordre d´ecroissant.
On a pm qm = n quel que soit m un entier naturel inf´erieur ou ´egal a` r. Montrons que pm + qm
est alors divisible par 24.
Soit m un entier naturel inf´erieur ou ´egal `a r.
Comme 24 divise n + 1, il existe k ∈ N tel que n = 24k − 1. De plus, n = pm qm . Posons
h = n − pm .
24k−1
Alors, pm = n − h = 24k − 1 − h, et qm = pnm = 24k−1−h
.
2
Calculons maintenant le terme (pm + qm )pm :
(pm + qm )p2m = [(24k − 1 − h) + (24k − 1)/(24k − 1 − h)](24k − 1 − h)
= [(24k − 1 − h)2 + 24k − 1](24k − 1 − h)
= 24k[(24k − 1 − h)2 + 24k − 1] − (1 + h)[(24k − 1 − h)2 + 24k − 1]
= 24k[(24k − 1 − h)2 + 24k − 1] − (1 + h)[(24k − (1 + h))2 + 24k − 1]
= 24k[(24k − 1 − h)2 + 24k − 1] − (1 + h)[24k(24k − 2(1 + h) + 1) + (1 + h)2 − 1]
= 24k[(24k − 1 − h)2 + 24k − 1 − (1 + h)(24k − 2(1 + h) + 1)] − (1 + h)[(1 + h)2 − 1]
Comme je l’avais fait, pour a´erer, on pose X = [(24k − 1 − h)2 + 24k − 1 − (1 + h)(24k − 2(1 +
h) + 1)]. On obtient alors :
(pm + qm )p2m = 24kX − (1 + h)(1 + h2 + 2h − 1) = 24kX − h(h + 1)(h + 2).
On a alors : (pm + qm )p2m + h(h + 1)(h + 2) = 24kX. D’une part, comme n + 1 est divisible
par 24, on d´eduit que n est impair, donc que pm est impair. On en d´eduit que h est pair.
Cela veut dire que soit h, soit h + 2 est divisible par 4 : le produit h(h + 2) est divisible par
8. D’autre part, h, h + 1, et h + 2 sont trois entiers cons´ecutifs : l’un d’eux est divisible par
3. On peut donc dire que h(h + 1)(h + 2) est divisible par 24. De plus, pm est premier avec
24, car pm qm = 24k − 1. Cela signifie que pm + qm est divisible par 24. On peut donc ´ecrire
pm + qm = 24km , avec km un entier naturel.
r
r
X
X
La somme des diviseurs de n est
pm + qm = 24 ×
km . Donc la somme des diviseurs de
m=1

m=1

n est divisible par 24.

1


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