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Nom original: logique gravitaire resumé.pdfTitre: Document1Auteur: cyril enault

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Les logiques de la dynamique gravitaire des villes ; prévoir et
évaluer le futur des agglomérations à partir du couple densitévitesse
L’objectif de cet article sera de montrer comment un à partir d’un modèle modifié de la dynamique
gravitaire, il est possible d’approcher les grandes logiques de la croissance urbaine.

1. La construction mathématique du modèle
Les références seront les mêmes que pour l’article précédent portant sur les densités et sur le bâti.
Une modification de base est toutefois envisagée dans le modèle :
Hypothèse : les flux intermédiaires interagissant sur les flux globaux suivent eux aussi une logique
gravitaire. On a donc :

= Gg i

Qi
Qi débit, G paramètre et gi densité

Dans le modèle de premier ordre, on énonce alors la loi d’équilibre des flux de la manière suivante :
x2

∫ [K (x , t )
1

1

− K 2 ( x 2 , t )]dx =

x1

t2

∫ [Q (x, t )
2

2

− Q1 ( x, t1 )]dt + M ∫ [g i ( x, t 2 ) − g i ( x, t1 )]dt

t1

D’où (Ki concentration véhiculaire) par ailleurs le modèle de Clark s’exprime pour les densités
(adjoint à l’expression des débits)

Qi

∂Qi
∂xi

= G ∑i M i e −α i xi

+

∂K i
∂t

= M

∂g i
∂t

On a avec le modèle LRW modifié les expressions suivantes

Qi

= K iVi et Qi

= − aK i2

+ bK i

On démontre alors facilement que :

dVi
dt

= − aM

dg i
dt

− αGg i

On montre également que (expression du repère de Frenet et seconde loi de Newton)

gi

= −

2m dVi
Vi
Gxi dt

On en déduit le système final suivant en réduisant les facteurs avec des paramètres simplifiés :

dVi
dt
gi
dt

= −

= ξ

λg i
1 − ΦVi

g iVi
1 − ΦVi

Le système ainsi démontré peut à présent être étudié et en recensant les variations, on parvient à
étudier les logiques de la dynamique gravitaire de la ville.

Les logiques sont assez simples et on montre d’abord que l’état stationnaire est atteint dès lors que
gi = 0 quelque soit Vi
ensuite, une seconde valeur remarquable apparait pour laquelle le dénominateur s’annule soit Vi = 1/Φ
Le système n’a alors pas de solution et devient impossible.

Mais plus concrètement, que cela signifie ?
Il faut savoir que la forme générale du système est une évolution en « cloche » pour les densités avec
une phase de croissance et une phase de décroissance. Cette évolution varie en fonction des valeurs
des paramètresΦ,λ et ξ.
Dans le cas de λ, une diminution entraine un déplacement de la courbe en cloche vers le futur, ce qui
signifie clairement que la phase de croissance est plus grande et représente l’essentiel.
Pour ξ, son augmentation entraine une explosion du pic de densité (du maximum atteint à une date
donnée du futur).
Enfin, l’augmentation de Φ induit une perte de symétrie de la courbe en cloche qui se déplace alors
vers le présent. Une faible augmentation jusqu'à 1/Vi, a pour effet de faire tendre la croissance de la
ville vers 0, a Φ = 1/Vi, le modèle est indéterminé et au delà, la ville décroit.
Voila quelques éléments de base pour l’écriture d’un article sur cette question.


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