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Aperçu texte


Exercice 10 On ne peut être dépassé par plus lent que soit.
Calculons la dérivée de la fonction g - ¦ :

(g - ¦)' = g' - ¦'

Comme ¦' g' sur I, on a : g' - ¦'  0 sur I. La fonction g - ¦ est donc croissante sur I. Ce qui signifie :
pour tous réels u et v de I : u < v Þ (g - ¦)(u)  (g - ¦)(v)
C'est-à-dire :

pour tous réels u et v de I : u < v Þ g(u) - ¦(u)  g(v) - ¦(v)

En particulier avec u = 0, on a :

pour tout v de I : g(0) - ¦(0)  g(v) - ¦(v)

Et comme ¦(0) = g(0) :

pour tout v de I : 0  g(v) - ¦(v)

C'est-à-dire :

pour tout v de I : 0  g(v) - ¦(v)
¦  g sur I

Ce qui signifie :

Exercice 11 Utilisation de l'accroissement moyen pour déterminer une limite
1. On est en présence d'une forme indéterminée car le numérateur et le dénominateur tendent vers 0.
On sait que la fonction x a cos(x) est dérivable sur  (donc elle l'est a fortiori en
fonction x a -sin(x)
On a donc :

p
) de dérivée la
2

p
cos( x) - cos æç ö÷
è 2 ø = -sin æ p ö = -1
lim
ç ÷
p
p
è 2ø

x2
2

2. On considère la fonction j définie sur [-1, +¥[ par :
j(x) = 1 + x
La fonction j est dérivable sur ]-1, +¥[, donc elle l'est a fortiori en 0, donc :
lim

x ®0

Or, j est de la forme j =

j( x) - j(0)
= j'(0)
x

u avec u(x) = 1 + x, donc j' =
j'(x) =

On en déduit :

lim

x ®0

La fonction tangente est dérivable en
Donc :

p
et :
4

lim

p

4

Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité

2 u

, ce qui donne :

1
2 1+ x

j'(0) =

Et en particulier :



1
2

1+ x -1 1
=
x
2
tan'(x) = 1 + tan2(x)

tan( x ) - 1
æ pö
= 1 + tan2 ç ÷ = 2
p
è 4ø
x4

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/