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Exercice 12 Deux fonctions continues qui commutent sur un segment ont un point fixe commun
Soient ¦ et g deux fonctions continues sur le segment I = [0, 1] telles que g o ¦ = ¦ o g.
Le but de l'exercice est de démontrer qu'alors, il existe un réel l de [0, 1] tel que ¦(l) = g(l).
1. Cette fonction j est continue sur I (différence de fonctions continues) et :
j(0) = ¦(0) > 0
j(1) = ¦(1) - 1 < 0
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel a Î [0 ; 1] tel que j(a) = 0, c'est-à-dire :
¦(a) = a
Donc ¦ admet (au moins) un point fixe a dans [0 ; 1]
2. Cette fonction h est continue sur I (différence de fonctions continues).
Si h n'était pas de signe constant, on pourrait trouver des réels a et b dans [0, 1] tels que :
h(a)  0 et h(b)  0
Du théorème des valeurs intermédiaires, on déduirait l'existence d'un réel c compris entre a et b tel que :
h(c) = 0
Ce qui est contraire à l'hypothèse.
Donc h est de signe constant.
3. Soit (un) la suite définie par :
ìu0 = a
í
îun +1 = g (un )
a. Comme u0 Î I et g est à valeurs dans I, la suite (un) est bien définie d'où :
un Î I, pour tout n Î 
La suite (un) est donc bornée par 0 et 1.
b. Considérons la propriété Ã, définie pour n Î , par :
Ã(n) : ¦(un) = un
· Comme u0 = a est un point fixe de ¦, on a Ã(0). La propriété Ã est donc initialisée en 0.
· Soit n Î . Supposons Ã(n). Alors :
¦(un+1) = ¦(g(un))

¦ o g=g o ¦

=

Ã( n )

g(¦(un)) = g(un) = un+1

D'où Ã(n + 1).
La propriété Ã est donc héréditaire à partir du rang n.
Du principe de raisonnement par récurrence, on en déduit que la propriété Ã est vraie pour tout n Î  :
pour tout n Î , un est un point fixe de ¦
c. Pour tout n Î , examinons la différence un+1 - un :
3.b.

un+1 - un = g(un) - un = g(un) - ¦(un) = h(un)
Or, d'après la question 2., h est de signe constant, donc la suite (un) est monotone.
d. La suite (un) est monotone est bornée par 0 et 1. Dans tous les cas, elle converge donc vers un réel l Î I.
4. a. D'après la question 3.b., on a :
pour tout n Î , ¦(un) = un
Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité

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