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Exercice 7 Étude d'une fonction irrationnelle
On considère la fonction ¦ définie sur  par :
¦(x) =

x2 + x + 1 - x

r r
On note C¦ sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O ; i , j )
1. Étudier les limites de ¦ en -¥ et en +¥. La courbe C¦ admet-elle des asymptotes horizontales ?
2. Démontrer que la droite D d'équation y = -2x -

1
est asymptote oblique à C¦ en -¥.
2

Exercice 8 Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur 
Démontrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur  et préciser leur fonction dérivée.
On rappelle que :

lim
h®0

cos(h) - 1
sin(h)
= 0 et lim
=1
h®0
h
h

Exercice 9 Une bijection de  sur ]-1 ; 1[
Soit ¦ la fonction définie sur  par :

¦(x) =

x
1+ x

1. Démontrer que ¦ est bornée sur .
2. Étudier la parité de ¦.
3. Étudier la dérivabilité de ¦ en 0.
4. Démontrer que ¦ définit une bijection de  sur ]-1 ; 1[.

Exercice 10 On ne peut être dépassé par plus lent que soit.
Soient ¦ et g deux fonctions dérivables sur l'intervalle I = [0 ; 1] telles que : ¦(0) = g(0) et ¦' g' sur I.
Démontrer que ¦  g sur I. (On pourra étudier les variations de g - ¦)

Exercice 11 Utilisation de l'accroissement moyen pour déterminer une limite
p
de la fonction ¦ définie par :
2
cos( x )
p
pour x ¹ .
¦(x) =
p
2
x2
Vérifier que l'on est en présence d'une forme indéterminée.

1. On se propose d'étudier la limite en

En considérant l'accroissement moyen de la fonction cosinus en

p
, déterminer la limite ci-dessus.
2

2. Par une méthode analogue, étudier les limites de ¦ en a dans les cas suivants :
¦(x) =
¦(x) =

Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité

1+ x -1
en a = 0
x
tan( x ) - 1
p
en a =
p
4
x4

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/