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Exercice 12 Deux fonctions continues qui commutent sur un segment ont un point fixe commun
Soient ¦ et g deux fonctions continues sur le segment I = [0, 1] telles que g o ¦ = ¦ o g.
Le but de l'exercice est de démontrer qu'alors, il existe un réel l de [0, 1] tel que ¦(l) = g(l).
1. Question préliminaire
Soit j la fonction définie sur [0, 1] par j(x) = ¦(x) - x.
Démontrer qu'il existe un réel a Î [0, 1] tel que :
j(a) = 0
On a donc ¦(a) = a. On dit que a est un point fixe de ¦.
Dans la suite du problème (questions 2, 3 et 4),
on suppose qu'il n'existe pas de réel l dans [0, 1] tel que ¦(l) = g(l) et on déduit une contradiction.
(Il s'agit d'un raisonnement par l'absurde).
2. On note h la fonction définie sur I par h = ¦ - g.
Démontrer que h est de signe constant.

3. Soit (un) la suite définie par :
ìu0 = a
í
îun +1 = g (un )
a. Démontrer la suite (un) est bornée.
b. Démontrer que pour tout n Î , un est un point fixe de ¦. (C'est à dire : ¦(un) = un)
c. En déduire que la suite (un) est monotone.
d. En déduire que la suite (un) converge vers un réel l Î [0, 1]. (On ne cherchera pas à calculer l)

4. Dans cette question, nous allons en déduire une contradiction
a. Démontrer que ¦(l) = l
b. Démontrer que g(l) = l
c. En déduire une contradiction.

5. Conclure.

Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/