Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils PDF Recherche PDF Aide Contact



exoRder03.pdf


Aperçu du fichier PDF exorder03.pdf

Page 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Aperçu texte


EXERCICES RÉDIGÉS SUR LA CONTINUITÉ ET LA DÉRIVABILITÉ : SOLUTIONS
Exercice 1 Quelques résultats théoriques - Règles opératoires sur les fonctions dérivables
¦(a + h) - ¦ (a)
g (a + h) - g (a)
et
admettent des limites lorsque h
h
h
tend vers 0. On note ¦'(a) et g'(a) ces limites respectives.
Par hypothèse, les accroissements moyens

1. On a :
( ¦ + g )(a + h) - ( ¦ + g )(a) ¦(a + h) - ¦ (a)
g (a + h) - g (a)
=
+
h
h
h
Donc

( ¦ + g )(a + h) - ( ¦ + g )(a)
admet une limite égale à ¦'(a) + g'(a) lorsque h tend vers 0.
h

Ce qui prouve que ¦ + g est dérivable en a (et de plus, (¦ + g)'(a) = ¦'(a) + g'(a)).
2. On a :
(¦ g )(a + h) - ( ¦ g )(a)
¦ ( a + h ) g ( a + h ) + ¦ ( a ) g (a )
=
h
h

Donc

=

[¦(a + h) - ¦ (a)]g (a + h) + ¦ (a)[ g (a + h) - g (a)]
h

=

¦(a + h) - ¦ (a)
g (a + h) - g (a)
g(a) + ¦(a)
h
h

(¦ g )(a + h) - ( ¦ g )(a)
admet une limite égale à ¦'(a)g(a) + ¦(a)g'(a) lorsque h tend vers 0.
h

Ce qui prouve que ¦g est dérivable en a (et de plus, (¦g)'(a) = (¦'g + ¦g')(a)).
3. Soit V un voisinage de a sur lequel g est non nulle. Pour h Î V, on a :
1
1
1
g (a + h) g (a)
g (a + h) - g (a)
= ´
g (a) g (a + h)
h
h
Or, g est continue en a puisque dérivable en a, donc lim g(a + h) = g(a).
h®0

1
1
g ¢(a)
g (a + h) g (a)
Donc
admet une limite égale à lorsque h tend vers 0.
h
[ g (a)]2
Ce qui prouve

1
g ¢(a)
æ 1 ö¢
est dérivable en a (et de plus, ç ÷ (a) = )
g
[ g (a)]2
ègø

Exercice 2 Dérivation d'une composition de fonctions dérivables
Soit x0 Î I.
On écrit :
(v o u )( x) - (v o u )( x0 ) v (u( x )) - v (u( x0 )) u( x ) - u ( x0 )
=
´
x - x0
u ( x ) - u ( x0 )
x - x0
Posons y0 = u(x0) et y = u(x) :
(v o u )( x) - (v o u )( x0 ) v ( y ) - v ( y0 ) u( x ) - u ( x0 )
=
´
x - x0
y - y0
x - x0
Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité

Page 4

G. COSTANTINI http://bacamaths.net/