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Aperçu texte


Or, v étant dérivable en y0, on a :
lim

v ( y ) - v ( y0 )
= v'(y0)
y - y0

lim

u( x ) - u ( x0 )
= u'(x0)
x - x0

y ® y0

Et u étant dérivable en x0, on a :
x ® x0

D'où :

lim

x ® x0

(v o u )( x) - (v o u )( x0 )
= u'(x0) ´ v'(y0) = u'(x0) ´ v'(u(x0))
x - x0
(v o u)'(x0) = u'(x0) ´ v'(u(x0))

C'est-à-dire :

Ceci étant valable pour tout x0 Î I, on en déduit la dérivabilité de v o u sur I et
(v o u)'(x) = u'(x) v'(u(x))

Exercice 3 Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue
æ1ö
sin ç ÷  1
è xø

1. Nous avons, pour tout réel x ¹ 0 :

æ1ö
x 2 sin ç ÷  x 2
è xø

Donc :

D'après le théorème de comparaison des limites (en 0), on en déduit :
lim |¦(x)| = 0 (puisque lim x 2 = 0)

x ®0

x ®0

lim ¦(x) = 0 = ¦(0)

Donc :

x ®0

Donc ¦ est continue en 0.
2. Montrons que ¦ est dérivable en 0 :
Pour tout réel x ¹ 0, nous avons :

¦( x ) - ¦(0)
æ1ö
= x sin ç ÷
x-0
è xø
æ1ö
lim x sin ç ÷ = 0
x ®0
è xø

Or :

æ1ö
(Même type de preuve que ci-dessus. On écrit : x sin ç ÷  |x|)
è xø
Donc :

lim

x ®0

¦( x ) - ¦(0)
=0
x-0

Ce qui signifie que ¦ est dérivable en 0 avec ¦'(0) = 0.
3. Montrons que ¦' n'est pas continue en 0.
En effet, pour tout x ¹ 0, on a :
æ 1ö
æ1ö
æ1ö
æ1ö
æ1ö
¦' (x) = 2x sin ç ÷ + x 2 ´ ç - 2 ÷ cos ç ÷ = 2x sin ç ÷ - cos ç ÷
è x ø
è xø
è xø
è xø
è xø
æ1ö
æ1ö
Nous savons que lim 2x sin ç ÷ = 0, mais la quantité cos ç ÷ n'a pas de limite en 0. (Voir leçon sur la continuité)
x ®0
è xø
è xø
Donc ¦' n'a pas de limite en 0, ce qui signifie qu'elle n'est pas continue en 0.
Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité

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