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Aperçu texte


Exercice 4 Un petit théorème de point fixe
y
1


c
g(x)

O

c

1

x

L'équation ¦(x) = x est ainsi

g(x) = ¦(x) - x

Considérons la fonction g définie par :

équivalente à g(x) = 0.

Cette fonction g est continue sur [0 ; 1] (différence de fonctions continues) et
g(0) = ¦(0)  0
g(1) = ¦(1) - 1  0

Le réel l = 0 est bien intermédiaire entre g(0) et g(1), donc d'après le théorème du même nom, il existe un réel
c Î [0 ; 1] tel que g(c) = 0, c'est-à-dire :
¦(c) = c
Donc ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1].

Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée
Définissons la fonction ¦, pour x Î , par :
¦(x) = x 4 + x 3 - x + 1
La fonction étant polynomiale, elle est indéfiniment dérivable et on a :
On dérive deux fois afin de se ramener

¦'(x) = 4 x 3 + 3 x 2 - 1

à une fonction polynôme de degré 2 (on
sait étudier son signe)

¦"(x) = 12 x 2 + 6x = 6x(2x + 1)
Nous en déduisons les variations de la fonction ¦' :
x

-



+

Signe de ¦"

0

a

0

-

0

+



+


3
4

Variations
de
¦'

1
2

0


-1

La fonction ¦' est continue et strictement croissante sur [0, +¥[. De plus ¦'(0) = -1 < 0 et lim ¦'(x) = +¥.
x ® +¥

Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/