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D'après le théorème de bijection, il existe donc un réel a Î ]0 ; +¥[ tel que ¦'(a) = 0.
On en déduit que ¦' est négative sur ]-¥ ; a] et positive sur [a ; +¥[.
La fonction ¦ admet donc, sur , un minimum en a. Il nous reste à prouver que ¦(a) est strictement positif.
Pour cela, encadrons a. On sait que ¦'(0) = -1 et ¦'(1) = 6, donc a Î ]0 ; 1[. On en déduit :
0 < a4 < 1 et 0 < a3 < 1 et 0 < -a + 1 < 1
0 < a4 + a3 - a + 1 < 3

En sommant ces trois encadrements :

0 < ¦(a) < 3

C'est-à-dire :

Le minimum de ¦, sur , est strictement positif, donc ¦ l'est aussi.
Par conséquent ¦ ne s'annule pas. Autrement dit, l'équation ¦(x) = 0 n'admet pas de solution sur .

Exercice 6 Une limite classique
Si n = 0, alors il est clair que :

lim

t ®0

sin (nt )
sin (nt )
t
=n´
´
sin(t )
nt
sin(t )

Pour n Î *, on écrit :

On sait que lim

t ®0

sin (nt )
=0
sin(t )

t
sin (nt )
= lim
= 1 d'où :
sin(t ) t ®0 nt
lim

sin (nt )
=n
sin(t )

lim

sin (nt )
=n
sin(t )

t ®0

Finalement, pour tout n Î , on a :

t ®0

Exercice 7 Étude d'une fonction irrationnelle
1 2 3
Remarque : x 2 + x + 1 = æç x + ö÷ +
> 0, la fonction ¦ est effectivement bien définie sur .

4
è
1. Limite en -¥
On a :

lim ( x 2 + x + 1) = +¥ et

x ® -¥

D'où, par composition :
Finalement :

lim

x ® -¥

lim

X ®+¥

X = +¥

x 2 + x + 1 = +¥

lim ¦(x) = +¥

x ® -¥

La courbe C¦ n'admet pas d'asymptote horizontale en -¥.
Limite en +¥
Pour lever l'indétermination (du type "¥ - ¥"), on utilise la transformation d'écriture suivante :

Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/