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Aperçu texte


x

2

(
+ x +1 - x =

x2 + x + 1 - x

)(

x2 + x + 1 + x

x + x +1 + x
2

)=

x +1
x + x +1 + x
2

Dans le dernier quotient, on a encore une indétermination du type "¥/¥". On écrit, pour x > 0 :
1
x æç1 + ö÷

è
=
=
2
æ
x + x + 1 + x x 1 + 1 + 1 + 1ö
ç
÷
x x2
è
ø

1
x
1 1
1+ + 2 +1
x x
1+

x +1

lim ¦(x) =

On en déduit facilement :

x ® +¥

1
2
1
.
2

La courbe C¦ admet donc une asymptote horizontale en +¥ d'équation y =
¦(x) - y =

2. On étudie la différence :

x2 + x + 1 + x +

1
2

Lorsque x tend vers -¥, on a une indétermination du type "¥ -¥". On procède comme précédemment :
x2 + x + 1 + x +

1
=
2

x +1
x + x +1 - x
2

+

1
2

x 2 = -x dans ce cas) :

Et pour x < 0, on obtient (attention

1
1+
1
1
x
+ =+
2
2
1 1
x + x +1 - x 2
1+ + 2 +1
x x
x +1

lim (¦(x) - y) = 0

D'où :

x ® -¥

La droite D d'équation y = -2x -

1
est bien asymptote oblique à C¦ en -¥.
2

Exercice 8 Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur 
Fixons x Î . Pour tout h Î , on a :
sin(x + h) = sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h)
D'où, pour h Î  :
*

sin( x + h) - sin( x ) sin( x )(cos h - 1) + cos( x )sin(h) cos(h) - 1
sin(h)
=
=
sin(x) +
cos(x)
h
h
h
h
Or, nous savons que :

cos(h) - 1
sin(h)
= 0 et lim
=1
h®0
h
h

lim
h®0

L'accroissement moyen

sin( x + h) - sin( x )
admet donc une limite lorsque h tend vers 0 et :
h
lim
h®0

sin( x + h) - sin( x )
= cos(x)
h

On a prouvé que la fonction sinus est dérivable en x et que :
(sin(x))' = cos(x)
Ceci étant valable pour tout réel x, on en déduit que la fonction sinus est dérivable sur  de dérivée la fonction
cosinus.
Exercices rédigés sur la continuité et la dérivabilité

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/