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Colle4 .pdf


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PTSI 2
COLLE 4 : semaine N◦ 6 du 10 au 14 octobre.

1. Calcul int´
egral.
Int´egration sur un segment des fonctions continues :
Primitives, int´egrale d’une fonctionRcontinue.
R
Propri´et´es : lin´earit´e, croissance, | I f |≤ I | f |, relation de Chasles, valeur moyenne, in´egalit´e de
la moyenne, int´egrale d’une fonction f continue et de signe constant sur un segment.
Int´egration par parties pour des fonctions de classe C 1 , changement de variable.
Primitives des fonctions usuelles.
2. Fonctions complexes : d´
erivation et int´
egration.
D´eriv´ee en un point, fonction d´eriv´ee. f ’ = (Re f )’ + i (Im f )’.
at

R erivation
R de t 7→ eR (a ∈ C).
f = I Re f + i I Im f .
I
3. Fonctions hyperboliques.
D´eriv´ees, variations et repr´esentations graphiques de ch, sh et th.
Trigonom´etrie hyperbolique : seule la formule ch2 - sh2 = 1 est exigible.
4. Equations diff´
erentielles lin´
eaires.
Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre : structure de l’ensemble des solutions, r´esolution
de l’´equation homog`ene, recherche d’une solution particuli`ere par la m´ethode de la variation de la
constante, principe de superposition des solutions.
Existence et unicit´e de la solution satisfaisant `a une condition initiale donn´ee.
Equations diff´erentielles lin´eaires du second ordre a` coefficients constants. Structure de l’ensemble des
solutions. Recherche d’une solution particuli`ere lorsque le second membre est de la forme t 7→ eαt P (t)
o`
u α ∈ C et P ∈ C[X].
Existence et unicit´e de la solution satisfaisant `a une condition initiale donn´ee.
Questions de cours.
1) Exercice : int´egralesRde Wallis. (formule de r´ecurrence)
2) Exercice : calcul de ex cos(2x)dx en utilisant les nombres complexes.
R v(x)
3) Exercice : d´erivabilit´e de F avec F(x) = u(x) f (t)dt, f ´etant une fonction continue sur R et u et
v deux fonctions de classe C 1 sur R.
4) Cours : D´eriv´ees, variations et repr´esentations graphiques de ch, sh et th.

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