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.

Soient f :[ O, 1 ] -+ R une fonction continue, s = (sl ,S a , .. ,
s, , ..) une suite de nombres réels vérifiant O < S, < 1 pour tout
j 2 1. On dhigne par pn (f, s) le nombre réel

.

II
Soient 1 un intervalle contenu dans [ O , 1]
suite de nombres rkls sj cz [O, 11 ;on dBsigne par
de l'ensemble

pL(f,s) = lim P , ( f , J )

, s, E 1 } .

p (1 ,s) = iim P k (1 ,s)

*

k-• co

a d =

1

gr

4

10 Determiner p (f,s) dans les diffkrents CBJ suivants :

!a

w

a.

H

b. La suite s est convergente et a pour limite 1 ;
c. La suite s est la suite definie par
2-1
si
j est impair;

d. la suite s est k suite definie par

1
e.

- J1

j=3k

( k E N , k 2 l),

sinon ;

La suite s est la suite dOfinie par s,

= 1,

N k (1, s)

.

10 Si 1 et J sont des intervalles disjoints contenus dans [O, 11, montrer
que l'on a
p(1.u J ,3) = p (1 ,4
p (J
pourvu que p (1 ,s) et p (J , s) soient ddfinis.

20 Déterminer p (1 ,s) lorsquc I cst u n intcrvirlle contenu dans
[ O ,1 1 et s l'une des suites definies en 1, 10, b, c, d.

30 On fiuppose ddsormais la suite s telle que p (1 ,s) soit dCfiiii pour
tout intervalle 1. Si 1 est l'intervalle fcrmi: (resp. ouvcrt, scmi-onvert)
[ a ,p 1 (resp. 1 a , p [ , [ a , p [ , ] a ,p 1) , on ddsiglle par z(I) le
nombre Z (1) = p - a . Montrer que si pour tout intervalle 1 , on a
p (1 ,s) = Z (1) , alors p ( f , s) est definie pour toute fonction continue f

20 On rappelle qu'une suite (f,)
defonctions f, : [ 0 , 1 ] + R
satisfait au critdre de Cauchy uniforme si pour tout E > - O , il existe
un entier N tel que i 2 N et k 2 N entrahe la relation
~

a. Montrer que si (f,)
est une suite de fonctions continues
: [O, 11 + R vdrifiant le critère de Cauchy uniforme et si p (f,, s)
est défini pour tout j ,alors (p (f, ,s)) > est une suite de Cauchy de
nombres rhels.

fr

b. En deduire que si (f,)
est une suite de fonctions continues
f,: [ O, 1 ] + R qui tend uniformément vers une fonction f et si p (f, ,s)
est défini pour tout j ,alors p (f, s) est definie et

ptf,s) = lim p(f,,s)
b)

p ( f , s ) = J1f(t)

et

.

de

O

40 Montrer que si une suite s est telle que pour toute fonction continuef,

p
existe- t - e h ?

j-+

1

+

La fonction f est constante;

si

Soit P k (I ,s) =

~

et soit p (1 ,s) ,lorsqu'elle existe, la limite

p (f,s) ,lorsqu'elle est definie, k limite

et par

{j ;1 Q j Q k

, s = (s,)
une
N, (1, s) le cardinal

cf, s) est défini et égai à

L1

f ( t ) dt ,alors p (1 ,s) est defini et dgal

à Z (1) pour tout intervalle 1 c [ O ,1 ]

.

On dira que la suite s = (s,) est régdière si eue verifie
p (1 9 4 =
pour tout intervalle 1 c [ O ,1]

.

50

Soit s = (s,) une suite régulière ;déterminer

1
- (sln san
k 4 w k
1
b. lim - (cos Bnxs,

u. lim

k4ao

lim
k-co

+ + ... + skn)
(nEN);
+ cos 2 m s a + .. + cos Znxs,) ,
k
1
- (sii Zrtxs, + sin Bnxs, + ... + sin 2nxsk)
k
!

III
1 sina n x (z- t )
10 Soitp, (z,t ) = - - (n > 1) Indiquer comment on
n sina x ( x - t )
peut prolonger p n en une fonction continue au point z = t.
Montrer qu'il existe des constantes réelles a, ,k (O < k < n - 1) et
bn , k (1 < k < n - 1) telles que

.

n-

n-1

+

pn(Z,t)

2

u , , ~ c o s ~ ~ ~ (+z - z )b n , k s i n 2 k x ( z - t ) .
k-1

k- 1

3

<1 - E ,

f n (2) = J 1f ( t ) Pn (x

t ) dt

(2

E

=;

f(1)

.

[O 11) *
9

Montrer qu'ii existe des constantes réelles
a n , k(O < k < n - 1) et P n , k ( l < k < n - 1 )
telles que
n-1
n-1
a , , k COS 2 k x ~
Pn,k sin 2 k x z .
fn(x) = an.0
k-1

hfontrer que la suite:
[0,11.

(f,),
~

une suite de réels s j

lim - (cos Bnxs,
k-tm
A

lim - (sin 2nxs,
( k + m

1

si a < t < p ,

kt-ka+l

1
si a - -k< t < a ,

kp-kt+I

si b < t < P + -k,

k

1

et ( + k ) la suite de fonctions définies, pour k entier suffisamment grand,
Par
si O < t < a ou p < t < I ,
si a + - 1< t < p - - l v 1
k
k

io

A

, converge vers f , uniformément sur

fn(x) = l l f ( t ) P n ( x , t ) dt

1

12

k=1

30 Soit f : [ O ,1 ] +R une fonction continue telle que f ( 0 ) = f ( 1 )
et soient f, les fonctions définies par

(A)

\

1 ou p + -1 < t < 1 ,

+2

+

Soit s = (s,) j
> 1 , on ait

si O < t < a - -

io

l'inégalité

20 Soitf : [ O , 1 ] -+ R une fonction continue telle quef(0)
Soitf, (n 2 1) la fonction définie par

n

4" Soit s = (s,) une suite vérifiant les conditions (A) de ia question
précédente. Soit 1 = [ a , p ] , O < a < fl < 1. Soit (cpJ la suite de
fonctions définies, pour k entier siinisanlment grand, par
i

pn(z,t ) dt. Montrer que, si O < E < x

Calculer l'intégrale
on

1

E

9

[O, 1] telle que, pour tout

+ cos 2nxs, + . .. + cos 2nxsk) = O ,
+ sin Bnxs, + . .. + sin 2nxsk) = O .

Montrer les inégalités pn (Qk, s) < pn (1 , s) < pn ((Pk , s) .
En déduire qiiep (1 ,s) est défini et égal à l(1) . Montrer que si la suite (s,)
vPrifie les conditions (A) , elle est régulière.
50 Soit 8 E [ O , 1J un nombre irrationnel. Montrer que, si n est un
entier non nul,
.

k

En déduire que la suite (s,)
l , où s, = j 8 - E (jO), est rCguliEre
(E ( t ) désignant la partie entière d'un nombre réel t ) .
~


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