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chapitre

1

Rappels sur les suites
Récurrence

Corrigés des exercices
Pour progresser

(page 14)

1

v1 = 2 et v2 = 5 .
vn + 2 = 3 vn + 1 – 1 = 3(3 vn – 1) = 9 vn – 4.
n+1
n–3
- ; un – 3 = -----------------------------un + 1 = --------------------------;
2
2
n + 2n + 5
n – 6n + 13
n
- .
u2n = ----------------2n 2 + 2
2

Note : Dans les exercices 3 à 5, on applique l’une des trois
méthodes décrites page 15.

un + 1  n  2
3 a) Pour n > 0, ------------ = ------------ < 1 : (un ) est
 n + 1
un
décroissante.
b) un + 1 – un =
crois-sante.

3n + 4 –

3n + 1 > 0 : (un) est

2x – 1
9
c) un = f (n) avec f (x) = --------------- ; f ′(x) = ------------------2- > 0 .
x+4
(x + 4)
f est croissante, donc (un) est croissante.
4

Corrigé dans le manuel.

5 a) un + 1 – un = – 3 < 0 : (un) est décroissante.
b) (un) change de signe à chaque indice, donc pas de
monotonie.
c) Tous les termes de la suite sont positifs,
un + 1
et ------------- = 2 > 1 : (un) est croissante.
un
6

9

un + 1
( n + 1 ) 2 n! ( n + 1 )
a) un > 0 et ------------- = -------------------- × -----2 = ---------------- ;
un
( n + 1 )! n
n2

si g(x) = x 2 – x – 1 ; g′(x) = 2 x – 1, donc n 2 > n + 1 dès
que n 1 et (un) est croissante.
n

(– 1)
b) un + 1 – un = --------------- , donc pas de monotonie.
n+1
10 Corrigé dans le manuel.
1
1
11 vn = ----------- + … + ------ , d’où :
n+1
2n
1
1
1
1
vn + 1 – vn =  ------------ + … + ---------------- –  ------------ + … + ------
n + 2
2n + 2  n + 1
2n
1
1
1
vn + 1 – vn = ---------------- + ---------------- – -----------2n + 1 2n + 2 n + 1
1
vn + 1 – vn = ------------------------------------------ > 0 ;
( 2n + 1 ) ( 2n + 2 )
(vn) est croissante.
12 a) u0 = 8 ; u1 = 8 et un = 8 pour tout n, donc
(un ) est constante.
7
3
b) u0 = 2 , u1 = --- d’où u1 – u0 = --- ;
2
2

a) un + 1 – un = – 3 < 0 : (un) est décroissante.

x+1
1
b) un = f (n) avec f (x) = ------------ ; f ′(x) = ------------------2- .
x+2
(x + 2)
f est croissante, donc (un ) est croissante.
7

un + 1
a) un > 0 et ------------- = n + 1 > 1 : (un) est croissante.
un
1
1
b) un + 1 – un = -------------------2- – -----2 < 0 : (un ) est décrois(n + 1) n
sante.
8

Généralités sur les suites

un + 1
a) un > 0 et ------------- = 2 > 1 : (un ) est croissante.
un

b) un change de signe à chaque indice, donc pas de
monotonie.

(un + 1

3
un + 1 – un = --- (un – un – 1) ;
4
– un) est une suite géométrique de premier

3
3
terme --- et de raison --- . Donc un + 1 – un > 0 et (un )
2
4
est croissante.
13 Oui, car pour tout n :
(un + 1 + vn + 1) – (un + vn ) = (un + 1 – un )
+ (vn + 1 – vn) 0 .
Chap. 1 • Rappels sur les suites. Récurrence

• 7

14 • (un ) est décroissante, (vn ) est croissante.
n–1
- ; (un + vn ) est décroissante pour
• un + vn = ----------n2
n 2.
1
• un vn = – -----3 ; (un vn ) est croissante.
n
15 • Pour tout n, vn + 1 – vn = 3(un + 1 – un) = 3r et
wn + 1 – wn = u2n + 2 – u2n = 2r.

Suites arithmétiques
Suites géométriques
16 Puisque le triangle est un rectangle, la mesure
la plus grande est 90 en degrés. Si on note r la raison
de la suite arithmétique, les autres mesures sont
90 – r et 90 – 2r .
Comme (90 – r) + (90 – 2r) = 90 , il vient 3r = 90, soit
r = 30 et les mesures sont 30, 60 et 90 .
17 ●
• Par récurrence, vn > 0 .
1+v
1
1
• un + 1 = ------------ = --------------n- = ----- + 1 = un + 1 ; (un ) est une
vn + 1
vn
vn
suite arithmétique de raison 1 .
un + 1 2
18 Comme ------------ = --- , (un ) est une suite géomé3
un
2
1 2 n
trique de raison --- . On peut aussi écrire un = ---  --- .
3
3  3
19 • Comme u5 = (5 – 2)r + u2 , on trouve r = – 18 .
• Puis u20 = u5 + (20 – 5)(– 18) = – 283 .
20 • De u10 = u7
puis :

q3

, on déduit

q3

25 × 1 080
= ------------------------- ,
2 197

30
q = ------ .
13
20
25
30
• u30 = u10 q20 = -------------  ------ .
2 197  13
21 Corrigé dans le manuel.
22 u25 = u0 + 25r = – 3 – 50 = – 53 ;
u125 = u0 + 125r = – 3 – 250 = – 253 ;
( – 53 – 253 ) × 101
S = --------------------------------------------- = – 15 453 .
2
23 ● 1. un = – 2 × 3 n – 1 .
2. S = – 28 × 329 .
3. De vn = u2n , on déduit que (vn ) est une suite géométrique de raison 9 et de premier terme v1 = u2 = – 6.
3
Et S = --- (1 – 9 n ) .
4
8

–2 
– 255
24 S = u3  1------------- = 1 × 23  ------------- = 2 040 .
 1–2
 –1 

8

25 En regroupant :
1 3
9
S =  --- + --- + … + --- + (1 + 2 + … + 10)
2 2
2
 1--- + 9--- × 5
 2 2
135
( 1 + 10 ) × 10 25
S = --------------------------- + -------------------------------- = ------ + 55 = --------- .
2
2
2
2
26 ● On reconnaît une suite géométrique de premier terme 0,02 et de raison – 5 .
Le dernier terme un = 312,5 = u0 (– 5)n permet de
trouver (– 5)n = 15 625 ou n = 6 .
1 – ( – 5 )7
Alors S = 0,02  ------------------------ = 260,42 .
 1 – (– 5) 
27



1. a = 2 +

3 et b = 2 –

2. vn + 1 = un+2 – (2 +

3 .

3 )un+1

= (4un+1 – un) – (2 +

3 )un+1

= (2 –

3 )un + 1 – un

= (2 –

3 )[un + 1 – (2 +

= (2 –

3 )vn .

3 )un ]

(vn ) est géométrique de raison 2 – 3 et de premier
terme v0 = – 2 3 .
3. De même, (w0 ) est géométrique de raison 2 + 3
et de premier terme w0 = 2 3 .
4. vn = – 2 3 (2 – 3 )n et wn = 2 3 (2 + 3 )n .
vn = un + 1 – aun
, on déduit vn – wn = (b – a)un ,
De
wn = un + 1 – bun



et, en définitive :
1
un = ------------ (vn – wn )
b–a
1
= --------------- [ – 2 3 ( 2 –
–2 3
= (2 –

3 )n + (2 +

n

3) – 2 3(2 +

n

3) ]

3 )n .

28 ● Si on note q la raison, alors a = b
--- et c = bq et
q
les hypothèses donnent :
b3 = 343
b=7
ou
b
--- + b + bq = 36,75
q2 – 4,25q + 1 = 0
q
Soit q = 4 ou q = 0,25 . Les triplets solutions sont :
(1,75 ; 7 ; 28) et (28 ; 7 ; 1,75) .





2
29 ●
● On a b = aq et c = aq .
La seconde hypothèse permet d’écrire, en notant r
la raison de la suite arithmétique, 2b = 3a + r et
c = 3a + 2r .
D’où la relation c = 3a + 2(2b – 3a) = 4b – 3a , soit :
aq2 = 4aq – 3a ou q2 – 4q + 3 = 0 ,
c’est-à-dire q = 1 ou q = 3 .

Vérifions :
• si q = 1, (a, a, a) et (3a, 2a, a) vérifient les hypothèses ;
• si q = 3, (a, 3a, 9a) et (3a, 2a, a) vérifient les hypothèses.
30 Corrigé dans le manuel.
31 ●
● La suite définie pour tout n par : vn = 9 An + 1
est géométrique et vn = 10n.
n+1

10
– 10
v1 + v2 + … + vn = 9 Sn + n = --------------------------- d’où,
9
n+1

1 10
– 10
Sn = --- --------------------------- – n .
9
9
7
7
3. vn + 1 = un + 1 – --- (n + 1) – -----4
16
7
7
= 5un – 7n – --- (n + 1) – -----16
4
7
7
= 5  u n – --- n – ------ = 5vn ;

4
16
(vn ) est une suite géométrique de raison 5 et de premier
32




7
73
terme v0 = 5 – 0 – ------ = ------ .
16 16
73
73
7
7
4. vn = ------ (5)n , puis un = ------ (5n) + --- n + ------ .
16
16
4
16
5. Sn = u0 + u1 + … + un
73
7
7
= ------ (1+5+…+5n )+ --- (1 +…+n)+ ------ (1+…+1)
16
4
16
n+1

73 1 – 5
7 ( n + 1 )n
7
= ------  --------------------- + ---  --------------------- + ------ ( n + 1 )
 16
16  1 – 5  4 
2
73 n + 1 7 2 21
45
= ------ 5
+ --- n + ------ n – ------ .
64
8
16
64

Démontrer des égalités, des inégalités
33 1. a) 1 ; 5 ; 14 ; 30 .
b) Sn + 1 = Sn + (n + 1)2 .

n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
2. On note Pn la proposition « Sn = ------------------------------------------ ».
6
1(1 + 1)(2 + 1)
• P1 est vraie car -------------------------------------- = 1 = S1 .
6
• On suppose que Pn est vraie. Alors :
Sn + 1 = Sn + (n + 1)2
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
= ------------------------------------------ + (n + 1)2
6
( n + 1 ) ( 2n 2 + 7n + 6 )
= ------------------------------------------------------ .
6
On vérifie que (n + 2)(2n + 3) = 2n 2 + 7n + 6 , et :
( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2n + 3 )
Sn + 1 = -------------------------------------------------------- ,
6
donc Pn + 1 est vraie.
Donc la proposition est vraie pour tout n 1 .

34



35



On note Pn la proposition :
« 1 + 2 × 2! + … + n × n! = (n + 1)! – 1 » .
• P1 est vraie car 1 = 1 et (1 + 1)! – 1 = 1 .
• On suppose que Pn est vraie. Alors :
1 + 2 × 2! + … + n × n! + (n + 1) × (n + 1)!
= (n + 1)! – 1 + (n + 1)(n + 1)!
= (n + 1)! [1 + (n + 1)] – 1 = (n + 1)! (n + 2) – 1
= (n + 2)! – 1 .
Donc Pn + 1 est également vraie.
• La proposition Pn est vraie pour tout entier n non
nul.
On note Pn la proposition « Sn = Tn » .

1×2×3
• P1 est vraie car S1 = 1 × 2 = 2 et T1 = --------------------- = 2 .
3
• On suppose que Pn est vraie et on calcule Sn + 1 .
Sn + 1 = 1 × 2 + 2 × 3 + … + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2)
1
= --- n(n + 1)(n + 2) + (n + 1)(n + 2)
3
(n + 1)(n + 2)
= ----------------------------------- (n + 3) = Tn + 1 .
3
Donc Pn + 1 est vraie.
• Et la proposition Pn est vraie pour tout entier n non
nul.
36 ● Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on
note Pn la proposition : « Sn = (n – 1)2 n – n2 n – 1 + 1 ».
• P2 est vraie puisque S2 = 1 et (2 – 1)22 – 2 × 22 – 1 + 1 = 1.
• On suppose que Pn est vraie. Alors :
Sn + 1 = 1 + 2 × 2 + … + (n – 1)2 n – 2 + n2 n – 1
= (n – 1)2 n – n2 n – 1 + 1 + n2 n – 1 = (n – 1)2 n + 1 .
Or on veut prouver que :
Sn + 1 = n 2 n + 1 – (n + 1)2 n + 1
= 2n × 2 n – n2 n – 2 n + 1 = (n – 1)2 n + 1 .
Donc Pn + 1 est vraie.
• Et la propriété est vraie pour tout n 2 .
37



On note Pn la proposition :
« 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + … + n(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
= --------------------------------------------------------- » .
4
1×2×3×4
• P1 est vraie car 1 × 2 × 3 = 6 et ------------------------------ = 6 .
4
• On suppose que Pn est vraie. Alors :
1 × 2 × 3 + … + n(n + 1)(n + 2) + (n + 1)(n + 2)(n + 3)
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
= --------------------------------------------------------- + (n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
= ----------------------------------------------------- (n + 4) ,
4
et Pn + 1 est vraie.
• Pn est donc vraie pour tout entier n non nul.
Chap. 1 • Rappels sur les suites. Récurrence

• 9

38



Soit Pn la proposition : « n! 2 n – 1 » .
2n – 1

• P1 est vraie car 1! = 1 et
=1.
• On suppose que Pn est vraie. Alors, pour tout n 1 :
(n + 1)! = n! (n + 1) 2 n – 1 (n + 1) 2 n – 1 × 2 = 2 n .
Donc Pn + 1 est vraie.
• Pn est donc vraie pour tout n 1 .

2. • n 3 ; on suppose que Pn est vraie. Alors :
3 n + 1 = 3 n × 3 3(n + 2) 2 = 3n 2 + 12n + 12 .
Il reste donc à prouver que :
3n 2 + 12n + 12 (n + 3) 2 ou 2n 2 + 6n + 3 0 ,
ce qui est vérifié pour n 3 . Donc Pn + 1 est vraie.
• Pour tout n 3 , 3n (n + 2) 2 .

Remarque : Il y a (n – 1) facteurs, dans le membre de gauche,
supérieurs à 2 donc en multipliant…

39



La propriété est vraie pour n = 2 car
52 = 42 + 32.
Supposons que pour un entier naturel n 2,
5n 4n + 3n.
5n + 1 5 × 4n + 5 × 3n 4 × 4n + 3 × 3n : la propriété
est vraie pour tout n 2.
40



a) La propriété est vraie pour n = 1 car
(1 + a)1 = 1 + a.
Supposons que pour un entier naturel n 1,
(1 + a)n 1 + na.
(1 + a)n + 1 (1 + na) (1 + a) = 1 + (n + 1)a + na2 1
+ (n + 1)a : la propriété est vraie pour tout n 1.
b) Si q > 1, alors il existe a > 0 tel que q = 1 + a, donc
qn 1 + na.
n

Comme lim na = + ∞ , lim q = + ∞ .
n→+∞

n→+∞

41 ● 1. On note Pn la proposition : « 3n2 (n + 1)2 ».
• P2 est vraie car 3 × 2 2 = 12 et (2 + 1)2 = 9 .
• On suppose que Pn est vraie, alors :
3(n + 1)2 = 3n2 + 6n + 3 (n + 1)2+ 6n + 3 = n 2 + 8n + 4
n 2 + 4n + 4 = (n + 2)2 .
Pn + 1 est vraie.
• Pour tout n 2, Pn est vraie.
2. a) Notons Pn la proposition : « 3 n 2 n + 5n 2 ».
• Pour n = 1 , 3 2 + 5 est fausse.
• Pour n = 2 , 9 4 + 20 est fausse.
• Pour n = 3 , 27 8 + 45 est fausse.
• Pour n = 4 , 81 16 + 80 est fausse.
• Pour n = 5 , 243 32 + 125 est vraie.
n = 5 est donc la plus petite valeur non nulle pour
laquelle Pn est vraie.
b) Supposons que pour n 5, Pn est vraie et cherchons
à savoir si Pn + 1 est vraie.
3 n + 1 = 3 × 3 n 3(2 n + 5n 2 ) 2 × 2 n + 5 × 3n 2 ,
et d’après le 1., 3n 2 (n + 1) 2 .
D’où 3 n + 1 2 n + 1 + 5(n + 1) 2 et Pn + 1 est vraie.
• Pn est donc vraie pour tout n 5 .
42 ● 1. • 3 0 = 1 et (0 + 2) 2 = 4 donc P0 est fausse.
• 3 1 = 3 et (1 + 2) 2 = 9 donc P1 est fausse.
• 3 2 = 9 et (2 + 2) 2 = 16 donc P2 est fausse.
• 3 3 = 27 et (5 + 2) 2 = 25 donc P3 est vraie.

10

Conjecturer puis démontrer
43 Pour apprendre à chercher
Les outils :
● Raisonnement par récurrence.
Les objectifs :
● Savoir conjecturer une propriété après le calcul des premiers
termes.
● Savoir prouver la conjecture.
1. u0 = 7 ; u1 = 52 ; u2 = 502 ; u3 = 5 0002 ; u4 = 50 002 ;
u5 = 500 002 .
2. Lorsque n prend les valeurs 1, 2, 3, …, il y a 0, 1,
2, …, zéros entre le 5 et le 2.
3. a) En fait, on peut écrire pour n = 1, 2, 3, 4, 5 :
un = 5 × 10 n + 2 .
b) On suppose que cette proposition est vraie au rang n.
Alors un + 1 = 10un – 18 = 10(5 × 10 n + 2) – 18
= 5 × 10 n + 1 + 2 .
Pn + 1 est vraie et la proposition est vraie pour tout n.
44 1. • u0 = 2 ; u1 = 1 ; u2 = – 1 ; u3 = – 5 ; u4 = – 13 ;
u5 = – 29 .
• u1 – 3 = – 2 ; u2 – 3 = – 4 ; u3 – 3 = – 8 ; u4 – 3 = – 16 ;
u5 – 3 = – 32 .
Il semble donc que un = 3 – 2 n .
2. un + 1 – 3 = (2un – 3) – 3 = 2un – 6 = 2(un – 3) .
La suite (un – 3) est géométrique de raison 2 et de
premier terme – 1 .
Donc un – 3 = – 1 × 2n ⇒ 3 – 2 n = un pour tout entier
naturel n.
45 1. u0 = 3 ; u1 = 1 ; u2 = 3 ; u3 = 1 ; u4 = 3 ;
u5 = 1 .
Il semble donc que lorsque n est pair, un = 3 et lorsque
n est impair, un = 1 .
2. Posons Pn la proposition : « u2n = 3 et u2n + 1 = 1 ».
P0 , P1 , P2 sont vraies. On suppose que Pn est vraie.
 u 2n + 2 = – u 2n + 1 + 4 = 3
Alors 
et Pn + 1 est vraie.
 u 2n + 3 = – u 2n + 2 + 4 = 1
La proposition Pn est vraie pour tout entier naturel n.
46 Corrigé dans le manuel.

2

n(n – 1) n – n + 2
un = 1 + -------------------- = ------------------------ .
2
2
La propriété est vraie pour n = 0, car :
2

0 –0+2
u0 = ----------------------- = 1.
2
Supposons que pour un entier naturel n 1,
2

n –n+2
un = ------------------------ , alors :
2
2

n –n+2
un + 1 = ------------------------ + n
2
2

2

n + n + 2 (n + 1) – (n + 1) + 2
= ------------------------ = ----------------------------------------------------2
2
et la propriété est vraie pour tout entier n.
1
1
1
1
1. u0 = 1 ; u1 = --- ; u2 = --- ; u3 = ------ ; u4 = ------ ;
7
15
31
3
1
u5 = ------ .
63
1
Conjecture : pour tout naturel n, un = --------------------.
n+1
2
–1
2. La propriété est vraie pour n = 0, car :
1
u0 = ------------ = 1.
2–1
Supposons que pour un entier naturel n 1,
1
, alors :
un = --------------------n+1
2
–1
1
--------------------n+1
1
2
–1
1
un + 1 = ------------------------------- = -------------------------------------:
- = --------------------n+1
n+2
1
1 + 2(2
– 1) 2
–1
--------------------+
2
n+1
–1
2
la propriété est vraie pour tout entier n.
48




Divisibilité


• P0 est vraie car 4 0 + 5 = 6 .
• On suppose que Pn est vraie, c’est-à-dire que
4 n + 5 = 3p, p entier.
4 n + 1 + 5 = 4(4 n ) + 5 = 4(3p – 5) + 5
= 12p – 15 = 3(4p – 5) ,
ce qui prouve que 4 n + 1 + 5 est un multiple de 3.
Pn + 1 est donc vraie.
49

• Pour tout entier naturel n, 4 n + 5 est un multiple
de 3.
50 ● 1. Si on suppose que Pn est vraie pour un
entier n, alors 10 n + 1 + 1 = 10(10n ) + 1 = 10(9p – 1) + 1
= 90p – 9 = 9(10p – 1) ,
n
+
1
donc 10
+ 1 est un multiple de 9 et Pn + 1 est vraie.

2. Pourtant 10 n + 1 s’écrit 1 0 … 0 1 .




47 ●
● 1. u0 = 1 ; u1 = 1 ; u2 = 2 ; u3 = 4 ; u4 = 7.
2. Remarque : u5 = u0 + 1 + 2 + 3 + 4.
Conjecture : pour tout entier n,

( n – 1 ) zéros

Et comme la somme des chiffres est 2, le nombre n’est
pas divisible par 9. Donc Pn n’est jamais vraie.
51 ● Soit Pn la proposition : « 2 3n – 1 est un multiple de 7 » .
• P0 est vraie puisque 2 2 × 0 – 1 = 0 .
• On suppose que Pn est vraie pour un certain n. Alors :
2 3(n + 1) – 1 = 2 3n × 2 3 – 1 = 8(7p + 1) – 1
(p ∈ )
= 56p + 7 = 7(8p + 1) .
2 3(n + 1) – 1 est un multiple de 7 et Pn + 1 est vraie.
• La propriété Pn est donc vraie pour tout entier naturel n .
52 ● Pour n = 0 : 30 – 1 = 0.
Supposons que pour un entier naturel n, 32n – 1 est un
multiple de 8.
32(n + 1) – 1 = 32 × 32n – 1 = 32 (32n – 1) + 8 : la propriété
est vraie pour tout entier n.
53



Corrigé dans le manuel.




• P0 est vraie car 3 1 + 2 2 est égal à 7 .
• Pn est supposée vraie, pour un entier n 0 .
Il s’agit de prouver que Pn + 1 est vraie, c’est-à-dire
que :
3 2(n + 1) + 1 + 2 (n + 1) + 2 = 3 2n + 3 + 2 n + 3
est un multiple de 7 . Soit encore :
3 2n + 3 + 2 n + 3 – (3 2n + 1 + 2 n + 2 ) est multiple de 7 ,
3 2n + 1 (3 2 – 1) + 2 n + 2 (2 – 1)
est multiple de 7 ,
3 2n + 1 (8) + 2 n + 2 (1)
est multiple de 7 ,
est multiple de 7 ,
7(3 2n + 1) + 3 2n + 1 + 2 n + 2
ce qui est vrai par hypothèse de récurrence.
Donc Pn + 1 est vraie et la proposition Pn est vraie
pour tout n .
54

Divers
55 1. ∀ n ∈ , un + 1 – un = 2n + 3 > 0 ; la suite (un)
est strictement croissante.
2. Pour n = 0, u1 = 1 > 02.
Supposons que pour un entier naturel n, un > n2.
un + 1 > n2 + 2n + 3 = (n + 1)2 + 2 > (n + 1)2 : pour tout
entier naturel n, un > n2.
56 u0 ∈ ]0 ; 1[ ; la propriété est vraie au rang 0.
Supposons que pour un entier naurel n : 0 < un < 1.
un + 1 = f(un) avec f définie sur par f(x) = x(2 – x).
f est dérivable sur , f’(x) = 2(1 – x) > 0 sur ]0 ; 1[.
f est donc strictement croissante ]0 ; 1[.
Puisque 0 < un < 1, alors f (0) < f (un) < f (1) soit :
0 < un + 1 < 1.
Conclusion, pour tout entier n, 0 < un < 1.
Chap. 1 • Rappels sur les suites. Récurrence

• 11

57 ● 1. un = 1 + 2n.
2. v0 = 1 = 1 + 02, la propriété est vraie au rang 0.
Supposons la vraie au rang n.
vn + 1 = vn + un = 1 + n2 + 1 + 2n = 1 + (n + 1)2 : la propriété est donc vraie pour tout n.
58 ● 1. Soit Pn la proposition : « 0 un 2 » .
• P0 est vraie car u0 = 1 .
• On suppose que Pn , soit 0 un 2 , alors :
2

un + 2

4 .

On a bien 0 un + 1 2 , Pn + 1 est vraie.
• Pour tout entier naturel n, Pn est vraie.
2

2. un + 1 – un =

2 + un – un
2 + u n – un = -------------------------------2 + un + un

( 2 – un ) ( 1 + un )
= ---------------------------------------- .
2 + un + un
Ce quotient est positif car 0 < un < 2 et (un ) est strictement croissante.
59 ● On note Pn la proposition : « 0 un 1 » .
1. • P0 est vraie puisque u0 = 1 .
• On suppose que Pn est vraie pour un entier n 0 .
un + 1
Alors un + 1 = --------------- 0 .
un + 3
–2
D’autre part un + 1 – 1 = --------------- 0 .
un + 3
La propriété Pn + 1 est vraie.
• La propriété est donc vraie pour tout entier naturel n.
1
2. • u0 = 1 , u1 = --- donc u1 < u0 .
2
• On suppose que un + 1 < un .
x+1
Comme la fonction x f(x) = ------------ est strictement
x+3
2
croissante  f ( x ) = ------------------2- > 0 , f(un + 1) < f(un), soit


(x + 1)
un + 2 < un + 1 et la suite (un) est strictement décroissante.
60 ●
● On note Pn la proposition : « il existe p n , q n
entiers tels que (2 + 3 ) n = pn + qn 3 ».
• P1 est vraie, en prenant p1 = 2 et q1 = 1 :
(2 + 3 )1 = 2 + 3 .
• On suppose que Pn est vraie. Alors :
(2 + 3 ) n + 1 = (2 + 3 )(2 + 3 ) n
= (2 + 3 )(pn + qn 3 )
= (2pn + 3qn) + (2qn + pn) 3 .
Les nombres 2pn + 3qn et 2qn + pn sont des entiers,
donc Pn + 1 est vraie.
• Pn est donc vraie pour tout entier n 1 .

12

θ
2 θ
1. a) u1 = 2 ( 1 + cos θ ) = 4 cos --- = 2 cos --2- ;
2
θ
u2 = 2 cos --- .
4
b) Récurrence immédiate.
2. Vrai pour n = 0.
Supposons que pour un entier naturel n,
θ
un = 2 cos  ----n- .
 
2
θ
θ
θ
2
- = 2 cos ----------un + 1 = 2 + 2 cos  ----n- = 4 cos ----------n+1 :
n+1
 
2
2
2
la propriété est vraie pour tout entier n.
61




62 ●
● A. 1. u3 = 5 , u4 = 7 , u5 = 9 .
Il semble que un = 2n – 1 pour n 1 .
2. Cette proposition est vraie pour 1, 2, 3 .
• Si elle est vraie pour un et un + 1 , n 1 , alors :
un + 2 = 2(2n + 1) – (2n – 1) = 2n + 3 .
• La proposition est vraie pour un + 2 et donc vraie
pour tout n .
B. • Pn est vraie pour n = 0 et n = 1 .
• On suppose que Pn est vraie jusqu’au rang n + 1.
Alors :
2n + 3n
2n + 1 + 3n + 1
2n + 2 + 3n + 2
un + 2 = 5  ------------------------------- – 6  ----------------- = ------------------------------- ,


 5 
5
5
et Pn + 2 est vraie.
63




1
--- [(2 +
2

3 )0 + (2 –

3 )0] = 1 = u0.

1
--- [(2 + 3 )1 + (2 – 3 )1] = 2 = u1.
2
1
u2 = 4u1 – u0 = 7 = --- [(2 + 3 )2 + (2 – 3 )2].
2
La propriété est vraie aux premiers rangs.
Supposons la vraie au rang n.
Posons a = 2 + 3 et b = 2 – 3 .
n–1

n–1

a
+b
un + 1 = 2(an + bn) – ------------------------------2
n – 1
1
1
2b – --- .
= an – 1  2a – --- + b


2
2
2

2

1 7+4 3 a
1 b
2a – --- = ------------------- = ----- et 2b – --- = ----- donc
2
2
2
2 2
n+1

n+1

a
+b
un + 1 = -------------------------------- .
2
64 ●
● a) u0 = 2 > – 1 donc vrai pour n = 0.
Supposons que pour un entier naturel n, un > – 1,
alors un + 1 > 0 et u n + 1 > 0 > – 1.
Conclusion, pour tout entier n, un > – 1.
b) un + 1 = f(un) avec f définie sur par f(x) = x + 1 ,
fonction strictement croissante sur ]– 1 ; + ∞[.
u0 = 2 > 3 = u1.
Supposons que pour un entier naturel n, un > un + 1,
alors f(un) > f(un + 1) soit un + 1 > un + 2 : pour tout

entier n, un > un
décroissante.

+ 1

; la suite (un) est strictement

1+ 5
c) 2 ---------------- donc vrai pour n = 0.
2
Supposons que pour un entier naturel n,
1+ 5
un ---------------- ; alors un + 1
2

1+ 5
---------------- + 1 ,
2

3+ 5 1+ 5
---------------- = ---------------- .
2
2
1+ 5
Conclusion, pour tout n, un ---------------- .
2

68

un + 4
--------------- – 1
un – 2
2 un + 4
2
65 ●
● 1. vn + 1 = ------------------------ = – --- × --------------- = – --- v n .
3 un – 2
3
un + 4
--------------- – 4
un – 2
n
+
1
2
2. vn =  – ---
.
 3
4v n + 1 4 ( – 2 ) n + 1 + 3 n + 1
Pour tout n, vn ≠ 1 et un = ----------------- = ------------------------------------------.
n+1
n+1
vn – 1
( –2 )
–3



3

2

(x + 1) (x + 1)
1. P(x + 1) – P(x) = ------------------- – ------------------3
2
3




n est un entier supérieur ou égal à 24.
24 = 2 × 5 + 2 × 7 : la propriété est vraie au rang 24.
Supposons la vraie au rang n :
24 n = 5a + 7b.
Si b 2, 25 n + 1 = 5a + 7b + 15 – 14 et
n + 1 = 5(a + 3) + 7(b – 2).
Si b = 1, 24 n = 5a + 7 alors a 4.
n + 1 = 5a + 8 = 5(a – 4) + 7 × 4.
Si b = 0, 24 n = 5a alors a 5.
n + 1 = 5(a – 4) + 7 × 3.
La propriété est vraie pour tout n 24.

2

x x
x+1 x
+ ------------ – ----- + ----- – --6
3
2 6
1
1 1
= x2 + x + --- – x – --- + --3
2 6
= x2.
2. P(0) = 0, donc vrai pour n = 2.
Supposons que pour un entier naturel n, P(n) ∈ ,
alors, comme P(n + 1) = P(n) + n2, P(n – 1) ∈ .
Conclusion, pour tout entier naturel n, P(n) ∈ .
1 1 1
3. 02 = P(1) = --- – --- + --- , donc vrai au rang 0.
3 2 6
Supposons la propriété vraie au rang n.
12 + 22 + … + n2 + (n + 1)2 = P(n + 1) + (n + 1)2
= P(n + 2).
n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
------------------------------------------ + (n + 1)2 = (n + 1)
6
n ( 2n + 1 )
------------------------ + n + 1
6
2




1
n+1
un + 1 = --------------------- = ------------ : la propriété est vraie pour
n+2
n
2 – -----------n+1
2006
tout entier n et u2006 = ------------ .
2007

soit un + 1

66

1
2
3
u1 = --- ; u2 = --- ; u3 = --- , on peut conjectuer
2
3
4
n
que pour tout entier n, un = ------------ .
n+1
La propriété est vraie au rang 0. Supposons la vraie au
rang n.
67

2n + 7n + 6
= (n + 1) × ------------------------------6
( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2n + 3 )
= -------------------------------------------------------- :
6
la propriété est vraie pour tout entier n.

5
4
69 1. a) u1 = 1--- ; u2 = 2--- ; u3 = 3--- ; u4 = ----- ; u = ------ .
2
4
8
16 5 32
b) La propriété est vraie au rang 1 (et 2, 3, …).
Supposons la vraie au rang n :
n
un = ----n- .
2
n+1 n n+1
un + 1 = ------------ × ----n- = ----------- : la propriété est vraie pour
n+1
2n
2
2
tout n.
3
1
2
2. v1 = --- ; v2 = -----2 ; v3 = -----3 ; on peut conjecturer que
k
k
k
n
vn = -----n- .
k
La propriété est, bien sûr, vraie au rang 1.
Supposons la vraie au rang n :
n
vn = -----n- .
k
n+1 n n+1
vn + 1 = ------------ × -----n- = ------------ : la propriété est vraie pour
n+1
kn
k
k
tout n.

Chap. 1 • Rappels sur les suites. Récurrence

• 13


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