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analyseNumérique .pdf



Nom original: analyseNumérique.pdf
Auteur: FOUAD

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1

Chapitre 1

I.

Introduction

Utilité et limitation des méthodes numérique :

La solution des problèmes scientifiques passe par une représentation mathématique des
phénomènes mis en jeu. Ces phénomènes sont en générale multiples et compliqués. Pour les
représenter, on est amené à négligé certains phénomène et à simplifier certains autres. Même
avec ces simplifications les équations obtenues sont souvent insolubles par les méthodes
numériques. L’essor des méthodes numériques résulte essentiellement de trois éléments :


On se trouve depuis plusieurs années confronté à des problèmes de plus en plus
compliqués , insolubles par les méthodes mathématiques traditionnelles .
On a développé depuis 1945 des ordinateurs de puissance et de rapidité considérable,
sans cesse croissantes, des prix de plus en plus bas.
Parallèlement, les Mathématiciens ont développé des technique de résolution de plus
en plus efficaces et applicable à une variété croissante de problèmes mathématique.




Il y a deux limitations à l’utilisation numériques :


Certains programmes sont si importants qu’ils dépassent les capacités mémoires, soit
que la résolution dure trop longtemps .
Certains problèmes n’ont pas encore trouvé de modèle mathématique complet et
précis.
Développement en série de Taylor :


II.

C’est le fondement des méthodes numériques
-Soit U (x) une fonction à une seule variable que nous supposerons suffisamment dérivable.
Son développement de Taylor en un point U (x +h) s’écrit :
U′ x
U′′ x
h(n−1)
2
U x+h =U x +h
+h
+ ⋯..+
U x
1!
2!
n−1 !
Rn = θ h

Avec

(n−1)

+ Rn

n

En générale l’erreur est d’autant plus petite que n est plus grand.
-Pour une fonction à deux variables ce développement s’écrit :
U x + h, y + k = U x, y + h
1
n!



h ∂x + k


∂y

n−1

∂U x,y

+k

∂x

+ θ h + k

n

∂U x,y
∂y

+

h 2 ∂ 2 U x,y
2!

∂x 2

+

k 2 ∂ 2 U x,y
2!

∂y 2

+ ⋯+

2

I.

Introduction

La résolution d’un système ainsi que l’inversion de matrices, interviennent dans nombreux
problèmes (résolution numérique d’ED et EDP, etc.)
Soit à résoudre le système :
𝑎11 𝑥1 + ⋯ 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑦1

𝑎𝑛1 𝑥1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛

Qui s’écrit sous la forme
𝑎11
Où A= ⋮
𝑎𝑛1





(1)

AX=Y

𝑎1𝑛
⋮ = aij
𝑎𝑛𝑛

i : numéro L ; j : numéro C

X= x1 , … . . , xn
y= y1 , … . . , yn

Un matrice est dite triangulaire si aij = 0 pour

j>i ou i>j

Un matrice bande est une matrice dont tous les éléments sont nuls sauf une bande autour de la
diagonale principale.
II. Méthode du pivot
2.1 exposé de la méthode.
C’est la méthode la plus utilisé. Nous l’exposerons sur l exemple d’un système de 4 équations
à 4 inconnues.
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎41

𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎42

𝑎13
𝑎23
𝑎33
𝑎43

𝑎14
𝑎24
𝑎34
𝑎44

x1
𝑦1
x2
𝑦2
x3 = 𝑦3
x4
𝑦4

(2)

On choisit successivement chaque ligne comme ligne pivot, le pivot étant le premier élément
non nul de la ligne .Ainsi

3

a) On devise la 1er ligne de (2) par
1 a′12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
𝑎41 𝑎42

a11 ,ce qui donne :
x1
a′13 a′14
x
2
𝑎23 𝑎24
x3 =
𝑎33 𝑎34
𝑎43 𝑎44 x4

y1′
𝑦2
𝑦3
𝑦4

(3)

On annule le 1er terme de chacune des autres lignes :
à la 2éme ligne on retranche la 1 er multipliée par a21
à la 3éme ligne on retranche la 1 er multipliée par a31
à la 4éme ligne on retranche la 1 er multipliée par a41
Ceci donne
1 a′12
0 a′22
0 a′32
0 a′42

a′13
a′23
a′33
a′43

a′14
a′24
a′34
a′44

y1′
x1
x2
y2′
=
x3
y3′
x4
y4′

(4)

b) On prend maintenant la 2éme ligne, comme ligne pivot, et a′22 comme élément pivot.
On répète sur la 2eme ligne les operateurs précédents faits sur la 1ère ligne, c'est-à-dire
On devise la 2eme ligne par a′22 , ce qui donne
1 a′12
0 1
0 a′32
0 a′42

a′13
a′′23
a′33
a′43

a′14
a′′24
a′34
a′44

y1′
x1
x2
y2′′
=
x3
y3′
x4
y4′

On annule les autres termes de la 2éme colonne, pour cela.
à la 1er ligne on retranche la 1er multipliée par a′12
à la 3éme ligne on retranche la 1 er multipliée par a′32
à la 4éme ligne on retranche la 1 er multipliée par a′42
Ceci donne

(5)

4
′′
1 0 a13
0 1 a′′23
′′
0 0 a33
0 0 a′′43

a′′14
a′′24
a′′34
a′′44

y′′1
x1
y′′2
x2
=
x3
y′′3
x4
y′′4

c) On reprend ensuite la 3éme ligne pour pivot, puis la 4éme ligne ce qui donne
finalement :
1
0
0
0

0
1
0
0

0
0
1
0

0
0
0
1

y41
x1
y42
x2
=
x3
y43
x4
y44

On a donc résolu le système
Remarque :
Cette méthode est commode pour les systèmes denses d’ordre peu élève.
2.2 Méthode du double balayage de Choleski : Matrices tri diagonales
Dans le cas des matrices tri diagonales, la méthode du pivot est parfois appelée méthode du
double balayage on Choleski.
Soit le système suivant :
b1 x1 + c1 x2 =

y1

a2 x1 + b2 x2 + c2 x3 =

y2


ai xi−1 + bi xi + ci xx+1 = yi

an xn−1 + bn xn =

yn

La première équation permet d’exprimer l’inconnue x1 en fonction de x2 :
x1 = −

y
c1
x2 + 1
b1
b1

Portons cette valeur dans la seconde équation

(∗)

5



y
c1
a1 + b2 x2 = −c2 x3 + y2 − a2 1
b1
b1

Et ainsi de suite en exprimera chaque inconnue en fonction de la suivante
Supposant qu’on ait obtenue :
xi−1 = Ai−1 x𝑖 + Bi−1
On portant cette valeur dans l’iéme équation il vient

xi = −

ci
ai Ai−1 + bi

x𝑖 +1 +

yi + Bi−1
ai Ai−1 + bi

On peut donc écrire
xi = Ai x𝑖 +1 + Bi
ci
Ai = −
ai Ai−1 + bi
y + Bi−1
Bi = i
ai Ai−1 + bi

(∗∗)

En faisant i=1 dans l équation (**) et on comparant avec (*), on voit que : Ai = 0 , Bi = 0
Donc le calcul des coefficients (Ai ,Bi) et rendu possible étant données Ai = 0 𝑒𝑡 Bi = 0 ,en
effectuant un balayage de i=1 à n
Nous allons effectuer un second balayage de i=n à i=1 pour calculer les inconnues
En effet la dernière équation s’écrit :
an xn−1 + bn xn = yn
Or
xn−1 = An−1 x𝑛 + Bn−1
an (An−1 x𝑛 + Bn−1 ) + bn xn = yn

6

xn =

yn + Bn−1
= Bn
an An−1 + bn

On en déduit xn−1 = An−1 x𝑛 + Bn−1 ,puis xn−2 …jusq’a x1de proche en proche
III.
3-1-

méthodes d itératives
Méthode de Jacobi :

Considérant l exemple d un ensemble de trois équations a trois inconnus
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑦1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑦2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑦3

(1)

On résout la premier équation para port à x1 , la second para port à x2 ,etc. … ce qui donne :
𝑥1 =
𝑥2 =
𝑥3 =

𝑦1 −𝑎 12 𝑥 2 −𝑎 13 𝑥 3
𝑎 11
𝑦2 −𝑎 21 𝑥 1 −𝑎 23 𝑥 3
𝑎 22
𝑦3 −𝑎 31 𝑥 1 −𝑎 32 𝑥 2

(2)

𝑎 33

Donnons aux inconnues les valeur arbitraires 𝑥10 , 𝑥20 , 𝑥30 : portées dans le second membre
se (2) , on obtient trois nouvelles valeurs
𝑦1 − 𝑎12 𝑥20 − 𝑎13 𝑥30
𝑎11
𝑦2 − 𝑎21 𝑥10 − 𝑎23 𝑥30
1
𝑥2 =
𝑎22
𝑦3 − 𝑎31 𝑥10 − 𝑎13 𝑥20
1
𝑥3 =
𝑎33
𝑥11 =

Ce nouvelle ensemble porté dans la deuxième membre de (2) donne un autre
ensemble 𝑥1,2 𝑥22 , 𝑥32 ,et ainsi de suite.
3-2-

méthode de Gauss-Seidel :

7

Portant précédemment de système (2) , on choisit des valeurs 𝑥10 , 𝑥20 , 𝑥30
premier équation de (2) donnons 𝑥11 =

portes dans la

𝑦1 −𝑎 12 𝑥 20 −𝑎 13 𝑥 30
𝑎 11

C’est cette nouvelle valeur de 𝑥11 , et non 𝑥10 qui est portes dans la 2éme équation de (2)
donnant 𝑥21 =

𝑦2 −𝑎 21 𝑥 11 −𝑎 23 𝑥 30
𝑎 22

De même dans la troisième équation de (2), on porte 𝑥11 , 𝑥21 au lieu de 𝑥10 , 𝑥20 :

𝑥31 =

𝑦3 − 𝑎31 𝑥11 − 𝑎13 𝑥21
𝑎33

Lorsque les inconnues sont utilisé donc c’est automatiquement la plus récente valeur calculée
.Ceci assure une convergence bien plus rapide que la méthode de Jacobi
On arrête le calcule lorsque deux valeurs successives de sont suffisamment voisines. On peut
utiliser deux critères
(𝑘+1)



Convergence absolue 𝑥𝑗



𝑥𝑗

(𝑘 +1)

Convergence relative

IV.

≤𝜀

(𝑘 )

−𝑥 𝑗

(𝑘 +1)

𝑥𝑗

(𝑘)

− 𝑥𝑗

≤𝜀

Inversion des matrices

Considérons le produit de deux matrices A ou Ι est le matrice unité.
Le principe de l’inversion numériquement repose sur le fait que tout transformation faite
simultanément sur les types de A et Ι et qui permet de transformer A en Ι transforme en meme
temps Ιen A−1 .ces transformations sont celles utilisées dans la méthode du pivot
Exemple
Soit A à inverser

8

2 1
A= 1 2
1 1

1
1
2

1 1 0
1 0 1
2 0 0

0
2 1
0 = 1 2
1
1 1

On écrit A sous la forme AI, soit :
2
AΙ = 1
1

1
2
1

1
1
2

1) On prend le premier élément de la première comme premier pivot :
Soit 2. On divise cette ligne par 2, on fait la même chose surΙ, ce qui donne :
1 1 1
0 0
1
2 2 2
1 2 1 0 1 0
1 1 2 0 0 1
A la deuxième ligne et à la troisième ligne, on sous trait la première :
1 1 1
0 0
2 2 2
3 1 −1
0
1 0
2 2 2
1 3 −1
0
0 1
2 2 2
2) On prend la deuxième ligne comme ligne pivot, donc dans un premier temps
On divise la deuxième ligne par 3/2
1 1 1
1
0 0
2 2 2
1 −1 2
0 1
0
2 3 3
1 3 −1
0
0 1
2 2 2
1

Puis à la première ligne on retranche la deuxième ligne multipliée par ½ et à la
troisième ligne on retranche la deuxième ligne multipliée par ½
1 2 −1
0
1 0
3
3 3
1 −1 2
0 1
0
2 3
3
4 −1 −2
0 0
1
3 3
3
3) on prend la troisième ligne comme ligne pivot, on la divise donc par 4/3

9

1

0

0

1

0

0

2
1
3
3 −1
1
3
3 −1
0
4

−1
3
2
3
−1
4

0
0
3
4

Puis on retranche aux premières et deuxièmes lignes la troisième multipliée par 1/3
3
4
0 −1
0
1 3
−1
4

1 0
0 1
0 0

−1
4
3
4
−1
4

On donc :

−1

𝐴

=

3

−1

−1

4
−1

4
3

4
−1

3
−1

4
−1

4
3

4

4

4

−1
4
−1
4
3
4

10

Les méthodes numériques doivent être utilisées :
 Lorsque l’intégrale ne peut pas être évaluée analytiquement.
 Lorsque l’intégrale n’est pas donner sous forme analytique mais numériquement en
un certain nombre de valeurs discrètes.
I.
Méthode des trapèzes
Elle consiste à remplacer la courbe f(x) par une ligne brisée et à calculer l’aire de chaque
trapèze, ce qui donne :

𝑥𝑖

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑖−1

Avec 𝛥xi=xi-xi-1

𝑓𝑖 −1 + 𝑓𝑖
∆𝑥𝑖
2

11

Et on somme les aires de tous les trapèzes .soit [a, b] l’intervalle d’intégration divisé en n
intervalles :
X0=a, x1, x2, ……,xn =b
On a

𝑎
𝑏

1

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =2

𝑛
𝑖=1 (fi+1

+ 𝑓𝑖 ) 𝛥xi

Nous supposons dorénavant que les points sont régulièrement espaces
∆𝑥0=𝑏−𝑎
𝑛

𝑎
𝑏

𝛥𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 [(f0+f1)+ (f1+f2)+………..+ (fn-2+fn-1)+ (fn-1+fn)]

On a encore sous forme condense
𝑎
𝑏

𝛥𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 f0 + fn + 2

𝑛 −1
𝑖=1 𝑓𝑖

Cette démonstration ne permet pas d’avoir accès à l’erreur commise on peut montrer que

𝑎
𝑏

𝛥𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 f a + f b + 2

𝑛 −1
𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 )

-

𝛥𝑥 2
12

(b-a)𝑓 ′′ (𝑥 )+θ(𝑥 2 ) ; 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏

Pour la plus part des fonctions, on peut obtenir une meilleure approximation en estimant très
simplement 𝑓 ′′ (𝑥 ) par :
𝑓 ′′ (𝑥 ) =

𝑓 ′ (𝑏)−𝑓 ′ (𝑎 )
𝑏−𝑎

On obtient alors :
𝑎
𝑏

𝛥𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 f a + f b + 2

𝑛 −1
𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 )

-

𝛥𝑥 2
12

𝑓 ′ (𝑏) − 𝑓 ′ (𝑎)

Cette relation est la formule des trapèzes avec correction aux extrémités
𝑓 ′ (𝑎) et 𝑓 ′ (𝑏) peuvent être calcule par des différences finies.

Remarque :
Exemple
Calculer I=

4 𝑥
𝑒 𝑑𝑥
0

valeur exacte I = 𝑒 4 − 𝑒 0 =53,598

Méthode des trapèzes avec quatre tranches 𝛥𝑥 = 1
1

I= 2 𝑒 0 + 𝑒 4 + 2 𝑒 1 + 𝑒 2 + 𝑒 3

= 57,991

Méthode des trapèzes avec corrections
I= 57.991—

1
12

(= 𝑒 4 − 𝑒 0 ) =53,525

12

II.

Méthode de Simpson :

Elle consiste à remplacer, entre 𝑥𝑖−1 et 𝑥𝑖+1 la fonction par l’arc de parabole passant par
𝑓𝑖−1 , 𝑓𝑖 , 𝑓𝑖+1
On peut démontrer la formule de Simpson en utilisant un développement en série de Taylor

posons pour cela
𝐼(𝑥) =

𝑥
𝑎

𝑓 𝑥 ′ 𝑑𝑥 ′

𝑓(𝑥) =

𝑑I(x)
𝑑𝑥

I 𝑥𝑖+1 = I 𝑥𝑖 + 𝛥𝑥 = I 𝑥𝑖 + 𝛥𝑥𝑓 𝑥𝑖 +

(𝛥𝑥 )2
2!

𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) +

(𝛥𝑥 )3
3!

𝑓 ′′ (𝑥𝑖 ) +

(𝛥𝑥 )4
4!

𝑓 ′′′ (𝑥𝑖 ) +

θ(𝑥)5

I 𝑥𝑖−1 = I 𝑥𝑖 − 𝛥𝑥 = I 𝑥𝑖 − 𝛥𝑥𝑓 𝑥𝑖 +

𝛥𝑥
2

𝑓 ′ 𝑥𝑖 −

(𝛥𝑥 )3
3!

𝑓 ′′ 𝑥𝑖 +

(𝛥𝑥 )4

θ(𝑥)5

I 𝑥𝑖+1 − I 𝑥𝑖−1 = 𝐴𝑖 L’aire des deux tranches 𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 et 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1
contigue à 𝑥𝑖 .
(𝛥𝑥 )3

Soit 𝐴𝑖 = 2 𝛥𝑥𝑓 𝑥𝑖 +

3

𝑓 ′′ 𝑥𝑖 + θ(𝛥𝑥)5

4!

𝑓 (3) 𝑥𝑖 −

13

On remplace ensuite 𝑓 ′′ 𝑥𝑖 par :
𝑓 ′′ 𝑥𝑖 =

𝑓 𝑥 𝑖−1 −2𝑓 𝑥 𝑖 +𝑓 𝑥 𝑖+1
(𝛥𝑥 )3

+ θ(𝛥𝑥)5

Ceci donne avec la notion
𝑓 𝑥𝑖 = 𝑓𝑖
𝛥𝑥

𝐴𝑖 = 2 𝛥𝑥𝑓𝑖 + 3 𝑓𝑖−1 − 2𝑓𝑖 + 𝑓𝑖+1 +

(𝛥𝑥 )3
3

θ(𝛥𝑥)2 + θ(𝛥𝑥)3

c.à.d
𝛥𝑥

𝐴𝑖 = 3 𝑓𝑖−1 + 4𝑓𝑖 + 𝑓𝑖+1 + θ(𝛥𝑥)5
L’aire totale est obtenue (voir figure 2) par:

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴1 + 𝐴3 + ⋯ + 𝐴𝑛−1
𝑎

On a encore
𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎

𝛥𝑥
𝛥𝑥
𝛥𝑥
𝑓0 + 4𝑓1 + 𝑓2 +
𝑓2 + 4𝑓3 + 𝑓4 + ⋯ +
𝑓
+ 4𝑓𝑛 −1 + 𝑓𝑛
3
3
3 𝑛 −2
𝑛
+ θ (𝛥𝑥 5 )
2

En regroupant les termes et en remarquant

𝑛
2

𝑏−𝑎

θ (𝛥𝑥 5 )=

2𝛥𝑥

θ (𝛥𝑥 5 )= θ(𝛥𝑥)4

IL vient
𝑏
𝑎

𝛥𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑓 𝑎 +𝑓 𝑏 +4
3

𝑛 −1

𝑛 −2

𝑓(𝑥𝑖 ) + θ(𝛥𝑥)4

𝑓 𝑥𝑖 + 2
𝑖=1

I : impaire

𝑖=1

i :pair

On à encore, de façons plus concise.

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎

𝛥𝑥
𝑓 𝑎 +𝑓 𝑏 +4
3

𝑓𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟 + 2

𝑓 𝑝𝑎𝑖𝑟
≠0,≠𝑛

+ θ(𝛥𝑥)4

14

Remarque : La méthode de Simpson est une méthode d’ordre 4.
Exemple
𝐼=

4 𝑥
𝑒 𝑑𝑥
0

Par Simpson à 4 tranches.

1

𝐼= 3 𝑒 0 + 𝑒 4 + 4 𝑒 1 + 𝑒 3 ) + 2𝑒 2

= 53,863

Intégration sur un pas quelconque
Méthode générale.
Les méthodes précédentes peuvent s’appliquer, on bien lorsque le pas est constant ou bien
lorsqu’on a le choix sur les valeurs 𝑥𝑖 ou on vent calculer l’autre grande 𝑓 𝑥 . Ces conditions
ne sont pas réalises et il peut arriver que 𝑓 𝑥 sont donner numériquement eu des points𝑥𝑖
non régulièrement espaces et distribués de façons quelconque
La méthode consiste :
1) à approcher par un polynôme
2) à remplacer l’intégrale par une combinaison des 𝑓 𝑥𝑖 .
On écrit donc
𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎0 𝑓 𝑥0 + 𝑎1 𝑓 𝑥1 + ⋯ ⋯ + 𝑎𝑛 𝑓 𝑥𝑛
𝑎

Avec 𝑎0 = 𝑎 𝑒𝑡 𝑥𝑛 = 𝑏
On détermine les coefficients 𝑎𝑘 pour qu’il y ait égalité stricte lorsqu’on remplace 𝑓(𝑥)par
un polynôme quelconque de degré ≤n.

𝑓 𝑥 =1⇒

𝑏
𝑎

1𝑑𝑥 =b-a=𝑎0 +𝑎1 +⋯ ⋯ ∙∙∙

𝑓 𝑥 =𝑥⇒

𝑏
𝑎

𝑥𝑑𝑥 =

𝑏 2 −𝑎 2
2

+𝑎𝑛

=𝑎0 𝑥0 +𝑎1 𝑥1 +⋯ +𝑎𝑛 𝑥𝑛



𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 ⇒

𝑏
𝑎

𝑏 𝑛 +1 − 𝑎 𝑛 +1

𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =

𝑛 +1

=𝑎0 𝑥0𝑛 +⋯ +𝑎𝑛 𝑥 𝑛

15

Ce qui donne un système linaire de n+1 équation à n+n inconnus dont ils inconnus
sont𝑎0 𝑥0 ⋯ ⋯ 𝑎𝑛 𝑥𝑛
1⋯⋯⋯⋯⋯1
𝑥0 𝑥1 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑥𝑛



𝑥0𝑛 𝑥1𝑛 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑥𝑛𝑛

𝑎0


⋮ =


𝑎𝑛

𝑏−𝑎
𝑏 2 −𝑎 2
2




𝑏 𝑛 +1 −𝑎 𝑛 +1
𝑛 +1

Exercice
Vérifier que si n=1, on obtient la formule des trapèzes.
Remarque si les 𝑥𝑖 sont différent les uns des autre le déterminant du système est un
déterminant de Vandermonde et vent.
(𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥1 − 𝑥2 ) ⋯ ⋯(𝑥𝑛 − 𝑥0 )
III.

Intégration sur un domaine infini

Soit à calculer
+∞

𝐼=



𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏

Il faut tout d’abord s’assurer que cette intégrale converge .si c’est le cas on utilise
essentiellement deux techniques.
a- Changement de variable permettent de transformer les bornes infinie en borne finies.
b- Séparation de l’intégrale en deux

𝑓
𝑎

𝑥 𝑑𝑥 =

𝑏
𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +


𝑓
𝑏

𝑥 𝑑𝑥.

La première de ces deux intégrales s’évalue par l’une des méthodes exposées précédemment
.pour la seconde :
* Si b est suffisamment grand

𝑓
𝑎

𝑥 𝑑𝑥 ≈

𝑏
𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥. (


𝑓
𝑏

𝑥 𝑑𝑥 : Peut être négligeable).

Pour savoir si b est suffisamment grand,
On calcule

16
𝑏
𝑎

𝑓 𝑥 I 𝑏 Pour plusieur valeurs de b et on arête lorsque
sensiblement de b.

𝑏
𝑎

I 𝑏 ne depend plus

* Souvent on connait la forme asymptotique de f(x) : si f(x)≅ 𝑔 𝑥 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 → ∞ . Alors




𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎

𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏

D’intégrale de g(x) peut souvent être évalué analytiquement
Singularité de l’intégrande :
Il s’agit d’intégrale du type
au moins des deux bornes.

𝑏
𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , bornées mais pour lesquelles 𝑓 𝑥 est infini à l’une

Exemple

𝐼=

1 𝑑𝑥
=2=[2
0 𝑥

(𝑥]10

La meilleur méthode pour traiter la singularité est de les éliminer possible (intégration par
partie changement de variables,…….).
Si on doit calculer l’intégral par la méthode de Simpson l’intervalle d’ingrat ion doit
évidement exclure la borne ou la singularité apparait
Exemple 𝐼 =

1 𝑑𝑥
.
𝜀 𝑥

Avec 𝜖 suffisamment petite .mais il est très difficile d’approximer une singularité par une
parabole. Il faut choisir un pas très petit d’on un temps de calcule très long .on alors intérêt à
scinder l’intégrale en deux.
𝐼=

𝑐 𝑑𝑥
1 𝑑𝑥
+
.
𝜀 𝑥 𝑐 𝑥

Avec c=0,1 ou 0,05

Et à prendre un pas relativement grand entre c et 1 et un pas petit entre 𝜀 𝑒𝑡 𝑐.

17

Chapitre 4:

Equation aux dérivées partielles (E.D.P)

Nous nous intéressons dans ce chapitre aux équations aux dérivées partielles du premier et
second ordre à deux variables indépendance qui sont celle qu’on rencontre le plus souvent
en pratique.

I. Classification des EDP linéaires des seconds ordres :
a. Définition :
Une équation aux dérivées partielles (EDP) et une relation faisant intervenir les variables
indépendantes, x, y, la fonction U et ses dérivées partielles.



F (x, y, U, Ux ,Uy , Uxx ,Uyy ,Uxy ……) = 0

b. Ordre EDP :
On appelle ordre de l’EDP l’ordre le plus élevé des dérivées partielles internant dans l’EDP

Exemple :
Uxy+ 3Uxx+ Ux+ U + c = 0

(Uxx + Uyy )2 + 4Uxy - c = 0

(ordre 3)

(ordre 2)

c. Linéarité :
Une EDP est dite linéaire si F est linéaire par rapport à ses arguments x et ses dérivées
partielles, et si les coefficients qui les lient ne dépendant que de (x, y) ; sinon elle est non
linéaire

18

Exemple

L’équation: a1 Uxx + a2 Uxy + a3 Uyy + a4 Ux + a5 Uy + a6 U + a7 = 0

est linéaire si les {ai} ne dépendent que de (x, y).
Dans la suite de ce chapitre, nous nous intéressons aux équations du type :



a Uxx + 2 b Uxy + c Uyy = d

où a,b,c ne dépendent que de ( x,y ) et d = d ( U, Ux , Uy , x,y ) linéaire .

Selon les valeurs de a, b et c nous obtenons différents formes géométriques. Faisant un
changement de variable.
α = α (x, y)
β = β (x, y)
nous avons donc
Ux =𝑈∝ αx + Uβ βx
Uxx = Uαα α2x +2 Uαβ αx βx + Uββ β2 x + Uα αxx + Uβ βxx
Uxy = Uαα αx αy + Uαβ *αx βy + αy βx ] + Uββ βx βy + 𝑈∝ αxy + βxy
En reportant dans  nous obtenons :
𝑎 𝑈∝∝ +2 𝑏 𝑈𝛼𝛽 +𝑐 𝑈𝛽𝛽 = 𝑑
Avec
𝑎 = a α2x + 2b αx αy + c α2y
𝑏= a αx βx + b *αx βy + αy βx + +c αy βy
𝑐 = a β2 x + 2b βx βy + c β2y



19

𝑑 = d - 𝑈∝ *a αxx + 2b αxy + c αyy] + Uβ *a βxx + 2b βxy + c βxy].
Nous pouvons établir une analogie entre  et l’équation du second ordre :
ã x2 + 2 b̃ xy + c̃ y2 = 𝑑

.

Selon le signe du diaiminant 𝑏2 - 𝑎𝑐 nous obtenons différentes formes géométriques.
Si 𝑏2 - 𝑐 𝑎 <0 .L’équation n’a pas de racines réelle : l’équation  est alors elliptique
Exemple 1 :
𝜕2𝑓

𝜕2𝑓

+
= g(x, y)
𝜕𝑥2 𝜕𝑦2

g ≠ 0 : équation de liaison ; g = 0 Laplace

Si 𝑏2 -𝑎 𝑐 =0 l’équation est dite parabolique

Elles se rencontrent typiquement dans les problèmes de diffusion en régime transition
Exemple 2 :


𝜕2 𝑓
𝜕𝑥2

Si

=

𝜕𝑓
𝜕𝑡

𝑏2 − 𝑎 𝑐 > 0 :

Equation de la chaleur

hyperbolique

Exemple 3 :

𝜕2𝑓
𝜕𝑥2

1 𝜕2𝑓

- 𝑐2 𝜕𝑡2 = 0

Equation de propagation

Exercices :

1) Montrer que le type de l’équation n’est pas modifié par le changement de variable.
2) Trouver le type de l’équation suivante :

20

𝜕2𝑓

𝜕2 𝑓

+ (𝑥 2 − 𝑦 2 ) 𝜕 𝑦 2 = g (x, y, f,
𝜕𝑥2

𝜕𝑓
𝜕𝑥

,

𝜕𝑓
𝜕𝑦

)

II- Quelques EDP : choix des conditions initiales et aux limites

II-1. Equation de la chaleur :

Soit Q un domaine de 𝐼𝑅2 , la conduction thermique à l’intérieur de Q entraine une
évolution de la température
T (t, x, y) régi, en absence de chaleur par l'EDP.
𝜕𝑇
𝜕𝑡

= 𝛼∆𝑇

; ∆𝑇 =

𝜕2 𝑇
𝜕𝑥 2

+

𝜕2 𝑇
𝜕𝑌2

∝: Coefficient de diffusion thermique
à cette EDP qui modélise le phénomène physique, il faut rajoute des conditions initiales et
des conditions aux limites, pour isoler une solution une solution convenable régissant le
phénomène physique étudie:
a- Conditions initiales
Nous supposons qu'à l'instant t = 0, la température T est connue dans tout le domaine :
𝑇 0, 𝑥, 𝑦 = 𝑇0 𝑥, 𝑦

;

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄

b- Conditions aux limites
Soit F la frontière du domaine Q, les conditions aux limites peuvent être des différents type
selon la situation physique étudiée
-la température est fixée à tout instant sur F
𝑇 𝑡, 𝑥, 𝑦 = 𝑢 𝑡 , 𝑥, 𝑦

; 𝑡 < 0 , 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹

21

u: fonction donnée

Le phénomène sera régi alors par le système

𝜕𝑇
𝜕𝑡

𝑡, 𝑥, 𝑦 = 𝛼∆𝑇 𝑡 , 𝑥, 𝑦

;

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄 𝑡 > 0

𝑇 0, 𝑥, 𝑦 =𝑇0 𝑥, 𝑦

;

𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷

𝑇 𝑡, 𝑥, 𝑦 = 𝑢 𝑡, 𝑥, 𝑦

;

𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹 , 𝑡 > 0

-La frontière peut être parfaitement isolée caloriquement .il n'y aura aucun flux de chaleur à
travers F. Ce qui se traduit par la relation
𝜕𝑇
𝜕𝜂

𝜕
𝜕𝜂

𝑡, 𝑥, 𝑦 = 0

;

𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹 , 𝑡 > 0

: dérivée dans la direction de la normale à F dirigée vers l'extérieur de Q

Le phénomène sera régi par :

𝜕𝑇
= 𝛼∆𝑇
𝜕𝑡
𝑇 0, 𝑥, 𝑦 = 𝑇0 𝑥, 𝑦
𝜕𝑇
𝑡, 𝑥, 𝑦 = 0
𝜕𝜂

; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 , 𝑡 > 0
; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷
; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹 , 𝑡 > 0

Remarque
Les conditions précédentes ne peuvent pas s'impose simultanément en un point de la
frontière F ; mais rien m'empêche que la frontière F soit composée de différents parties

22

II-2 Equation des ondes

On considère une membrane mince occupant au repos un domaine Q de 𝐼𝑅2 de frontière F.
On suppose la membrane homogène .parfaitement élastique et soumise à une tension T
constante.
Le déplacement vertical z (t, x, y) sont de petite amplitude .ces derniers sont régis par l'EDP

𝜕 2 𝑧 𝑡, 𝑥, 𝑦
𝑇
=
∆𝑧 𝑡, 𝑥, 𝑦 + 𝑓 𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝜕𝑡 2
𝜌
𝜌: densité de la membrane
𝑓: force extérieure à laquelle elle se trouve soumise.
a- Conditions initiales :
positions :

vitesses :

𝑧 0, 𝑥, 𝑦 = 𝑧0 𝑥, 𝑦

𝜕𝑧
𝜕𝑡

0, 𝑥, 𝑦 = 𝑧1

; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄

; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄

b - Conditions aux limites:
Les conditions à la frontière F peuvent être de différents types :
La membrane peut être fixe sur la frontière F.
z (t, x, y) =0

; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹

Le phénomène sera donc régi par:

23

𝜕 2 𝑧 𝑡, 𝑥, 𝑦
𝑇
= ∆𝑧 + 𝑓
2
𝜕𝑡
𝜌
𝑧 0, 𝑥, 𝑦 = 𝑧0 𝑥, 𝑦
𝜕𝑧 0, 𝑥, 𝑦
= 𝑧1 𝑥, 𝑦
𝜕𝑡
𝑧 𝑡, 𝑥, 𝑦 = 0

; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄, 𝑡 > 0
; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄
; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑄
; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐹 , 𝑡 > 0

On peut imposer le déplacement du bord de la membrane
z ( t,x,y ) = g ( t,x,y) ; (x,y )
Remarque :

d'après les exemples précédents, nous avons remarqué que très souvent les mêmes types de
conditions aux limite reviennent.

- On précise la valeur de la solution u du problème sur la frontière du domaine Q.
U (t, x, y) = 𝑥0 𝑡, 𝑥, 𝑦

(x, y) ∈ 𝐹

c'est la condition de DIRICHLET
-On définit le flux de la solution U à travers la frontière
𝜕𝑢
𝜕𝜂

(𝑡, 𝑥, 𝑦) = 𝑓 𝑡, 𝑥, 𝑦

(x, y) ∈ 𝐹

C’est la condition de NEWMAN

-On peut définir une relation entre la valeur de U sur la frontière et le flux à travers celle-ci
𝜕𝑢

𝑎 𝜕𝜂 𝑡, 𝑥, 𝑦 + 𝑏𝑢 𝑡, 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑡, 𝑥, 𝑦

C’est la condition mixte ou de 3é𝑚𝑒 type

(x, y) ∈ 𝐹

24

Chapitre IV

: Méthodes des différences finies (M D F)

Toutes les méthodes numériques dites de différences finies consistent à remplacer les
dérivées intervenant dans l’équation par une formule d’approximation et à résoudre
l’ensemble des équations obtenues après avoir rajouté les conditions initiales ou les
conditions aux limites correspondant au problème.
I) Discrétisation des domaines :
Ω : domaine borné de frontière Γ

Y
D
𝚪

………….
Ω

……………..
C

X
A

B

Posons *a, b+=P1 (Ω)

[𝓬, 𝓭]=𝓟𝟐 (Ω)

Considérons alors un pavé [A, B] ×[C, D]

25

[𝓪,𝓫]∁[A, B] et [𝓬,𝓭]∁[C,D]

Soient deux entiers 𝑵𝒙 et 𝑵𝒚

h=

𝒃−𝒂
𝑵𝒙

, k=

𝑫−𝑪
𝑵𝒚

Nous définissons ainsi un réseau de points de ℝ

𝕽 = 𝑴𝓲𝓳𝝐ℝ𝟐 / 𝑴𝓲𝓳 = 𝒂 + 𝒊𝒉, 𝒄 + 𝒋𝒉 , 𝒊 = 𝟎, … . . 𝑵𝒚

Y

i

D
J

.

C
X
A

B

En général, on n’essaie que le réseau s’adapte au domaine Ω

II) Approximation des dérivés par des différentes finies :

26

Nous avons

1

𝓾𝓲−𝟏,𝓳 =𝓾𝓲,𝓳 − 𝓱

𝝏𝓾

𝟐

𝓾𝓲+𝟏,𝓳 =𝓾𝓲,𝓳 + 𝓱

𝝏𝓾

𝓱𝟐

𝝏𝔁 𝓲,𝓳

𝝏𝔁 𝓲,𝓳

+ 𝟐!

𝓱𝟐

+ 𝟐!

𝝏𝟐 𝓤
𝝏𝔁𝟐

𝓱𝟑

𝝏𝟑 𝓾

𝓲,𝓳 𝟑!

𝝏𝔁𝟑

𝓱𝟑

𝝏𝟑 𝓾

𝟑!

𝝏𝔁𝟑 𝓲,𝓳

𝝏𝟐 𝓤
𝝏𝔁𝟐 𝓲,𝓳

-

+

𝓱𝟒

𝓲,𝓳

+ 𝟒!

𝓱𝟒

+ 𝟒!

(𝓾𝓲+𝟏,𝓳 =𝓾(𝔁 + 𝓱, 𝔂))

𝟏 ⟹

𝝏𝓾

𝟐 ⟹

𝝏𝓾

𝝏𝔁 𝓲,𝓳

𝝏𝔁 𝓲,𝓳

𝟏 - 𝟐 ⟹

=

=

𝓾𝓲,𝓳−𝒖𝓲−𝟏,𝓳
𝓱

+𝜽 𝓱 (régressive)

𝓾𝓲+𝟏,𝓳 −𝓾𝓲,𝓳
𝓱

𝝏𝓾
𝝏𝔁 𝓲,𝓳

=

+𝜽 𝓱 (progressive)

𝓾𝓲+𝟏,𝓳 −𝓾𝓲−𝟏,𝓳
𝟐𝓱

+𝜽 𝓱𝟐 (symétrique)

De même, nous obtenons :

𝝏𝟐 𝓾
𝝏𝔁𝟐

𝓲,𝓳

=

𝓾𝓲−𝟏,𝓳 −𝟐𝓾𝓲𝓳 +𝓾𝓲+𝟏,𝓳
𝓱𝟐

+𝜽 𝓱𝟐

On mettre pour obtenir les dérivés considéré

𝝏𝟐 𝓾
𝝏𝔁𝝏𝔂 𝓲,𝓳

𝝏

=𝝏𝓨

𝓾𝓲+𝟏,𝓳−𝓾𝓲−𝟏,𝓳
𝟐𝓱

𝟏

=𝟐𝓱 (𝝏𝒖/𝝏𝒚)𝓲+𝟏,𝓳

𝝏𝟐 𝓾
𝝏𝔁𝝏𝔂 𝓲,𝓳

,

𝝏𝟒 𝓾
𝝏𝔁𝟒 𝓲,𝓳

+ℛ5

𝝏𝟒 𝓾
𝝏𝔁𝟒 𝓲,𝓳

+𝓡′𝟓

27

𝟏

=𝟐𝓱

𝟏

= 𝟐𝓱

𝝏𝓾
𝝏𝔂 𝓲+𝟏,𝔂



𝝏𝓾
𝝏𝔂 𝓲−𝟏,𝔂

𝓾𝓲+𝟏,𝓳+𝟏 −𝓾𝓲+𝟏,𝓳−𝟏
𝟐𝓱



𝓾𝓲−𝟏,𝓳+𝟏 −𝓾𝓲−𝟏,𝓳−𝟏
𝟐𝓱

𝟏

= 𝟐𝓴𝓱 𝓾𝓲+𝟏,𝓳+𝟏 − 𝓾𝓲−𝟏,𝓳+𝟏 − 𝓾𝓲+𝟏,𝓳−𝟏 − 𝓾𝓲−𝟏,𝓳−𝟏 + 𝜽 𝓱 + 𝓴

𝟐

III) Méthodes de résolution :

Il existe essentiellement trois types de méthode pour résoudre une EDP.
Méthode explicite, implicite et du type Crank-Nicholson.

Soit l’EDP suivant.

𝝏𝓾 𝝏𝟐 𝓾
=
; 𝔁 ∈ 𝛀 = 𝟎, 𝟏 , 𝓽 ∈ 𝟎, 𝑻
𝝏𝓽 𝝏𝔁𝟐
𝓾 𝔁, 𝟎 = 𝓯 𝔁 ; 𝔁 ∈ 𝟎, 𝟏 ; 𝓯 𝒅𝒐𝒏𝒏é𝒆, 𝑪. 𝑰
𝓾 𝟎, 𝓽 = 𝓰𝟎 𝓽 ; 𝓽 ∈ 𝟎, 𝑻 ; 𝓰𝟎 𝒅𝒐𝒏𝒏é𝒆, 𝑪. 𝑳
𝓾 𝟏, 𝓽 = 𝓰𝟏 𝓽 ; 𝓽 ∈ 𝟎, 𝑻 ; 𝓰𝟏 𝒅𝒐𝒏𝒏é𝒆, 𝑪. 𝑳

Afin de résoudre l’équation on discrétisé l’intervalle de l’espace et du temps.
Celui revient à considérer le domaine 𝓠 = 𝛀 × 𝟎, 𝑻 .
Soient deux entiers 𝑵𝑿 𝑒𝑡𝑵𝑻, on pose 𝓱 =

𝟏
𝑵𝑿

𝒆𝒕 𝓢 =

𝑻
𝑵𝑻

.

28

Le maillage et le suivant :

1) Méthode explicite :
(1) Peut s’écrire
𝓾𝓷+𝟏
−𝓾𝓷
𝓲
𝓲
𝒔

+𝜽 𝒔 =

𝓷
𝓷
𝓾𝓷
𝓲−𝟏 −𝟐𝓾𝓲 +𝓾𝓲+𝟏

𝓱𝟐

𝓲 = 𝟏, … … … . , 𝑵𝒙−𝟏 𝒆𝒕 𝓷 = 𝟏, … … . 𝑵𝑻−𝟏

𝓃
Définissons un ensemble de valeurs approchées de 𝓊𝓃
𝒾 notée 𝓋𝒾 par le schéma

.
.

.

i-1

i

n+1
.

n-1

(molécule de base)

i+1

𝓷
𝓷
𝓿𝓷+𝟏
− 𝓿𝓷
𝓿𝓷
𝓲
𝓲
𝓲−𝟏 − 𝟐𝓿𝓲 + 𝓿𝓲+𝟏
=
𝒔
𝓱𝟐

Ce qui donne

𝒔

𝓷
𝓷
𝟐 𝓿𝓷+𝟏
= 𝝀𝓿𝓷
𝓲
𝓲−𝟏 + 𝟏 − 𝟐𝝀 𝓿𝓲 + 𝝀𝓿𝓲+𝟏 ∶ 𝝀 = 𝓱𝟐

On obtient 𝓋𝒾 à l’instant comme combinaison de 𝓋𝒾−1 𝓋𝒾 et à l’instant 𝓃

29

Pour tenir compte des conditions initiales et aux limites nous devons rajouter

𝓷+𝟏
𝓿𝓷
𝟎 = 𝓰𝟎 𝓷 + 𝟏 𝒔 = 𝓰𝟎
𝓷+𝟏
𝓿𝓷
𝟏 = 𝓰𝟏 𝓷 + 𝟏 𝒔 = 𝓰𝟏

(3)

𝟒 𝓿𝟎𝓲 = 𝓯 𝓲𝓱 = 𝓯𝓲 , 𝓲 = 𝟎, … … … . , 𝑵𝒙

𝓷
𝓷
Considérons les valeurs 𝒘𝓷
𝓲 = 𝓾𝓲 − 𝓿𝓲

Nous dirons que le schéma 2 , 3 𝑒𝑡 3 converge si l’erreur tend vers à 0 lorsque 𝒽, 𝑠 ⇝
0

Exercice :
𝟏

𝟏

Montrer que la méthode explicite converge si 𝝀𝝐 𝟎, 𝟐 converge encore plus vite si 𝝀 = 𝟔 .

2) Méthodes implicite :
L’équation explicite (2) a été obtenue en écrivant le second membre de à l’instant on la
solution est connue. On obtient une équation implicite en écrivant le second membre de (1)
à l’instant 𝓉𝓃+1 où la solution n’est pas connue, ce qui donne.

𝓾𝓷+𝟏
−𝓾𝓷
𝓲
𝓲
𝒔

+𝜽 𝒔 =

𝓷+𝟏
𝓾𝓷
+𝓾𝓷+𝟏
𝓲−𝟏 −𝟐𝓾𝓲
𝓲+𝟏

𝓱𝟐

+𝜽 𝓱𝟐

Soient encore𝓋𝒾𝓃 les valeurs approchées de, ce qui donne :

30
𝒔

𝓷−𝟏
𝓷+𝟏
(5) 𝓿𝓷
+ 𝝀𝓿𝓷+𝟏
𝓲 = −𝝀𝓿𝓲−𝟏 + 𝟏 + 𝟐𝝀 𝓿𝓲
𝓲+𝟏 ∶ 𝝀 = 𝓱𝟐

Pour tenir compte des C.I et C.L nous devons ajouter

𝓿𝓷+𝟏
= 𝓰𝟎 𝓷 + 𝟏 𝒔 = 𝓰𝓷+𝟏
𝟎
𝟎
𝓷+𝟏
𝓿𝓷+𝟏
𝑵𝒙 = 𝓰𝟏 𝓷 + 𝟏 𝒔 = 𝓰𝟏

𝓿𝟎𝓲 = 𝓯 𝓲𝓱 = 𝓯𝓲 , 𝓲 = 𝟎, … … … . , 𝑵𝒙

D’après (5) est connu à l’instant 𝓃 comme combinaison des
𝓋𝒾−1 , 𝓋𝒾 𝑒𝑡 𝓋𝒾+1 Inconnues à l’instant 𝓃 + 1 cette opération nécessite la résolution d’un
système linéaire. La méthode est alors implicite.

Exercice :

Monter que cette méthode implicite, contrairement à la méthode explicite, converge quelle
𝒔
que soit la valeur de 𝝀 = 𝓱𝟐

3) Méthode de cranck –Nicholson :
Dans la méthode explicite, le second membre de l’équation (1) est écrit à l’instant 𝓉 =
𝓃 dans la méthode implicite, il est écrit à l’instant 𝓉 = 𝓃 + 1 . Dans les deux cas la dérivée
𝜕𝓊
𝜕𝓉

est écrite sous la forme.

𝓊𝓃+1
−𝓊𝓃
𝒾
𝒾
𝑠

,
1

C’est-à-dire en faite à l’instant𝓉 = 𝓃 + 2 . La méthode de cranck- Nicholson consiste à écrire
1

la seconde membre de l’équation (1) au point𝓃 + . L’en expriment comme demi-somme
2

des seconds membres des méthodes implicite et explicite.

31

Le schéma est du type suivant :

𝓷+𝟏
𝓷
𝓷
𝓿𝓷+𝟏
− 𝓿𝓷
𝟏 𝓿𝓷+𝟏
+ 𝓿𝓷+𝟏
𝓿𝓷
𝓲
𝓲
𝓲−𝟏 − 𝟐𝓿𝓲
𝓲
𝓲−𝟏 − 𝟐𝓿𝓲 + 𝓿𝓲+𝟏
=
+
𝒔
𝟐
𝓱𝟐
𝓱𝟐

En résumé si pour abréger les notations. On écrit l’équation sous la forme :

𝝏𝓾
= 𝑺𝓽 (𝔁)
𝝏𝓽
On obtient :

Méthode explicite

𝓾𝓷+𝟏
−𝓾𝓷
𝓲
𝓲

Méthode implicite
Crank-Nicholson

𝒔

= 𝑺𝒌 ( 𝒙 ) connue

𝓾𝓷+𝟏
−𝓾𝓷
𝓲
𝓲
𝒔

𝓾𝓷+𝟏
−𝓾𝓷
𝓲
𝓲
𝒔

= 𝑺𝒌+𝟏 ( 𝒙 ) inconnue
𝟏

= 𝟐 𝑺𝒌 𝒙

+ 𝑺𝒌+𝟏 ( 𝒙 )

On 𝒙 = 𝒙𝒊−𝟏 , 𝒙𝒊 , 𝒙𝒊+𝟏 .

Ces trois écritures sont des cas particuliers de la formule :
𝓾𝓷+𝟏
− 𝓾𝓷
𝓲
𝓲
= 𝜽𝑺𝒌+𝟏 𝒙
𝒔
𝜽 : Degré d’implicite
𝜽 = 𝟏 ⟹ Implicite
𝜽 =0⇒explicite
𝟏

𝜽 = 𝟐 ⇒ C-N

+ (𝟏 + 𝜽)𝑺𝒌 𝒙

32

Chapitre IV

Consistance _ Stabilité
Convergence

I/ Consistance
Définition

~
Soient l’équation A (u) = 0 et A (u) = 0 son équation approchée.

~
A (u) est consistante avec A (u) si lim

( h , s ) 0

~
Max A(v n i )  A(u n i ) = 0
(i ,n )

Exemple :
Pourtant de l’E.D.P :
v
~
A(v ) = i

n 1i

s

 vin

A (u)=

-

vin1  2vin  vin1
=0


~
u
u
A (u) - A (u) = (
 u ) - i
t

Or

u
 u  0
t

n 1i

u in 1 = u in + s
u in1 = u in  h

s

 uin

uin1  2uin  uin1
+


u
+  (s ²) .
t

u h ²  ² u h 3  3 u

  (h 4 )
+
2! x² 3! x 3
x

33

On a donc:

~
A(u )  A(u )   (s) .+  (h 2 ) .

~
 Le schéma A(v ) est consistante avec l’équation A (v)= 0

A titre d’exercice étudier la consistance cette fois ci avec le schéma :
u
~
A (u) = i

n 1i

 u in 1 uin1  uin 1  uin 1  uin1

2s

(Schéma de

Dufort_Frankel)

II/ Stabilité
Supposons que nous remplaçons, au cours de l’algorithme une valeur V jp ,
approximativement de
u (a+jh,ps), par une valeur perturbée.
W pj  V jp   ( j, p) ,  sin x, e ix

 ( j, p) : proviennent d’erreurs d’arrondi ou de calculs machine.
Nous appelons déviation la différence :

 in  W jn  Vi n
** Définition
~
Nous disons A (v) = 0 est stable si la déviation  in  0 lorsque  ( j, p)  0 et si elle ne

croit pas plus vite qu’une puissance de

1 1
lorsque (h,s)  0
et
h s

Exemple :

La méthode explicite est stable si  

s
]0,1 / 2] .


34

La méthode implicite est inconditionnellement stable.

Il existe en général deux méthodes pour conclure à propos de la stabilité d’une méthode .

II/1 Méthode de Fourier ou de Von_Newman.

Les variables sont supposées séparables.

V jn =  (n0 )e ijh
V nj1   (ns )e i ( j 1) h

i²=-1

En reportant ces valeurs dans l’équation aux différences du schéma numérique :

 (n, j,  ) 

 ((n  1) s)
 ( n0 )

Une condition suffisante de stabilisé est que   1 , n , j,  (Méthode de Fourier/ Von
Newman).
A/Exemple
Appliquons cette méthode au schéma explicite :

V nj 1 =  V nj 1 + (1-2  ) V nj +  V nj 1

nous avons : t=n s

x=jh

35

 (t  s)e ix = ( e i ( xh) +(1-2  ) e ix + e i ( xh) )  (t)
Soit :

 = e ih + (1-2  ) + e ih
= 1-4  sin²  h/2

  1  sin²  h/2 

avec





1
2

1
2

B/Exercice

Montrer de même que le schéma implicite :
V nj = - V jn11 + + (1+2  ) V nj 1 - V jn11

est inconditionnellement stable.

III/ Convergence

~
A (v) est convergente si les V in vérifient

lim Vi n  u(a  jn, ns)  0

( h , s )0

36

37

Chapitre VI
Exemples d’applications de la méthode des différences
finies.

I/Cas elliptique : équation de Laplace_Poisson.

 ²u  ²u

F
x ² y ²
On lui adjoint des conditions aux limites :

Dirichlet : u=g sur le bord du domaine.
Newman :

u
 =h sur le bord du domaine.
x

.
La fonction inconnue est discrétisé uij = u (xi, yj) et on applique la même formule
 ²u
 ²u
d’approximation de la dérivée seconde pour
et
.
y ²
x ²
Considérons le problème suivant sur  =] 0, L [*] 0, L [.
u( x, y) =f(x, y)

x, y  

u(x, y)=g(x, y) x, y   Frontière de 

Soit le maillage suivant :

Rh =
N=4

{Mij = (ih, jh; i, j=0…….N; h=L/N}.

38

11

f i La valeur de f au point i = (1……………….9)

g i La valeur de g au point i (i=10……..25)

U =u xx +u yy =

ui 1, j  ui 1, j  ui , j 1  ui , j 1  4uij


Nous obtenons donc en écrivant cette équation aux points i = 1…9

𝑔 25 + 𝑉2 + 𝑉4 + 𝑔11 − 4𝑉1

= 𝑕²𝑓1

𝑉11 + 𝑉3 + 𝑉5 + 𝑔12 − 4𝑉2 = 𝑕²𝑓2
𝑉2 + 𝑔15 + 𝑉6 + 𝑔13 – 4𝑉3 = 𝑕²𝑓3
𝑔24 + 𝑉5 + 𝑉7 + 𝑉1 – 4𝑉4 = 𝑕²𝑓4
𝑉4 + 𝑉6 + 𝑉8 + 𝑉2 – 4𝑉5

= 𝑕²𝑓5

𝑉5 + 𝑔16 + 𝑉9 + 𝑉3 − 4𝑉6 = 𝑕²𝑓6
𝑔13 + 𝑉8 + 𝑔21 + 𝑉4 − 4𝑉7 = 𝑕²𝑓7
𝑉7 + 𝑉9 + 𝑔20 + 𝑉5 – 4𝑉8 = 𝑕²𝑓8
𝑉8 + 𝑔17 + 𝑔12 + 𝑉6 – 4𝑉9 = 𝑕²𝑓9

39

Sous forme matricielle :

0
1
0
0
0
0
0 
 4 1


0
1
0
0
0
0 
 1 4 1
 0
1 4 0
0
1
0
0
0 


0
0 4 1
0
1
0
0 
 1
 0
1
0
1 4 1
0
1
0 

 0
0
1
0
1 4 0
0
1 


0
0
1
0
0 4 1
0 
 0
 0
0
0
0
1
0
1 4 1 


0
0
0
0
1
0
1  4 
 0

 V 1   h ² f1  g11  g 25 

  

 V 2   h ² f 2  g12
V 3   h² f  g  g 
3
13
15

  

 V 4   h ² f 4  g 24

V 5  = 

   h² f 5

 V 6   h ² f 6  g16

  
V
7
h
²
f

g

g


7
21
23
 

V 8   h² f  g
8
20

  

 V 9   h ² f 9  g17  g19 

II/ Cas parabolique : Equation de la chaleur en 2D
u
(x, y, t) - u = 0
t

On approche la dérivée en t par

u (t n 1 )  u (t n )
et la dérivée seconde en x et en y par la
t n 1  t n

formule à 3 points en t n (schéma dit explicite) ou en t n+1 (schéma dit implicite) ou en une
combinaison des deux (schéma de Crank_Nicholson).

Considérons le problème suivant sur  =] 0, L [*] 0, L [.
u
(𝒙, 𝒚, 𝒕) = u (𝒙, 𝒚, 𝒕) 𝒙, 𝒚   𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒕 > 𝟎
t
𝒖 𝒙, 𝒚, 𝟎 = 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒙, 𝒚  

𝒖 (𝒙, 𝒚, 𝒕) = 𝒈(𝒙, 𝒚, 𝒕) 𝒙, 𝒚   𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒕 > 𝟎.

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